第2章 一元二次函数、方程和不等式 综合拔高练-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 以高考真题与模拟题为核心，分层设计从基础应用到迁移创新，通过梯度化题型构建知识巩固路径，培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练|单一考点（一元二次不等式解法、基本不等式求最值等）|真题再现基础题型，如集合与不等式结合的选择题，夯实概念应用| |高考模拟练（应用实践）|综合应用（不等式与函数、实际问题结合）|模拟题设置情境化问题，如促销活动利润计算，提升数学应用意识| |高考模拟练（迁移创新）|跨知识迁移（三元基本不等式证明与最值）|创新题拓展延伸，如类比二元不等式猜想三元不等式，发展逻辑推理能力|

综合拔高练 高考真题练 考点1　一元二次不等式及其应用 1.(2023新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　　　B.{0,1,2} C.{-2}　　　　D.{2} 2.(2020全国Ⅰ文,1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　) A.{-4,1}　　　　B.{1,5}　　　　 C.{3,5}　　　　D.{1,3} 3.(2020全国Ⅰ理,2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　) A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4 4.(2024上海,3)已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　.  5.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.  考点2　基本不等式及其应用 6.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1①,则(　　) A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1 ①心中有“数”::基本不等式,放缩;对点突破:P240定点3 7.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  8.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.   9.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.  考点3　等式与不等式的实际应用 10.(课标全国Ⅰ,4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　) A.165 cm　　　　B.175 cm　　　　 C.185 cm　　　　D.190 cm 11.(北京高考,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;  ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.(2025湖南名校联考联合体期中)甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|1<x<6};乙写错了常数c,得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的解集为(　　) A.{x|-1<x<6}　　　　B.{x|-6<x<1} C.{x|-3<x<-2}　　　　D.{x|2<x<3} 2.(2025宁夏银川期初)若不等式>1的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则≥0的解集为(　　) A.　　　　B.[-1,1) C.　　　　D. 3.(2025河南鹤壁高中检测)已知a,b∈R,如果的最大值为m,且关于x的不等式x2-sx+t<0的解集为(1,2m),那么s+t=(　　) A.3　　　　B.43　　　　C.7　　　　D.11 4.(2024河南郑州十所省级示范高中期中)已知正实数x,y满足4x+3y=4,则+的最小值为(　　) A.+　　　　B.+　　　　C.+　　　　D.+ 5.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m<3}　　　　B.　　　　 C.{m|m>2}　　　　D.{m|-2<m<0} 6.(多选题)(2025甘肃定西第一中学期中)下列说法正确的有(　　) A.若x<,则2x+的最大值是-1 B.若x,y,z都是正数,且x+y+z=2,则+的最小值是3 C.若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是2 D.若a>0,b>0,+=1,则+的最小值是4 7.(2025江苏苏州第一中学月考)已知关于x的不等式x2-2mx+m+2≤0(m∈R)的解集为M. (1)当M为空集时,求实数m的取值范围; (2)在(1)的条件下,求的最小值; (3)当M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}时,求实数m的取值范围. 8.(2025辽宁大连第八中学月考)为发展空间互联网,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入为a(a>0)万元,现把研发部人员调整成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(x∈N+且45≤x≤75),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入为a万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人? (2)是否存在实数m,同时满足:①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 迁移创新 9.(2025江苏徐州第七中学月考)我们学习了二元基本不等式,有如下结论:如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式及其变形可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式,请猜想:设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);  (2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc; (3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)·(1-b)(1-c)的最大值. 答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}. 2.D　由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,∴A={x|-1<x<4},又∵B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3}. 3.B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=, ∵A∩B={x|-2≤x≤1}, ∴-=1,∴a=-2. 4.答案　{x|-1<x<3} 解析　由x2-2x-3<0,得(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3, 故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x<3}. 5.答案　{x|-7<x<2} 解析　<1⇔-1<0⇔<0⇔(x+7)(x-2)<0,解得-7<x<2. 6.BC　 关键点拨 关键信息 信息处理 解题思路 x2+y2-xy=1 以双变量为载体的条件等式,有x2+y2和xy两种形式 根据要求的表达式形式进行变形 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 在条件等式中构建x+y的形式,再利用关于xy和x+y的不等式进行放缩 x2+y2-xy=1中没有x+y的形式,通过x2+y2=(x+y)2-2xy变形得到x+y的平方的形式,原式变形为(x+y)2-3xy=1,即3xy=(x+y)2-1, 再利用不等式xy≤进行放缩,即(x+y)2-1≤3,最后解关于x+y的一元二次不等式 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 利用关于xy和x2+y2的不等式进行放缩 原式通过移项变形为xy=x2+y2-1,再利用不等式xy≤进行放缩,即x2+y2-1≤,最后解关于x2+y2的一元一次不等式 由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3, 当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确; 因为-≤xy≤, 所以-≤x2+y2-1≤, 所以≤x2+y2≤2,故C正确,D错误. 7.答案　2 解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2, 当且仅当即a=b=时等号成立,故++b的最小值为2. 8.答案　4 解析　++=+=+≥2=4,当且仅当=,即a+b=4时取等号. 又∵ab=1,∴或时取等号, ∴++的最小值为4. 9.答案　 解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”. 故x2+y2的最小值为. 10.B　由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm.结合选项可知,只有B选项符合题意. 11.答案　①130　②15 解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元). ②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况. 根据题意得(m-x)×80%≥m×70%, 所以x≤,而m≥120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,所以x≤, 而=15,则x≤15. 所以x的最大值为15. 高考模拟练 1.D　由题意得甲写的常数c正确,乙写的常数b正确, 所以则 故原不等式为x2-5x+6<0,解得2<x<3,故原不等式的解集为{x|2<x<3}. 2.C　不等式>1可化为[(a-1)x-b+1](x+b)>0. 因为其解集为(-∞,-1)∪(4,+∞), 所以a-1>0,即a>1,且方程(ax-x-b+1)(x+b)=0的两个根为x1=-1,x2=4, 则或 解得或(舍去), 所以≥0可化为≥0, 整理得 解得-6≤x<-, 所以不等式的解集为. 3.D　因为·≤=(a2+b2),当且仅当4a2+b2=a2+4b2,即a2=b2时等号成立, 所以≤,所以m=, 所以不等式x2-sx+t<0的解集为(1,5), 则1和5是方程x2-sx+t=0的两个根, 所以所以故s+t=11. 4.A　由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8, 令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8, 所以+=+=×(2a+b)× =×≥×=+, 当且仅当即时取等号, 所以+的最小值为+. 方法技巧　条件与结论分别是整式与分式形式的求最大(小)值问题,常把分式的分母看作一个整体进行换元,运用乘“1”的技巧求解. 5.B　不等式<0(m≠0)等价于(m2x-1)(mx+1)<0, ∵m≠0,∴令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-. (1)当m>0时,-<,此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为, 此时原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故不合题意. (2)当m<0时,令+==0,得m=-1, 则①当m<-1时,-<0,即<-, 此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<或x>-. 若原不等式对一切x≥4恒成立,只需-<4. 由解得m<-1. ②当-1<m<0时,->0,即>-, 此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为, 若原不等式对一切x≥4恒成立,只需<4. 由解得-1<m<-. ③当m=-1时,原不等式为<0,解得x≠1,满足题意. 综上,实数m的取值范围是. 6.ABD　对于A,由x<,得2x-1<0,则2x+=-+1≤-2+1=-1,当且仅当1-2x=1,即x=0时等号成立,故A正确; 对于B,由x+y+z=2,得y+z=2-x>0,则0<x<2,且+=+=,令t=3-x,则t∈(1,3),x+1=4-t,2-x=t-1, 所以+===≥=3,当且仅当t=2,即x=1时等号成立,故B正确; 对于C,由x+2y+2xy=x+2y(x+1)=8且x>0,y>0,得2y=>0,所以0<x<8,故x+2y=x+=x+1+-2≥2-2=4,当且仅当x=2时等号成立,所以x+2y的最小值是4,故C错误; 对于D,由+=1,得ab=a+b,所以+==b+4a-5, 又b+4a=(b+4a)×=++5≥2+5=9,当且仅当b=2a=3时等号成立,所以+≥4,故D正确. 7.解析　(1)∵M为空集,∴Δ=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,解得-1<m<2, ∴实数m的取值范围为{m|-1<m<2}. (2)由(1)知-1<m<2,则0<m+1<3, ∴==m+1+≥2=4, 当且仅当m+1=,即m=1时等号成立. 所以的最小值为4. (3)由M不为空集,且M⊆{x|1≤x≤4}, 得 解得2≤m≤. 故实数m的取值范围为. 8.解析　(1)依题意可得调整后研发人员的人数为100-x,年人均投入为(1+4x%)a万元, 则(100-x)(1+4x%)a≥100a, 解得0≤x≤75, 又45≤x≤75,x∈N+,所以调整后的技术人员的人数最多有75人. (2)假设存在实数m满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得a≥a,解得m≥+1. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得(100-x)(1+4x%)a≥xa, 两边同除以ax,得≥m-,整理得m≤++3, 故+1≤m≤++3, 因为++3≥2+3=7,当且仅当=,即x=50时等号成立,所以m≤7, 因为45≤x≤75,x∈N+, 所以当x=75时,+1取得最大值7,所以m≥7, 所以存在实数m满足条件,其值为7. 9.解析　(1). (2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,≥,∴·≥·==abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. ∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc. (3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0, ∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤=(a+b+c)3==,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $