第1章 集合与逻辑 本章复习提升-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦集合单元易错点与数学思想方法，通过“易混易错+思想方法”分层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|集合元素意义、互异性、空集讨论等5类易错点|以选择、填空、解答题形式，针对忽略元素互异性等典型错误设题，如含参数集合中元素互异性检验题| |思想方法练|数形结合、分类讨论等4种数学思想|通过含参集合关系、命题真假判断等综合题，如分类讨论思想在含参方程解集问题中的应用|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略集合中元素的意义致错 1.已知集合M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0},N={-3,1},则M与N的关系是(　　) A.M=N　　　　B.M⊆N C.M⊇N　　　　D.M,N无公共元素 2.(多选题)（2026广东东莞月考）设集合A={x|y=x2-4},B={y|y=x2-4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系中正确的是(　　) A.A=B　　　　B.A∪B=R C.A∩C=⌀　　　　D.A⊆B 易错点2　忽略集合中元素的互异性致错 3.(2025江西萍乡期末)已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a的所有可能取值为(　　) A.-1,3　　　　B.-1　　　　C.-1,3,8　　　　D.-1,8 4.设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},则A∪B=　　　　　　　.  易错点3　忽略对空集的讨论致错 5.(2025广东汕头期末)设集合A={x|2a<x<a+2},B={x|x<-3或x>5},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为　　　　.  6.(2025福建福州期末)已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. 易错点4　忽略对端点值的取舍致错 7.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　　.  8.(2026福建莆田第十五中学期末)已知集合A={x|2≤x<6},B={x|3<x<9}. (1)分别求∁R(A∩B),(∁RB)∪A; (2)设C={x|a<x<a+1},若C⊆B,求实数a的取值范围. 易错点5　不能正确区分条件与结论致错 9.(2025山东济南期末)已知A={x|1<x<2},B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　) A.a≤1　　　　B.a≥1　　　　C.a≤2　　　　D.a≥2 10.(2024河北保定期末)已知集合A={x|x<0或x>4},B={x|2a-10<x<a+1}.若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 思想方法练 一、数形结合思想在集合问题中的应用 1.已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围. 二、分类讨论思想在集合问题中的应用 2.（2026江苏扬州一中质量检测）已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的所有可能取值为(　　) A.1　　　　B.0,1　　　　C.-1,1　　　　D.-1,0,1 3.(2025福建福州期末)已知集合A={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀是A的真子集,求实数a的取值范围; (2)若B={x|x2+x=0},且A是B的子集,求实数a的取值范围. 三、转化与化归思想在集合与逻辑问题中的应用 4.(2024湖南三湘名校教育联盟期中联考)若命题“∃x0∈R,使得-3x0+4k≤0”是假命题,则实数k的取值范围是(　　) A.k≤　　　　B.k≥　　　　C.k<　　　　D.k> 5.已知命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0,若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围. 四、补集思想在集合问题中的应用 6.已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.D　易得M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0}={(-3,1)}是点集,而N={-3,1}是数集,所以两个集合没有公共元素, 2.BC　∵y=x2-4中x的取值范围为R,∴A={x|y=x2-4}=R.∵y=x2-4≥-4,∴B={y|y=x2-4}={y|y≥-4}.C表示二次函数y=x2-4图象上所有点的坐标构成的集合. ∴A≠B,A∪B=R,A∩C=⌀,B⊆A, 易错警示　解决集合问题时,首先要明确集合中的元素及其代表的意义是什么.用描述法表示集合时,要注意区分数集和点集.一般地,竖线左侧是单个字母时,集合为数集;竖线左侧是数对形式时,集合是点集. 3.D　因为4∈A,所以a2-2a+1=4或a-4=4. 若a2-2a+1=4,则a=3或a=-1, 当a=-1时,A={-1,4,-5},满足题意, 当a=3时,a-4=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去. 若a-4=4,则a=8,A={-1,49,4},满足题意. 综上所述,a的值可能为-1,8. 4.答案　{25,-31,5,-23,-11} 解析　由A∩B={25},得25∈A, 所以(x-1)2=25或7x-3=25, 解得x=6或x=-4或x=4. 当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,故x=6舍去; 当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11}; 当x=4时,6x+1=25,B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去. 综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}. 易错警示　集合中含有参数时,一定要检验求出的参数值是否满足集合中元素的互异性. 5.答案　 解析　若A=⌀,则2a≥a+2,解得a≥2,此时A∩B=⌀,满足题意;若A≠⌀,则解得-≤a<2. 综上所述,实数a的取值范围为. 6.解析　(1)当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2,满足B⊆A; 当B≠⌀时,解得2≤m≤3. 综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤3}. (2)若A⊆B,则B≠⌀,所以解得3≤m≤4, 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 易错警示　空集是一个特殊的集合,它不含任何元素,是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,当题设中隐含有空集参与的集合间的基本关系与运算时,如解决有关A⊆B,A∩B=A,A∪B=B等集合问题时,应先考虑空集的情况. 7.答案　{a|a<-8或a≥3} 解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示, 或 则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3. 所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}. 易错警示　解决此类问题时,借助数轴较为直观,要注意检验端点值能否取到. 8.解析　(1)∵集合A={x|2≤x<6},B={x|3<x<9}, ∴A∩B={x|3<x<6},∁RB={x|x≥9或x≤3}, ∴∁R(A∩B)={x|x≤3或x≥6}, (∁RB)∪A={x|x<6或x≥9}. (2)∵C⊆B,∴解得3≤a≤8, 故实数a的取值范围为{a|3≤a≤8}. 9.D　因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,所以a≥2. 10.解析　由x∈A是x∈B的必要不充分条件,得B是A的真子集. 当B=⌀时,a+1≤2a-10,解得a≥11, 当B≠⌀时,或解得a≤-1或7≤a<11. 综上所述,a的取值范围是(-∞,-1]∪[7,+∞). 易错警示　在充分条件、必要条件的判断中,务必明确设问方式,分清哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分条件、必要条件的概念作出准确的判断,若从集合的角度看,应该准确判断集合间的包含关系. 思想方法练 1.解析　∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠⌀. 利用数轴表示B⊆A,如图所示. 或 由图知,要使B⊆A,需a+1≤-1或2a≥1,即a≤-2或a≥. 又∵a<1,∴实数a的取值范围是. 方法总结　在解决有关集合的问题时,一般根据集合中元素的不同属性采用不同的图形来辅助.若给定的集合是不等式的解集,则一般画数轴求解;若给定的集合是用列举法表示的数集,则一般采用韦恩图求解. 2.D　集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素. (由于方程ax2+2x+a=0中x2的系数为a,因此需对a是不是0进行讨论,从而确定集合) 对于集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},当a=0时,A={0},满足题意.当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1.若a=1,则A={-1},满足题意;若a=-1,则A={1},满足题意.所以a=0或a=±1. 3.解析　(1)∵⌀是A的真子集, ∴A={x|x2+2x-a=0}≠⌀,∴4+4a≥0,∴a≥-1. (2)B={x|x2+x=0}={0,-1}, ∵A⊆B,∴A=⌀或A={0}或A={-1}或A={0,-1}, 当A=⌀时,Δ=4+4a<0,解得a<-1; 当A是单元素集合时,Δ=4+4a=0,解得a=-1,此时A={-1},符合题意; 当A={0,-1}时,0-1=-1≠-2,不符合题意. 综上所述,a≤-1. 4.D　命题“∃x0∈R,使得-3x0+4k≤0”是假命题, 则“∀x∈R,都有x2-3x+4k>0”是真命题, 所以Δ=9-4×1×4k<0,解得k>. 5.解析　∵命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0为真命题, ∴a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立, ∴a≤,即a≤0. ∵命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0为真命题,∴方程x2+2ax+a+2=0有实数根,∴Δ=4a2-4(a+2)=4a2-4a-8≥0,∴a≤-1或a≥2.∵命题p,q都是真命题,∴a≤-1. 故实数a的取值范围为{a|a≤-1}. (对于含参数的全称量词命题问题,常转化为恒成立问题,对于含参数的存在量词命题问题,常转化为存在性问题) 6.解析　(两个集合中至少有一个非空集合的反面是两个集合都是空集,从反面思考问题会使问题易于求解,这就是补集思想的应用) 对于集合A,令Δ1=4-4(9-a)<0,得a<8; 对于集合B,令Δ2=16-4a<0,得a>4. 若集合A,B都为空集,则4<a<8. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4}. 2 学科网（北京）股份有限公司 $