5.3.2 正切函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，涵盖定义域、值域、周期等核心知识点。课堂导入通过类比正弦、余弦函数的图象与性质提出问题，引导学生构建前后知识脉络，形成学习支架。 其亮点在于以情境导学和问题链驱动学习，结合直观想象和逻辑推理素养。通过思考辨析、例题解析及对比小结（如正切与正弦、余弦函数性质比较），帮助学生掌握性质应用，提升数学思维能力，助力教师高效教学与学生深度学习。

第5章　三角函数 5.3　三角函数的图象与性质 5.3.2　正切函数的图象与性质 学习任务 核心素养 1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域．(易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养． 5.3.2　正切函数的图象与性质 学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值． 类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质． (1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ 必备知识·情境导学探新知 5.3.2　正切函数的图象与性质 知识点　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 值域 ___ 周期 ___ 奇偶性 _________ 对称 中心 __________________ 单调性 在每一个区间__________________________________上都单调递增 R π 奇函数 ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 思考　正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？ [提示]　不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不是单调递增的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R． (　　) (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z． (　　) × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 体验　2．函数y＝tan 2x的定义域为___________________________， 周期为________． 　[由2x≠＋kπ，k∈Z可知x≠，k∈Z，T＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　正切函数的奇偶性与周期性 【例1】　(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　) A．　　　B．　　　C．π　　　D．2π (2)函数f (x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 √ √ 5.3.2　正切函数的图象与性质 (1)A　(2)A　[(1)T＝＝，故选A． (2)由题意可知，自变量x的取值范围为． 又f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数，故选A．] 反思领悟　1．函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：对于函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝． (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f (－x)与f (x)的关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 [跟进训练] 1．(1)函数f (x)＝(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 (2)若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________． √ ±2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 (1)A　(2)±2　[(1)由题意可知， ∴x≠＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z． 又f (－x)＝＝＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数，故选A． (2)由＝可知ω＝±2．] 类型2　正切函数的单调性 【例2】　【链接教材P185例5、例6】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为 _______________________________． (2)求函数y＝3tan 的单调区间． (1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？ (2)求y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？ tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 (1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[y＝tan x在区间上单调递增，且tan 1＝tan (π＋1)， 又＜2＜3＜4＜π＋1＜， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1．] (2)[解]　y＝3tan ＝－3tan ， 由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得， －＜x＜，k∈Z， 所以y＝3tan 的单调递减区间为，k∈Z． 【教材原题·P185例5、例6】 例5　求函数y＝tan 的定义域和单调区间． [解]　要使函数y＝tan 有意义，自变量x应满足2x＋≠＋kπ(k∈Z)，即x≠π(k∈Z)． 所以函数的定义域是． 由－＋kπ<2x＋<＋kπ，得－π＋π<x<π，k∈Z． 因此，函数的单调递增区间是，k∈Z． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 例6　利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)tan (－3)，tan (－3.1)；(2)tan ，tan ． [解]　(1)由于－－π<－3.1<－3<－π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan (－3.1)<tan (－3)． (2)由于－＋π<<<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，因此tan <tan ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 反思领悟　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 提醒：y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan (ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 [跟进训练] 2．(1)求函数y＝tan 的单调递增区间． (2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小． ①tan 220°与tan 200°； ②tan π与tan ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 [解]　(1)由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z得kπ－<x<kπ＋，k∈Z， 所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z． (2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°， 因为y＝tan x在上单调递增， 所以tan 220°>tan 200°． ②tan π＝tan ＝tan ， tan ＝tan ＝tan ， 因为－<<<， y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， 即tan π>tan ． 类型3　正切函数图象与性质的综合应用 【例3】　设函数f (x)＝tan ． (1)求函数f (x)的定义域、最小正周期、单调区间及图象的对称中心； (2)求不等式－1≤f (x)≤的解集． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 [解]　(1)由≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以f (x)的定义域是． 因为ω＝， 所以最小正周期T＝＝＝2π． 由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． 由＝(k∈Z)， 得x＝kπ＋(k∈Z)， 故函数f (x)图象的对称中心是(k∈Z)． (2)由－1≤tan ， 得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f (x)≤的解集是． 反思领悟　解形如tan x＞a的不等式的步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 [跟进训练] 3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性． [解]　由y＝|tan x|得 y＝ 其图象如图： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z． 1．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)为偶函数，T＝．] 5.3.2　正切函数的图象与性质 2．若tan x≥1，则(　　) A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z) B．x≤(2k＋1)π(k∈Z) C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z) D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z) √ D　[因为tan x≥1＝tan ． 所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 3．(教材P186练习T3(2)改编)比较大小：tan ______tan ． <　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在内单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan ．] < 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 4．函数y＝tan (π－x)，x∈的值域为______________． (－，1)　[y＝tan (π－x)＝－tan x， 在上单调递减，所以值域为(－，1)．] (－，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 5．已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为__________________________． ，k∈Z　[由x－＝(k∈Z)得x＝(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．] ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 回顾本节知识，自我完成以下问题： 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？ [提示]　 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 定义域 R 值域 R [－1，1] 最值 无 最大值为1 最小值为－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝π T＝2π 对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．函数f (x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． 课时分层作业(四十七)　正切函数的图象与性质 √ 38 A　[由题意得 即k∈Z，所以x≠(k∈Z)，选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若函数f (x)＝tan 与函数g(x)＝sin 的最小正周期相同，则ω＝(　　) A．±1 B．1 C．±2 D．2 √ A　[∵函数g(x)的最小正周期为＝π，∴＝π，∴ω＝±1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 40 3．函数y＝tan 图象的一个对称中心是(　　) A．(0，0) B． C． D．(π，0) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[令x＋＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以函数y＝tan 图象的对称中心是，k∈Z． 令k＝2，可得函数图象的一个对称中心为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 41 4．下列各式中正确的是(　　) A．tan 735°＞tan 800° B．tan 1＞－tan 2 C．tan ＜tan D．tan ＜tan 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[对于A，tan 735°＝tan 15°，tan 800°＝tan 80°， tan 15°＜tan 80°，所以tan 735°＜tan 800°； 对于B，－tan 2＝tan (π－2)，而1＜π－2＜，所以tan 1＜－tan 2； 对于C，＜＜＜π，tan ＜tan ；对于D，tan ＝tan ＜tan ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 42 5．(多选题)下列关于函数f (x)＝tan 的相关性质的命题，正确的有(　　) A．f (x)的定义域是 B．f (x)的最小正周期是π C．f (x)的单调递增区间是(k∈Z) D．f (x)图象的对称中心是(k∈Z) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 43 AC　[对于A，令2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)， 则函数y＝f (x)的定义域是，A选项正确； 对于B，函数y＝f (x)的最小正周期为，B选项错误； 对于C，令kπ－<2x＋<kπ＋(k∈Z)，解得<x<(k∈Z)， 则函数y＝f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，C选项正确； 对于D，令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)， 则函数y＝f (x)图象的对称中心为(k∈Z)，D选项错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 二、填空题 6．函数f (x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　[由题意可得f (x)的周期为，则＝， ∴ω＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 45 7．函数y＝tan 的单调递增区间是__________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z， 得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z， 即函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．] ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 46 8．函数y＝的值域为__________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，－1)∪(1，＋∞)　[当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴＜－1； 当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴＞1． 即当x∈时，函数y＝的值域是 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．] (－∞，－1)∪(1，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 47 三、解答题 9．已知函数f (x)＝3tan ． (1)求它的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f (π)与f 的大小． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ，所以T＝＝＝4π． 由kπ－＜＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 48 因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增， 所以f (x)＝3tan 在(k∈Z)上单调递减． 故函数f (x)的最小正周期为4π， 单调递减区间为(k∈Z)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 (2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， 因为0<＜<，且y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，所以f (π)＞f ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1． 令tan x＝t，则t∈[－1，1]． ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5． ∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4． 故所求函数的值域为[－4，4]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 51 11．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D √ D　[当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 52 12．(多选题)下列关于函数y＝tan 的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 53 AB　[令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，k∈Z，解得x＝，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan 的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 13．已知f (x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －5　[∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， ∴a sin 5＋b tan 5＝6， ∴f (－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1 ＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5．] －5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 55 14．已知函数f (x)＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜，则正整数k的值为________，f (x)的单调递增区间为_________________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　，k∈Z　[因为1＜T＜， 所以1＜＜，即＜k＜π．因为k∈N＋， 所以k＝3．因为f (x)＝2tan ，由－＋kπ＜3x－＜＋kπ，k∈Z， 得－＜x＜，k∈Z． 所以f (x)＝2tan 的单调递增区间为，k∈Z．] 3 ，k∈Z 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 56 15．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan 在区间上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　y＝tan ＝tan ， ∵y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增的，∴a<0， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　正切函数的图象与性质 57 又x∈，∴－ax∈， ∴－ax∈， ∴解得－≤a≤6－8k(k∈Z)． 由－≤6－8k得k≤1， 又∵a<0，∴－<0，得k>－．当k＝0时，a不存在；当k＝1时， －2≤a≤－2． ∴a＝－2<0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 $