专题11 圆周运动的临界极值问题（专项训练）（山东专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦圆周运动临界极值问题，以模型分类构建知识体系，覆盖水平、竖直、倾斜场景，结合新情境与真题实现分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模拟·基础演练|5题型15题|按力源（摩擦/弹力）和轨道类型（绳/杆/圆盘）分类，突出临界条件分析|从水平面到竖直面再到倾斜圆盘，由单一力到复合力提供向心力，构建“受力分析-临界条件-极值计算”逻辑链| |重难·创新演练|5题|结合机器人表演、生活场景等新情境，考查复杂系统临界问题|在基础模型上增加外力、多体等变量，深化科学推理与模型建构能力| |真题·实战演练|3题|精选近3年高考真题，聚焦高频考点|对接高考命题趋势，强化运动和相互作用观念的应用|

专题11 圆周运动的临界极值（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C D D B D C BC AD AC BC BD ABD B BD D 重难·创新演练 题号 1 2 3 4 5 答案 B A B B C 真题·实战演练 题号 1 2 3 答案 D A AD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆周运动的临界极值问题（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 摩擦力主导型水平面的圆周运动 1 题型02 弹力主导型水平面的圆周运动 2 题型03 ‌轻绳/内轨道竖直平面内的圆周运动模型 4 题型04 轻杆/管轨道竖直平面内的圆周运动模型 5 题型05 倾斜圆盘运动模型 7 重难·创新演练 9 真题·实战演练 11 模拟·基础演练 考查重点：水平面内和竖直平面内临界和极值问题 ⏳题型01摩擦力主导型水平面的圆周运动 1．（2026·山东青岛·一模）如图甲所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心O的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图乙所示，物块与转台间的动摩擦因数，重力加速度，则物块能随转台一起转动（相对转台静止）的时间为（　　） A． B．1s C． D． 2.（2026·江西上饶·一模）如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数μ和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 3. （2026·福建福州·三模）如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q（可视为质点），它们与转台之间的动摩擦因数相同，P与转轴的距离为R1，Q与转轴的距离为R2，且R1<R2，转台绕转轴以角速度ω匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块P和Q均受到四个力作用 B．P的向心加速度大于Q的向心加速度 C．P所受到的摩擦力大于Q所受到的摩擦力 D．若角速度ω缓慢增大，Q一定比P先开始滑动 ⏳题型02 弹力主导型水平面的圆周运动 4. ▶新考法◀（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（     ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 5.如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后（A、B与容器接触面仍相对静止），下列说法正确的是（     ） A．两物体受到的摩擦力都增大 B．两物体受到的摩擦力大小都不变 C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 6. ▶新角度◀如图（a），光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为的轻绳，一端固定在圆锥顶点处，另一端拴着质量为的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力随的变化关系如图（b）所示，重力加速度取10m/s2，则下列正确的是（　　） A． B．m=1kg C．L=0.5m D．小球的角速度为4rad/s时，小球已经离开锥面 ⏳题型03轻绳/内轨道竖直平面内的圆周运动模型 7. （2026·山东潍坊·三模）（多选）如图所示，光滑水平轨道与竖直面内的粗糙半圆形轨道在B点相接，轨道半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，物体与弹簧不拴接，两者分离后经过B点的速度为，之后沿半圆形轨道运动，恰好能经过轨道最高点C。重力加速度为。则下列说法正确的是（    ） A．物体经过C点速度为0 B．压缩至A点时，弹簧的弹性势能为 C．由B到C过程中，摩擦力做功为 D．由A到B过程中，物体受到的地面支持力冲量为0 8. （25-26高三上·山东枣庄·期中）（多选）如图所示，长为的轻绳一端固定在点，另一端固定质量为的小球（可看成质点），现使小球在最低点获得的水平初速度，取重力加速度为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球速度第一次达到时，轻绳拉力为 B．小球速度第一次达到时，轻绳拉力为 C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 D．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 9. （2026·山东淄博·二模）（多选）如图，ABC是竖直面内的光滑固定轨道，A点在水平面上，轨道AB段竖直，长度为R，BC段是半径为R的圆弧，与AB相切于B点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平向右的外力作用，从A点以竖直向上沿轨道内侧开始运动。小球可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．在C点小球对轨道的压力大小为3mg B．在C点小球对轨道的压力大小为4mg C．小球落地时的速度大小为 D．小球落地时的速度大小为 ⏳题型04 轻杆/管轨道竖直平面内的圆周运动模型 10. ▶新情境◀（多选）某商家为了促销推出弹珠抽奖游戏，游戏模型如图所示，平面游戏面板与水平面成角固定放置，面板右侧长为的直管道与半径为的细圆管轨道平滑连接，两者固定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端切线水平。游戏时，向下拉动“拉手”，放手后将弹簧顶端的小弹珠（可视为质点）弹出，若弹珠直接打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹珠质量，中奖区域AB长度，其等分为如图所示的五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．当弹珠从圆管轨道顶端以的速度飞出时，弹珠对轨道的压力为0.25N，方向沿斜面向上 B．当弹珠从圆管轨道顶端以的速度飞出时，顾客获得三等奖 C．顾客要想获得一等奖，弹簧初始弹性势能的取值范围应为或 D．只要弹簧初始弹性势能足够大，就一定可以获得一等奖 11. （2026·江西赣州·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内固定着圆心为O的光滑圆弧轨道BCD，现从A点以6 m/s的水平初速度抛出一质量为1 kg的小球，小球恰好从B点沿轨道切线方向进入圆弧轨道。已知CD为轨道的竖直直径，A、D点在同一水平线上，，不计空气阻力。取重力加速度大小，。下列说法正确的是（    ） A．小球经过B点时的速度大小为8 m/s B．圆弧轨道的半径为2 m C．小球不能通过圆弧轨道的D点 D．小球经过圆弧轨道D点时对轨道的压力大小为8 N 12. （多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，（重力加速度为g）以下说法正确的是（　　） A．速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动 B．当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D．只要，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg ⏳题型05 倾斜圆盘运动模型 13. ▶新情境◀如图，在倾角为的锥体表面上对称地放着可视为质点的、两个物体，用一轻绳跨过固定在顶部的光滑的定滑轮连接在一起，开始时轻绳绷直但无张力。已知、两个物体的质量分别为和，它们到竖直轴的距离均为 ，两物体与锥体表面的动摩擦因数均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，某时刻起，锥体绕竖直轴缓慢加速转动，加速转动过程中、两物体始终与锥体保持相对静止，，则（     ） A．轻绳有张力之前，物体受到的静摩擦力一直不变 B．轻绳即将有张力时，转动的角速度 C．在、滑动前所受的静摩擦力一直增大 D．在、即将滑动时，转动的角速度 14. （多选）如图甲所示，倾角的圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴以的角速度匀速转动，盘面上距离转轴0.1 m处的小物块a恰好随圆盘一起匀速转动。现将圆盘水平放置，如图乙所示，置于圆盘上的小物块a、b通过长度为0.5 m的轻绳连接，a到圆盘中心的距离为0.2 m。已知a、b材料相同，质量均为2 kg，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。水平圆盘绕过圆心的竖直轴以角速度匀速转动，a、b位于圆盘的同一直径上且相对圆盘静止，下列说法正确的是（　　） A．小物块与圆盘之间的动摩擦因数为0.7 B．乙图中，若，则a受到的摩擦力为零 C．乙图中，若b受到的摩擦力为零，则a受到的摩擦力为8 N D．乙图中，的最大值为 15. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离轴距离0.5m处有一质量为0.2kg的小物体，与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知盘面与水平面的夹角为30°，g取，若小物体与圆盘恰好能始终保持相对静止，则（    ） A． B．小物体做圆周运动的向心力等于其受到的摩擦力 C．最高点与最低点受到的摩擦力相差0.5N D．物体在与圆心等高处受到的摩擦力大小为 重难·创新演练 设题创新:结合机器人表演“水流星”考查(T1);结合生活实际(T3);新角度考查研究方法(T2); 1．▶新情境◀（2026·湖北武汉·模拟预测）如图为探究机器人模仿人类表演杂技“水流星”示意图，一个质量为的机器人，站在台秤上，一长为的悬线一端系一个质量为的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，a、b、c为小球运动轨迹上的点，a、c与圆心等高，且小球通过圆轨道最高点b时速度为。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中，台秤的示数最大为 B．小球运动过程中，台秤的示数最小为 C．小球在a、b两个位置时，台秤的示数相同 D．小球从b点运动到c点的过程中重力的瞬时功率先变大后变小 2．▶新角度◀（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O点距离r处，小孩与盘面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r的可能取值范围为（　　） A．0<r≤2.5m B．1m≤r≤3.5m C．2.5m≤r≤4m D．2.5m≤r≤5m 3. 如图所示，一个磁铁吸附在竖直的门板上保持静止，假设磁铁的质量为m，距离门轴为r，与门板之间的磁力和动摩擦因数分别为和，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现匀速转动门板，为使磁铁不滑动，则门板转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 4. （2026·四川资阳·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心O为坐标原点，建立坐标系。将一质量为m的小球从B点正上方A处静止释放，从B点进入圆轨道。小球经过轨道最低点C时，对轨道的压力大小为，到达D点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误是（　　） A．小球在C点的速度大小为 B．小球在D点所受合力沿半径方向指向O点 C．D点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点E与D点的竖直高度差为 5. （2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 真题·实战演练 高频考点：圆周运动的临界和极值问题 1．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 2．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·湖南·高考真题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（    ）    A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变 C．小球的初速度 D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆周运动的临界极值问题（专项训练） 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 摩擦力主导型水平面的圆周运动 1 题型02 弹力主导型水平面的圆周运动 4 题型03 ‌轻绳/内轨道竖直平面内的圆周运动模型 7 题型04 轻杆/管轨道竖直平面内的圆周运动模型 10 题型05 倾斜圆盘运动模型 15 重难·创新演练 19 真题·实战演练 24 模拟·基础演练 考查重点：水平面内和竖直平面内临界和极值问题 ⏳题型01摩擦力主导型水平面的圆周运动 1．（2026·山东青岛·一模）如图甲所示为某离心分离装置示意图，水平转台可在电机的带动下绕过圆心的竖直轴转动。开始时将质量为1kg的物块静置于转台上，物块到转台圆心O的距离为1m，时刻启动电机，转台由静止开始加速转动，其角速度与时间关系图像如图乙所示，物块与转台间的动摩擦因数，重力加速度，则物块能随转台一起转动（相对转台静止）的时间为（　　） A． B．1s C． D． 【答案】C 【详解】由图乙结合可知，物块随转台加速转动时的线速度大小变化情况为 则物块沿切向方向的加速度大小为 根据牛顿第二定律可得，物块沿切向方向的静摩擦力大小为 则物块指向圆心的最大静摩擦力大小为 当物块受的摩擦力为最大静摩擦力时，物块能随转台一起转动达到最大的角速度，此时根据牛顿第二定律可得 解得 由乙图可知，此时物块能随转台一起转动（相对转台静止）的时间为。 故选C。 2.（2026·江西上饶·一模）如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数μ和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据最大静摩擦力提供向心力有 由图（c）可知 解得 图（c）中阴影部分面积S大小等于沿x轴方向的位移大小，对应滑块匀速圆周运动的圆心角为 阴影部分面积S大小 故选D。 3. （2026·福建福州·三模）如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q（可视为质点），它们与转台之间的动摩擦因数相同，P与转轴的距离为R1，Q与转轴的距离为R2，且R1<R2，转台绕转轴以角速度ω匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块P和Q均受到四个力作用 B．P的向心加速度大于Q的向心加速度 C．P所受到的摩擦力大于Q所受到的摩擦力 D．若角速度ω缓慢增大，Q一定比P先开始滑动 【答案】D 【详解】A．转动过程中，两滑块相对转台静止，滑块P和Q均受到重力、支持力和摩擦力三个力作用，故A错误； BC．转动过程中，两滑块相对转台静止，两滑块有相同的角速度，都由静摩擦力提供向心力，则有 因两滑块的质量相同，而R1<R2，故，即P需要的向心力小于Q需要的向心力，P的向心加速度小于Q的向心加速度，故BC错误； D．设两滑块与转台的动摩擦因数为，则最大静摩擦力为 则两滑块的最大静摩擦力相同；根据上述分析可知，在没有滑动前，Q所需要的向心力总是大于P所需要的向心力，则Q所受的静摩擦力总是大于P所受的静摩擦力，当角速度ω缓慢增大时，Q先达到最大静摩擦力，则Q一定比P先开始滑动，故D正确。 故选D。 ⏳题型02 弹力主导型水平面的圆周运动 4. ▶新考法◀（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（     ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 【答案】B 【详解】ABC．初始状态时，小球受重力、拉力和圆环弹力的作用，当圆环以角速度ω匀速转动时，由正交分解可知 水平方向有 竖直方向有 解得 ， 当时，圆环对小球的弹力 当时，细绳拉力 可见小球不是一定受三个力作用的。故A、C错误，B正确； D．由以上可知，小球做圆周运动的向心力是由和的合力来提供的，当较小时，所需向心力也较小，则和方向相反，由于绳上只要有拉力，拉力方向就不变，始终沿绳指向，故弹力方向应沿半径向外；当时，恰好为圆周运动提供向心力，此时，弹力正好为零。若继续增大，所需向心力也要继续增大，则和方向相同，即弹力方向应沿半径向内。若再进一步增大，小球就要上滑。因此，当 ，小球不滑动。 ，支持力沿半径向外； ，支持力沿半径向内。故B正确。 故选B。 5.如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后（A、B与容器接触面仍相对静止），下列说法正确的是（     ） A．两物体受到的摩擦力都增大 B．两物体受到的摩擦力大小都不变 C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变 D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大 【答案】D 【详解】对A，竖直方向根据受力平衡可得 对B，水平方向根据牛顿第二定律可得 当转速增大后，即角速度增大后，可知物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大。 故选D。 6. ▶新角度◀如图（a），光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为的轻绳，一端固定在圆锥顶点处，另一端拴着质量为的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力随的变化关系如图（b）所示，重力加速度取10m/s2，则下列正确的是（　　） A． B．m=1kg C．L=0.5m D．小球的角速度为4rad/s时，小球已经离开锥面 【答案】C 【详解】A．小球仍与锥面接触时，沿绳方向由牛顿第二定律得 小球离开锥面后做圆锥摆运动，有 由图像可知第一段图线的斜率为 后一段图线经过，故 所以，解得，故A错误； B．由两段图线斜率之比得、 图线纵截距满足 解得，故B错误； C．小球离开锥面后有，由后一段图线经过 整理得，由两段图线斜率之比及纵截距得，所以，故C正确； D．图线折点对应支持力恰好减为零，小球即将离开锥面，此时 即；当时，小球仍与锥面接触，故D错误。 故选C。 ⏳题型03轻绳/内轨道竖直平面内的圆周运动模型 7. （2026·山东潍坊·三模）（多选）如图所示，光滑水平轨道与竖直面内的粗糙半圆形轨道在B点相接，轨道半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，物体与弹簧不拴接，两者分离后经过B点的速度为，之后沿半圆形轨道运动，恰好能经过轨道最高点C。重力加速度为。则下列说法正确的是（    ） A．物体经过C点速度为0 B．压缩至A点时，弹簧的弹性势能为 C．由B到C过程中，摩擦力做功为 D．由A到B过程中，物体受到的地面支持力冲量为0 【答案】BC 【详解】A．物体恰好能经过轨道最高点C，则有 解得，故A错误； B．由于AB轨道光滑，故弹簧弹性势能全部转化为物体在B点的动能，则压缩至A点时，弹簧的弹性势能为，故B正确； C．由B到C过程中，对物体，根据动能定理有 联立解得，故C正确； D．由A到B过程中，物体受到的地面支持力不是0，时间也不是0，根据可知，物体受到的地面支持力冲量不为0，故D错误。 故选BC。 8. （25-26高三上·山东枣庄·期中）（多选）如图所示，长为的轻绳一端固定在点，另一端固定质量为的小球（可看成质点），现使小球在最低点获得的水平初速度，取重力加速度为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球速度第一次达到时，轻绳拉力为 B．小球速度第一次达到时，轻绳拉力为 C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 D．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为 【答案】AD 【详解】AB．小球运动过程机械能守恒，以最低点为零势能面，当速度 时 解得上升高度。 此时小球在O点下方，设绳子与竖直向下方向夹角为，由几何关系 得 沿绳方向合力指向O点提供向心力 代入数据得 故A正确，B错误； CD．轻绳刚好松弛时拉力，此时小球在O点上方，设轻绳与竖直向上方向夹角为，重力沿绳分力提供向心力 得 从最低点到该位置，总上升高度 再由机械能守恒 综合前述可得 故C错误，D正确； 故选AD。 9. （2026·山东淄博·二模）（多选）如图，ABC是竖直面内的光滑固定轨道，A点在水平面上，轨道AB段竖直，长度为R，BC段是半径为R的圆弧，与AB相切于B点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平向右的外力作用，从A点以竖直向上沿轨道内侧开始运动。小球可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．在C点小球对轨道的压力大小为3mg B．在C点小球对轨道的压力大小为4mg C．小球落地时的速度大小为 D．小球落地时的速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．水平外力，，A到C总竖直高度为，水平位移向左大小为，则外力做功 重力做功 从A到C，由动能定理得 解得 在C点，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知，小球对轨道压力为，A正确，B错误； CD．取向右为正，小球从C点飞出后，速度方向水平向左，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体，竖直方向有 解得运动时间 落地时 水平方向，由牛顿第二定律有 解得 落地时的水平速度 故合速度大小，C正确，D错误。 故选AC。 ⏳题型04 轻杆/管轨道竖直平面内的圆周运动模型 10. ▶新情境◀（多选）某商家为了促销推出弹珠抽奖游戏，游戏模型如图所示，平面游戏面板与水平面成角固定放置，面板右侧长为的直管道与半径为的细圆管轨道平滑连接，两者固定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端切线水平。游戏时，向下拉动“拉手”，放手后将弹簧顶端的小弹珠（可视为质点）弹出，若弹珠直接打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹珠质量，中奖区域AB长度，其等分为如图所示的五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．当弹珠从圆管轨道顶端以的速度飞出时，弹珠对轨道的压力为0.25N，方向沿斜面向上 B．当弹珠从圆管轨道顶端以的速度飞出时，顾客获得三等奖 C．顾客要想获得一等奖，弹簧初始弹性势能的取值范围应为或 D．只要弹簧初始弹性势能足够大，就一定可以获得一等奖 【答案】BC 【详解】AB．在圆管轨道顶端对弹珠受力分析 解得 根据牛顿第三定律，弹珠对轨道的压力为，方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律有 解得 根据运动的分解有 联立解得 ， 由于 则小球落在三等奖区域，顾客获得三等奖，故A错误，B正确； CD．根据能量守恒有 对类平抛运动有 联立得 顾客获得一等奖时 或 解得 或 故C正确，D错误。 故选BC。 11. （2026·江西赣州·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内固定着圆心为O的光滑圆弧轨道BCD，现从A点以6 m/s的水平初速度抛出一质量为1 kg的小球，小球恰好从B点沿轨道切线方向进入圆弧轨道。已知CD为轨道的竖直直径，A、D点在同一水平线上，，不计空气阻力。取重力加速度大小，。下列说法正确的是（    ） A．小球经过B点时的速度大小为8 m/s B．圆弧轨道的半径为2 m C．小球不能通过圆弧轨道的D点 D．小球经过圆弧轨道D点时对轨道的压力大小为8 N 【答案】BD 【详解】A．小球经过B点时的速度大小为，A错误； B．竖直方向 其中 解得圆弧轨道的半径为R=2m，B正确； C．若小球能到达D点，由 可得 由机械能守恒定律可知，到达D点的速度仍为 可知小球能通过圆弧轨道的D点，C错误； D．小球经过圆弧轨道D点时 解得FN=8N 则由牛顿第三定律可知，在D点时小球对轨道的压力大小为8N，D正确。 故选BD。 12. （多选）如图，光滑管形固定圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，（重力加速度为g）以下说法正确的是（　　） A．速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动 B．当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D．只要，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg 【答案】ABD 【详解】A．当小球经过最高点的速度为0时，根据动能定理可得 解得小球在最低点的速度为 则速度v应满足，才能使两球在管内做圆周运动，故A正确； B．当时，从最低点到最高点过程，根据动能定理可得 解得小球b在轨道最高点的速度大小为 此时重力刚好提供向心力 可知小球b在轨道最高点对轨道无压力，故B正确； C．当小球b在最高点对轨道无压力时，此时小球b在最高点的速度为，小球a在最低点的速度为，则有 故C错误； D．只要，可知两球在管内可以做完整的圆周运动，且此时小球b在最高点的速度为，设小球a在轨道最低点的速度为，根据牛顿第二定律可得 小球b在轨道最高点的速度为，根据牛顿第二定律可得 根据动能定理可得 联立可得 可知小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg，故D正确。 故选ABD。 ⏳题型05 倾斜圆盘运动模型 13. ▶新情境◀如图，在倾角为的锥体表面上对称地放着可视为质点的、两个物体，用一轻绳跨过固定在顶部的光滑的定滑轮连接在一起，开始时轻绳绷直但无张力。已知、两个物体的质量分别为和，它们到竖直轴的距离均为 ，两物体与锥体表面的动摩擦因数均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，某时刻起，锥体绕竖直轴缓慢加速转动，加速转动过程中、两物体始终与锥体保持相对静止，，则（     ） A．轻绳有张力之前，物体受到的静摩擦力一直不变 B．轻绳即将有张力时，转动的角速度 C．在、滑动前所受的静摩擦力一直增大 D．在、即将滑动时，转动的角速度 【答案】B 【详解】A．绳子无张力前，对受力分析，水平方向有 竖直方向有 其中沿锥面向上。解得 可见随增大而增大，故A错误； B．绳子刚要产生张力时，且的静摩擦力达到最大值。由水平方向和竖直方向方程可得、 令，得到 即进入张力状态的临界关系。代入、、、、 整理得，故B正确； C．绳子产生张力后，较重，沿锥面向下的趋势更强，故其静摩擦力保持为沿锥面向上的最大值。 由受力平衡可得 即 按沿锥面向上为正，随增大而减小，故其大小不可能一直增大，故C错误； D．、即将滑动时，有沿锥面向下的趋势，有沿锥面向上的趋势，故摩擦力方向分别为沿锥面向下、沿锥面向上。设、 对有、 对有、 消去，得，得到临界条件。 代入数据得= 所以，故D错误。 故选B。 14. （多选）如图甲所示，倾角的圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴以的角速度匀速转动，盘面上距离转轴0.1 m处的小物块a恰好随圆盘一起匀速转动。现将圆盘水平放置，如图乙所示，置于圆盘上的小物块a、b通过长度为0.5 m的轻绳连接，a到圆盘中心的距离为0.2 m。已知a、b材料相同，质量均为2 kg，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。水平圆盘绕过圆心的竖直轴以角速度匀速转动，a、b位于圆盘的同一直径上且相对圆盘静止，下列说法正确的是（　　） A．小物块与圆盘之间的动摩擦因数为0.7 B．乙图中，若，则a受到的摩擦力为零 C．乙图中，若b受到的摩擦力为零，则a受到的摩擦力为8 N D．乙图中，的最大值为 【答案】BD 【详解】A．倾斜圆盘上，小物块恰好不滑动，在最低点时，沿盘面方向，最大静摩擦力减去重力分力提供向心力 代入数据解得，故A错误； B．乙图中，离中心距离，绳长，、在中心两侧，故离中心距离 最大静摩擦力 设摩擦力指向中心为正，拉力为，向心力指向中心，得方程 两式相减得 当较小时，绳子松弛，均指向中心；当增大，需要的向心力更大，先达到最大静摩擦力 解得绳上有拉力的临界角速度 此后继续增大，保持，代入得 若，代入得 即受到的摩擦力恰好为零，达到最大静摩擦力，故B正确； C．若受到的摩擦力为零，即，根据之前分析，当大于临界值后，的摩擦力始终保持最大，之后不存在的情况；即只有时才会有，则，故C错误； D．当继续增大，减小为负（方向背离中心），直到大小达到最大静摩擦力，此时，达到最大值，代入得 解得，故D正确。 故选BD。 15. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离轴距离0.5m处有一质量为0.2kg的小物体，与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知盘面与水平面的夹角为30°，g取，若小物体与圆盘恰好能始终保持相对静止，则（    ） A． B．小物体做圆周运动的向心力等于其受到的摩擦力 C．最高点与最低点受到的摩擦力相差0.5N D．物体在与圆心等高处受到的摩擦力大小为 【答案】D 【详解】A．最低点最容易滑动，小物体恰好相对静止，说明最低点静摩擦力达到最大值。对最低点受力分析，沿盘面指向圆心的合力提供向心力 解得，故A错误； B．小物体的向心力由重力沿盘面的分力和摩擦力的合力提供，不是仅由摩擦力提供，故B错误； C．最高点沿盘面指向圆心方向受力 得 则最高点摩擦力大小为，方向沿斜面向上 最低点沿盘面指向圆心方向受力 得 摩擦力大小差，故C错误； D．物体在圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力为，方向垂直于圆心与物体的连线；向心力沿连线指向圆心，大小为 摩擦力是两个垂直分力的合力，故D正确。 故选D。 重难·创新演练 设题创新:结合机器人表演“水流星”考查(T1);结合生活实际(T3);新角度考查研究方法(T2); 1．▶新情境◀（2026·湖北武汉·模拟预测）如图为探究机器人模仿人类表演杂技“水流星”示意图，一个质量为的机器人，站在台秤上，一长为的悬线一端系一个质量为的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内沿顺时针方向做圆周运动，a、b、c为小球运动轨迹上的点，a、c与圆心等高，且小球通过圆轨道最高点b时速度为。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中，台秤的示数最大为 B．小球运动过程中，台秤的示数最小为 C．小球在a、b两个位置时，台秤的示数相同 D．小球从b点运动到c点的过程中重力的瞬时功率先变大后变小 【答案】B 【详解】A．从最高点到最低点由机械能守恒定律 小球运动到最低点时绳的拉力最大，则 解得 则台秤的示数最大为，A错误； B．当绳与竖直方向的夹角为θ（过圆心的水平线以上）时台秤示数，由机械能守恒定律 由牛顿第二定律 解得 台称的示数 则当时FN有最小值，B正确； C．小球在a点时绳的拉力无竖直分量，则台称读数为Mg；b点时台称读数 即小球在a、b两个位置时，台秤的示数不相同，C错误； D．小球从b点运动到c点的过程中速度的竖直分量逐渐增加，根据可知，重力的瞬时功率逐渐增加，D错误。 故选B。 2．▶新角度◀（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O点距离r处，小孩与盘面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r的可能取值范围为（　　） A．0<r≤2.5m B．1m≤r≤3.5m C．2.5m≤r≤4m D．2.5m≤r≤5m 【答案】A 【详解】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设半径为，根据牛顿第二定律有 解得 当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，设半径为，根据牛顿第二定律有 解得 可知，故不符合要求。 故距离r的可能取值范围为 故选A。 3. 如图所示，一个磁铁吸附在竖直的门板上保持静止，假设磁铁的质量为m，距离门轴为r，与门板之间的磁力和动摩擦因数分别为和，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现匀速转动门板，为使磁铁不滑动，则门板转动的最大角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】磁铁受到的向心力由摩擦力和重力的合力提供，则有 磁铁不滑动时，则有 联立解得 故选B。 4. （2026·四川资阳·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心O为坐标原点，建立坐标系。将一质量为m的小球从B点正上方A处静止释放，从B点进入圆轨道。小球经过轨道最低点C时，对轨道的压力大小为，到达D点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误是（　　） A．小球在C点的速度大小为 B．小球在D点所受合力沿半径方向指向O点 C．D点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点E与D点的竖直高度差为 【答案】B 【详解】A．小球在C点时 其中的 解得C点的速度大小为，A正确； B．小球在D点脱离轨道，则只受重力作用，所受合力方向竖直向下，B错误； C．设DO与x轴夹角为，可知在D点时 解得 则D点的坐标， 即D点坐标为，C正确； D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点E与D点的竖直高度差为，D正确。 此题选择错误选项，故选B。 5. （2025·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、两物块叠放在一起，与圆盘相对静止，一起做匀速圆周运动，和、和圆盘之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（     ） A．受到的向心力是受到的向心力的2倍 B．受到的合力是受到的合力的2倍 C．圆盘对的摩擦力是对的摩擦力的2倍 D．若缓慢增大圆盘的角速度，物块比物块先开始相对圆盘运动 【答案】C 【详解】AB．设两物块的质量为，依题意，二者叠放在一起做匀速圆周运动，做圆周运动的角速度和半径都相同，由牛顿第二定律有，因此一起运动时的、两物块受到的向心力大小相等，合力大小相等，A、B错误； C．根据前面分析可知，物块对物块的摩擦力等于物块的向心力，大小为 物块所受的合外力等于物块的向心力，分析物块的受力，有，其中 得，C正确； D．设和、和圆盘之间的动摩擦因数为，刚好相对滑动时的角速度为，有 得 、整体刚好相对圆盘滑动时的角速度为，有 得，二者临界角速度相等，会同时开始相对圆盘滑动，D错误。 故选C。 真题·实战演练 高频考点：圆周运动的临界和极值问题 1．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将陶屑视为质点，则（    ） A．离转轴越近的陶屑质量越大 B．离转轴越远的陶屑质量越大 C．陶屑只能分布在台面的边缘处 D．陶屑只能分布在一定半径的圆内 【答案】D 【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定，故为定值，即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过，即陶屑只能分布在半径为的圆内。故ABC错误，故D正确。 故选D。 2．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为，根据胡克定律有 插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力 对卷轴有 联立解得 故选A。 3．（2023·湖南·高考真题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（    ）    A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变 C．小球的初速度 D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 【答案】AD 【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为 vC = 0 则小球从C到B的过程中，有 联立有 FN= 3mgcosα－2mg 则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大，A正确； B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为 P = －mgvsinθ 则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，从B到C速度减小，速度的竖直分量减小，则重力的功率也减小，则B错误； C．从A到C的过程中有 解得 C错误； D．小球在B点恰好脱离轨道有 则 则若小球初速度v0增大，小球在B点的速度有可能为，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。 故选AD。 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $