2.2 从函数观点看一元二次方程 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 从函数观点看一元二次方程 基础题型训练 题型1 解不含参数的一元二次不等式 1.（2025广东深圳期初）若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.（2024河南驻马店检测）对于实数，规定表示不大于 的最大整数，例如 ,,,，那么使得不等式 成立的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 4.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） . 5.（2025江苏常州调研）下面四个不等式中，解集为 的是( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025甘肃金昌期中）已知关于的不等式 （其中 ），其解集可能是( ) A. B. C. D. 题型2 解含参数的一元二次不等式 7.（2025甘肃嘉峪关期中）关于的不等式 解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是( ) A.或 B.或 C.或 D.或 8.（多选/2025湖南邵阳阶段练习）不等式 的解集可能为 ( ) A. B. C.或 D. 9.（2025江西九江期中）求下列关于的不等式的解集，其中 是常数. （1） ; （2） . 10.解下列关于 的不等式： （1） （2025浙江联考） ； （2） （2024四川成都期末） ; （3） （2024甘肃张掖检测） . 题型3 解绝对值不等式 11.（2025江苏无锡期中）不等式 的解集为________________； 12.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） . 题型4 解分式不等式 13.（2025甘肃张掖检测）设，则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14. （2025甘肃庆阳期中）不等式 的解集为___________________. 15. 不等式 的解集为_______________________. 题型5 解高次不等式 16. 不等式 的解集是_______________________. 17. 不等式 的解集为_______________________. 题型6 利用根与系数的关系转换不等式解集 18.（2025山西吕梁期末）已知关于的一元二次不等式 的解集为，则 的值为__. 19.（2025甘肃陇南一中期中）若不等式的解集为 ，则不等式 的解集为_____________. 20.（多选/2025河南联考）已知二次函数 ，，为常数，且 的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. D.不等式的解集为 题型7 一元二次不等式的恒成立问题 21.（2025山东联考）已知不等式的解集为空集，则实数 的取值范围是( ) A. B. C., D., 22. （2025甘肃定西期末）已知命题“， ”为假命题，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 23.（2025甘肃天水一中期中）若关于的不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是__________. 24.（2024河北保定联考）已知关于的不等式 对任意的都成立，则 的取值范围是_______. 25.（2025江苏常州调研）若， 为假命题，则实数 的取值范围为_ ___________. 题型8 一元二次不等式有解问题 26.（2025天津第二南开学校期中）若存在，使得成立，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 27.（2025广东广州期中）若关于的不等式 的解集不为空集，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 28.（2025甘肃天水期中）若存在，有成立，则实数 的取值范围是_______________. 题型9 变换主元 29.不等式对任意，恒成立，则 的取值范围为___． 30.若，关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是______． 31.（2025浙江湖州期末）已知实数，，满足则 的最小值是__________. 题型10 元二次不等式的实际应用 32.（2025甘肃张掖检测）某地每年销售木材约20万 ，每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少 万，若既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则 的取值范围是_____________. 33.（2025江苏无锡辅仁高级中学期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展出具有中国特色的盲盒经济.某盲盒生产及销售公司今年初用98万元购进一批盲盒生产线，每年可有50万元的总收入，已知生产此盲盒年 为正整数所用的各种费用总计为 万元. （1） 该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）? （2） 该公司第几年的年平均利润最大？最大是多少? 参考答案 1.A【解析】 （对应二次函数图象开口向上,小于0取中间,大于0 取两边）,若“”是“ ”的必要不充分条件,则集合是集合的真子集,所以. 2.D【解析】 先解不等式得到的范围,再根据的定义求出 的范围． ,即,即 ,解得.由表示不大于的最大整数,则 ． 3.(1)【答案】 不等式两边同乘,得 ,则 ,所以,即不等式的解集为 . (2)【答案】 由题可得, ,所以由求根公式可得方程的两根为,所以不等式的解集为 }. (3)【答案】 ,则不等式的解集为 . (4)【答案】 ,则不等式的解集为 . (5)【答案】 不等式可化为即 解得即或 （注意取两不等式的交集）,所以原不等式的解集为 . 4.(1)【答案】 ,即（可看成关于 的一元二次不等式）. 令,则原不等式可化为,即 ,所以 .因为,所以,即,解得 . 故不等式的解集为 }. (2)【答案】 ,即（可看成关于 的一元二次不等式）.令,则原不等式可化为,解得 . 因为,所以,即,所以 . 故不等式的解集为 . (3)【答案】 ,即（可看成关于 的一元二次不等式）.令,则原不等式可化为,解得或 （舍去）,所以,所以或.故不等式的解集为或 5.C【解析】 ,解得 ,即不等式的解集为 }； 6.BCD【解析】 当时, ,不等式成立,因此解集至少含有0,肯定不为； 当且时（如时, 恒成立）,不等式的解集为 ； 若该结论正确,则必有解得则不等式为,解得 ； 显然（当,时,的解集为 ）,且 ,1是一元二次方程的两个实数根,则解得 7.B【解析】 不等式左侧可因式分解为 ,对应方程有两个根,需比较1和 的大小,分情况讨论解集. 由可得 , 当时, 无解,不满足题意； 当时,原不等式解得,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为 和0,因此可得,即 ； 当时,原不等式解得 ,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为2和3,因此可得,即 ； 综上所述,实数的取值范围为或 . 8.BCD【解析】 二次项系数含有参数,应先讨论是否为0,容易遗漏 时为一元一次不等式的情况. 当时,不等式可化为,则不等式的解集为 ,B正确. 当时, 为一元二次不等式,且可因式分解为 .二次项系数影响不等号是否变号,因此再分, 两种情况：时,可化为 （求解集需对两根大小进行讨论）, 当,即时,不等式的解集为或 ,C正确, 当,即时,不等式的解集为 , 当,即时,不等式的解集为或 ； 时,可化为,此时显然 ,不等式的解集为 ,D正确. 不等式的解集不可能为 ,故A错误. 9.(1)【答案】 ,即 ,因为 ,所以不等式的解集为 . (2)【答案】 ,即,即 , 所以当,即时,不等式的解集为 ； 当,即时,不等式的解集为 ； 当,即时,不等式的解集为 . 10.(1)【答案】 对于一元二次方程, , 当时,,的解集为 ； 当时,,的解集为 ； 当时,,方程的两根分别为, ,且,则的解集为 }. 综上,当时,不等式的解集为 ,当 时,不等式的解集为 }. (2)【答案】 对于一元二次方程（已知 ,肯定是一元二次不等式）,判别式 , 当时,,等价于,其解集为 ； 当时,,方程的两根分别为, , 且 , 则的解集为 ； 当时,,不等式的解集为 . 综上,当时,不等式的解集为;当 时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为 (3)【答案】 对于一元二次方程, , 当时,,的解集为 ； 当时,,的解集为 ； 当或时,,方程的两根分别为, ,且.所以不等式的解集为 }.综上,当时,不等式的解集为 ；当或 时,不等式的解集为 }. 11.} 【解析】 左右两侧同时平方得,所以 ,故,化简得,解得 }. 12.(1)【答案】 将直接去掉绝对值符号,得或 ,即或,所以 （十字相乘法）或（配方法）,解得或 . 故不等式的解集为或 . (2)【答案】 当时,原不等式即,所以 ；当时,原不等式即,即,解得或,所以 . 综上,不等式的解集为或 }. (3)【答案】 ,即或,解得 或,所以.故不等式的解集为 . 13.A【解析】 因为,所以 （小于号说明分子分母都不为0）,解得 , 若,则 ； 若,则不一定满足 . 所以“”是“ ”的充分不必要条件. 14.或 【解析】 ,即（注意要把 系数化为正的）, 即 （ 认为分式不等式与一元二次不等式等价,直接转化为 导致错误）解得或 . 15.或 【解析】 不等式组法.原不等式可化为或 即 或解得或 . 16. 【解析】 等价于 .利用数轴穿根法 （如图所示）,注意 的次数为2,因此穿而不过,则不等式的解集为 . 17. 【解析】 先移项再化简,得 ,即,即 ,分子、分母分别分解因式得,等价于求解,且分母不为0,即, ,每一个因式都是一次,由数轴穿根法（如图）可得不等式的解集为 （注意不要漏掉 ）. 18. 【解析】 一元二次不等式解集的端点值正好是相应一元二次方程的根,利用根与系数关系求解参数即可.因为关于的一元二次不等式 的解集为 ,所以关于的一元二次方程的两个根分别为 ,2,由根与系数的关系可得解得所以 . 19. 【解析】 因为不等式的解集为,所以 和2是方程的两个根,且,所以可得, ,则不等式可化为 ,由,则可整理得（,不等式两边同时除以 时,注意变号）,解得,故不等式的解集为 . 20.BCD【解析】 由图象可知,该二次函数开口向上,故,与 轴的交点 为, , 故 ,即 , . ； ； ； 可化为,又 ,则 , 即（十字相乘法）,其解集为 . 21.A【解析】 由不等式的解集为空集,可得 恒成立,由可知需满足（恒成立的不等式含“ ”,则判别式也要含“ ”）,解得,即实数的取值范围是 . 22.D【解析】 由题意知命题“,”为假命题,则命题“ , ”为真命题.由于二次项系数含参,则需考虑参数是否为零. 当时,,即 ,符合题意； 当时,需满足解得.综上,实数的取值范围是 . 23. 【解析】 不等式对任意恒成立,所以小于等于 在该范围内的最小值,因为 ,对应的二次函数图象开口向上,对称轴为直线,所以当时,取得最小值,所以 . 24. 【解析】 当时,不等式显然成立,此时 ； 当时,,则有对任意的 都成立,则 （利用一次函数在上单调求解）解得 ．综上,实数的取值范围是 ． 25. 【解析】 ,为假命题,则 , 为真命题,即,又 （）恒成立,所以 ,设,则, ,（一次比二次型,通过对分子换元为 ,可以将式子转化为的形式） 又,当且仅当时等号成立,所以 ,当且仅当时等号成立,所以 . 26.C【解析】 因为 恒成立,所以原不等式等价于 在上有解,即 有解,所以 ,解得 , 即实数的取值范围为 . 27.C【解析】 分二次项系数是否为零两种情况讨论： 当时, . 若,原不等式为,解得,则不等式的解集为 },不是空集； 若,原不等式为 ,无解,不符合题意. 当,即时,若不等式 的解集为空集,则 解得,所以当不等式 的解集不为空集时,或且 . 综上所述,取并集得实数的取值范围为 . 28. 【解析】 因为,所以将原不等式分离参数可得 , 设,已知存在,有成立,则大于在 上的最小值, 令,,则 ,,当且仅当时等号成立,所以在上的最小值为 ,则 . 29. 【解析】 以为主元.原不等式等价于 恒成立, 所以且,即 ,所以 ,解得 ． 30. 【解析】 将原不等式看成关于变量的不等式,即 , 其判别式 , 因此不等式的解集为 , 因为,所以,,要使不等式恒成立,则． 31. 【解析】 由可得 , 当时,, ； 当时,,所以（消去 ）,即 , 令,则（以为主元, 为参数）,该方程有正根, 则即即 ,即 解得所以 , 因为函数图象的对称轴为直线 ,开口向下, 所以当时,取最小值,最小值为 . 32. 【解析】 设按销售收入的征收木材税时,税金收入为 万元, 则,令,即 ,解得 . 33.(1)【答案】 设利润为万元,则 , 由整理得 , 解得.因为 , 所以 ,所以该公司第3年首次盈利. (2)【答案】 由（1）知 , 则 , 当且仅当,即 时等号成立, 因此第7年的年平均利润最大,为12万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $