5.2.2 同角三角函数的基本关系 5.2.3 诱导公式-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系（平方、商数及变形）与诱导公式（公式一至六及记忆口诀），通过知识辨析题回顾三角函数定义，搭建从定义到基本关系及诱导公式的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合数学思维的推理能力与数学眼光的抽象能力，通过典例解析（如已知tanα求sinα、cosα）和齐次式求值方法，引导学生逻辑推理与转化。知识辨析和证明题训练数学语言表达，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

5.2.3　诱导公式 知识点 1 同角三角函数的基本关系 必备知识 清单破 5.2.2　同角三角函数的基本关系 1.平方关系 　　同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1. 2.商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切,即 =tan α,其中角α满足条件 α≠kπ+ ,k ∈Z. 3.同角三角函数的基本关系的常见变形 (1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=± ,cos α=± . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)sin α=cos α·tan α , cos α=  . (3)1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. 第1讲　描述运动的基本概念 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,tan(α+2kπ)=tan α,其中k∈Z. 公式二:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α. 公式三:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α. 公式五:sin =cos α,cos =sin α,sin =cos α,cos =-sin α. 公式六:tan = = = ,tan = = =- . 知识点 2 诱导公式 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. (1)“奇变偶不变”:“奇”“偶”是指k· ±α(k∈Z)中k的奇偶性.当k为奇数时,正弦变余弦, 余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变. (2)“符号看象限”:在记忆诱导公式时,把α看成锐角,再根据k· ±α(k∈Z)所在的象限及“一 全正,二正弦,三正切,四余弦”的符号规律确定符号. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.存在角α,使得sin α= 且cos α= 吗? 2.同一三角函数值相等时,角是否一定为终边相同的角? 3.若角α和β满足α+β=π,能否判断sin α和sin β的关系? 4.若sin <0,且cos >0,则θ为第几象限角? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不存在.因为对任意角α,满足sin2α+cos2α=1,而 + = ≠1,因此不存在角α,使得sin α=  且cos α= . 2.不一定.比如α= ,β= ,sin α=sin β= ,但α与β并不是终边相同的角. 3.能.因为β=π-α,所以sin β=sin(π-α)=sin α. 4.θ为第二象限角.因为sin =cos θ<0,cos =sin θ>0,所以θ为第二象限角. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 利用同角三角函数的基本关系求值 关键能力 定点破 1.sin α±cos α与sin αcos α之间的关系 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4·sin αcos α. 2.综合使用同角三角函数的两个基本关系式,对于sin α,cos α,tan α的值,只要知道其中一个就 可以求出另外两个. 3.在使用关系式sin α=± ,cos α=± 时,注意结合角的范围合理选择三角函数 值的符号. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知tan α=-2,且α是第二象限角,求sin α,cos α的值; (2)已知sin α+cos α= , <α<π,求tan α的值. 解析    (1)因为tan α=-2,且α是第二象限角, 所以sin α=-2cos α,sin α>0,cos α<0, 因为sin2α+cos2α=1, 所以(-2cos α)2+cos2α=1,即5cos2α=1, 所以cos α=- ,sin α= . (2)因为sin α+cos α= , 所以(sin α+cos α)2= , 所以2sin αcos α=- , 第1讲　描述运动的基本概念 又因为 <α<π, 所以sin α>0,cos α<0, 所以sin α-cos α =  = , 所以sin α= ,cos α=- , 所以tan α=- . 第1讲　描述运动的基本概念 定点2　  1.若已知tan α=m,求形如  的式子的值,其方法是将分子、分母 同除以cos α(或cos2α)转化为关于tan α的代数式,再求值.如果先求出sin α和cos α的值再代入, 那么运算量会很大,问题的解决就会变得烦琐. 2.形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,通常把它看作分母为1的式子,再用sin2α+cos2α代换分 母1,然后分子、分母同除以cos2α,再求解. 定点 2 求含sin α,cos α的齐次式的值 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知 =2,求下列各式的值. (1) ; (2)sin2α-2sin αcos α+1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由 =2得sin α=3cos α, 所以tan α=3. (1) =  = = . (2)sin2α-2sin αcos α+1 = +1 = +1= +1 = . 第1讲　描述运动的基本概念 　　解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间 的差异及联系,再将已知式进行变形(向所求式转化),或将所求式进行变形(向已知式转化).在 诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值是最常见的方法. 　　常见的互余关系有 -α与 +α, +α与 -α, +α与 -α等,常见的互补关系有 +α与 - α, +α与 -α等. 定点 3 利用诱导公式解决条件求值问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知cos = ,求cos -sin2 的值; (2)已知cos = ,求sin 的值. 思路点拨    观察已知式与待求式中角的关系,利用诱导公式求值. 解析    (1)∵cos =cos  =-cos =- , sin2 =sin2  =1-cos2 =1-  = , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴cos -sin2 =- - =- . (2)∵α+ = + , ∴sin =sin  =cos = . 第1讲　描述运动的基本概念 定点4　  1.三角函数式化简的方法和技巧 (1)方法 三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,灵活应用相关的公式及 变形解决问题. (2)技巧 ①异名化同名; ②异角化同角; ③切化弦; ④化繁为简. 定点 4 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式进行化简与证明 第1讲　描述运动的基本概念 2.证明三角函数式的常用方法 (1)对一边进行化简,使得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法:即证明等号两边都等于同一个数或式子. 　　注意:针对题设与结论间的差异,要有针对性地进行变形,以消除差异. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)化简:  ; (2)求证: + = . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式=   = =tan x. (2)证明:左边= +  = +  =  =  = =右边, ∴原等式成立. 第1讲　描述运动的基本概念 $