1.2.2 充分条件和必要条件-（Word同步练习）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合应用梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养抽象能力、推理能力及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|充分、必要、充要条件的判定与基础应用|结合生活情境（荀子名言）、集合关系判定，夯实概念理解| |能力提升练|新定义运算、综合判定、探究证明及复杂应用|设置多选题、证明题、开放题，深化逻辑推理与问题解决能力|

1.2.2　充分条件和必要条件 基础过关练 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.(2024江苏扬州五校联考)已知p:0<x<2,q:-1<x<3,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026重庆清华中学校月考)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”此名言中的“积跬步”是“至千里”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025四川成都期中)下列选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:xy>0,q:x>0,y>0 B.p:x=1,q:x2=1 C.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 D.p:两个三角形全等,q:两个三角形三边对应相等 4.(2025河南信阳期中)甲:“实数a,b,c满足2b=a+c”,乙:“实数a,b,c满足+=2”,则甲是乙的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列陈述句:①a<0或b<0;②a<0且b<1;③a<-1且b<0;④a<0或b<-1中,能成为“a<0且b<0”的必要不充分条件的是　　　　.(填序号)  题组二　充分条件、必要条件与充要条件的应用 6.(2025天津北辰期末)已知条件p:-1≤x≤3,条件q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　) A.{a|a>3}　　　　B.{a|a≥3} C.{a|a<-1}　　　　D.{a|a≤-1} 7.(2023辽宁省实验中学月考)若“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.a<1　　　　B.a≤1　　　　C.a>1　　　　D.a≥1 8.(2025江苏常州期中)已知条件p:2≤x≤3,q:2k-1≤x≤k+3,p是q的充分条件,则实数k的取值范围是　　　　.  9.(2025山东济南第一中学月考)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的　　　　?若实数m存在,求出m的取值范围;若m不存在,请说明理由.  请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件这三个条件中任选一个补充在上面的横线处. 能力提升练 题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.(2025广东江门期中)设m,n∈R,当mn≥0时,m⊗n=m+n;当mn<0时,m⊗n=|m+n|.例如-6⊗4=2,则“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a⊗b=-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025江苏南通期末)设x1<x2<x3,则“|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2”是“(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0”的(　　) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)(2024河南信阳高级中学月考)下列结论中正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件 B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件 C.“0<a<4”是“不等式ax2+ax+1>0恒成立”的充要条件 D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 4.(2026福建泉州联考)关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是(　　) A.a∈(-2,1)　　　　B.a∈(-2,0) C.a∈(-1,0)　　　　D.a∈(-1,1) 5.若a,b都是实数,试从①ab=0,②a+b=0,③a(a2+b2)=0,④ab>0中选出所有适合的条件,并用序号填空: (1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;   (2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;   (3)“a,b中至少有一个为0”的充要条件是　　　　.  6.(2026山西太原月考)设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0. 题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用 7.(2024重庆部分学校月考)已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,则3a+4b=　　　　.  8.(2025辽宁大连期末)已知集合A={x|-2≤x-1≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1,m∈R}. (1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.A　因为{x|0<x<2}⫋{x|-1<x<3},所以p是q的充分不必要条件. 2.B　“积跬步”不一定“至千里”,但“至千里”必有“积跬步”,故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 3.D　对于A,xy>0⇒x>0,y>0或x<0,y<0,所以p是q的必要不充分条件,不符合题意; 对于B,x=1⇒x2=1,x2=1⇒x=±1,所以p是q的充分不必要条件,不符合题意; 对于C,四边形是正方形⇒四边形的对角线互相垂直且平分,四边形的对角线互相垂直且平分⇒/四边形是正方形,所以p是q的充分不必要条件,不符合题意; 对于D,两个三角形全等⇒两个三角形三边对应相等,两个三角形三边对应相等⇒两个三角形全等,所以p是q的充要条件. 4.A　当a=b=c=0时,实数a,b,c满足2b=a+c,但+=2不成立; 反过来,由+=2可得a+c=2b. 综上所述,“实数a,b,c满足2b=a+c”是“实数a,b,c满足+=2”的必要不充分条件. 5.答案　①②④ 解析　由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<0”,反之则不行,故①正确; 由“a<0且b<0”可推出“a<0且b<1”,反之则不行,故②正确; 由“a<0且b<0”不可推出“a<-1且b<0”,反之则可行,故③是“a<0且b<0”的充分而不必要条件,故③错误; 由“a<0且b<0”可推出“a<0或b<-1”,反之则不行,故④正确. 6.C　设集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|x>a},因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,所以a<-1,所以a的取值范围是{a|a<-1}. 7.B　因为“x>2a-3”是“-1<x<3”的必要不充分条件, 所以集合{x|-1<x<3}是集合{x|x>2a-3}的真子集,故有2a-3≤-1⇒a≤1. 8.答案　 解析　设集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|2k-1≤x≤k+3},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以解得0≤k≤. 9.解析　因为m>1, 所以3m-2>1>1-m,故B≠⌀. 选①:充分不必要条件. 由题意得A⫋B,故且等号不同时成立,所以m≥4,即m的取值范围为{m|m≥4}. 选②:必要不充分条件. 由题意得B⫋A,故且等号不同时成立,所以m≤2,又m>1, 所以m的取值范围为{m|1<m≤2}. 选③:充要条件. 由题意得A=B,故无解, 故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件. 解题模板　在研究条件的充分性和必要性时,可以转化为集合间的关系.若条件p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分不必要条件⇔P⫋Q;p是q的必要不充分条件⇔P⫌Q;p是q的充要条件⇔P=Q. 能力提升练 1.A　当a=0,b=-1或a=-1,b=0时,ab=0, 则a⊗b=-1+0=-1; 当a⊗b=-1时,根据题意可知ab≥0,所以a+b=-1,故只要满足ab≥0且a+b=-1即可,显然不止a=0,b=-1和a=-1,b=0这两种情况,所以“a=0,b=-1或a=-1,b=0”是“a⊗b=-1”的充分不必要条件. 2.D　由x1<x2<x3,|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2不能推出x=x1或x=x2或x=x3,即不能推出(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0, 例如x=0,x1=,x2=,x3=满足|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2,但(x-x1)(x-x2)(x-x3)=-≠0,故充分性不成立; 由x1<x2<x3,(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,得x=x1或x=x2或x=x3,不能推出|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2, 例如x=x1=1,x2=2,x3=3,满足(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,但|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=3≠2,故必要性不成立. 所以“|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|=2”是“(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0”的既不充分也不必要条件. 3.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之不成立,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误. 4.C　易得关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0的两根为x1=a,x2=a+2,x1<x2, 要使得方程有一个正实根和一个负实根,需a<0,a+2>0,∴-2<a<0, 结合选项知,关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是a∈(-1,0). 5.答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0; ②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能一正一负; ③a(a2+b2)=0⇔a=0或 ④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0. 6.证明　充分性:由a-b+c=0,得b=a+c, 代入方程得ax2+(a+c)x+c=0,即(ax+c)(x+1)=0, 所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 必要性:将x=-1代入方程ax2+bx+c=0,得a-b+c=0. 综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0. 7.答案　-或30或2 解析　依题意得B⊆A,B≠⌀,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}. 当B={-1}时,有⇒ 所以3a+4b=3×(-2)+4×=-; 当B={3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×6+4×3=30; 当B={-1,3}时,有⇒ 所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2. 综上,3a+4b的值为-或30或2. 8.解析　(1)A={x|-2≤x-1≤5}={x|-1≤x≤6}, 若A∩B=⌀,则当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2; 当B≠⌀时,或解得m>5. 综上所述,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(5,+∞). (2)∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,∴集合B是集合A的真子集, 当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2, 当B≠⌀时,或解得2≤m≤. 综上所述,实数m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $