5.3.2 正切函数的图象与性质-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，系统梳理定义域、周期性、奇偶性、单调性等核心知识点。通过“正切函数在定义域内是增函数吗”等知识辨析问题导入，衔接正弦、余弦函数学习基础，搭建三角函数性质的递进式学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过辨析纠正认知误区，如明确正切函数在各区间单调递增而非定义域内。典例采用“整体代换”求定义域、换元法求值域，体现数学语言的精确表达。助力学生发展逻辑推理与问题解决能力，教师可借助系统梳理与实例解析提升教学效果。

5.3.2　正切函数的图象与性质 必备知识 清单破 知识点 正切函数的图象与性质 函数 y=tan x 图象   定义域   第1讲　描述运动的基本概念 值域 实数集R 周期性 是周期函数,最小正周期是π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间 - +kπ, +kπ (k∈Z)上单调 递增 图象的 对称性 图象是中心对称图形,对称中心的坐标为   ,0 (k∈Z),没有对称轴 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.正切函数y=tan x在定义域内是增函数吗? 2.正切函数的图象是由一支支断开的曲线组成的,所以正切函数没有周期性.这句话对吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.正切函数y=tan x在每个开区间 (k∈Z)上单调递增,但在其定义域上不 单调递增. 2.不对.正切函数是周期函数,其周期为π. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 与正切函数有关的函数的定义域、值域问题 关键能力 定点破 1.(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了满足函数定义域的一般要求外,还要保证正 切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义域时,要将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ + ,k∈Z,解得x. 2.求与正切函数有关的函数的值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域;对于求由正 切函数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,但要注意新元的范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求函数f(x)=-2tan 的定义域; (2)求函数y=tan2x-2tan x 的值域. 解析    (1)令2x+ ≠kπ+ ,k∈Z,则x≠ + (k∈Z), 所以函数f(x)=-2tan 的定义域为 . (2)令u=tan x,因为|x|≤ ,所以由正切函数的图象(如图)知u∈[- , ],   第1讲　描述运动的基本概念 所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[- , ], 因为该二次函数的图象开口向上,对称轴方程为u=1, 所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1, 当u=- 时,ymax=3+2 , 所以原函数的值域为[-1,3+2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 1.正切曲线是中心对称图形, (k∈Z)是其对称中心.函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中 心可以通过令ωx+φ= ,k∈Z求得. 2.正切函数y=tan x的最小正周期是π,函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期是 . 3.正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法 (1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ-  <ωx+φ<kπ+ ,k∈Z,解得x的取值范围,即得原函数的增区间. (2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan [-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的 系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的取值范围,即得原函数的减区间. 定点 2 正切(型)函数的图象与性质的应用 第1讲　描述运动的基本概念 4.利用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　比较下列各组中两个正切函数值的大小. (1)tan 与tan ; (2)tan 2与tan 9. 解析    (1)易得tan =tan , tan =tan , 因为0< < < ,函数y=tan x在区间 上单调递增,所以tan <tan , 故tan <tan . (2)因为tan 9=tan(9-2π),而 <2<9-2π<π,函数y=tan x在 上单调递增, 所以tan 2<tan(9-2π),故tan 2<tan 9. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　设函数f(x)=tan . (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及图象的对称中心; (2)作出函数f(x)在一个周期内的图象,并求不等式-1≤f(x)≤1的解集. 解析    (1)由 - ≠ +kπ(k∈Z),得x≠ +2kπ(k∈Z), 所以f(x)的定义域是 . 因为ω= ,所以最小正周期T= = =2π. 由- +kπ< - < +kπ(k∈Z),得- +2kπ<x< +2kπ(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z),无单调递减区间. 由 - = (k∈Z),得x=kπ+ (k∈Z),故函数f(x)图象的对称中心是 (k∈Z). 第1讲　描述运动的基本概念 (2)分别令 - =0,- , ,得x= ,- , , ∴函数f(x)=tan 的图象与x轴的一个交点坐标是 ,在这个交点左、右两侧相邻的 两条渐近线方程分别是x=- ,x= , 从而得到函数y=f(x)在一个周期 内的简图(如图).   第1讲　描述运动的基本概念 令 - =- ,得x= ,令 - = ,得x= .∴在一个周期内,-1≤f(x)≤1的解集为 ,故不等 式-1≤f(x)≤1的解集为 ,k∈Z. 第1讲　描述运动的基本概念 $