5.2.2同角三角函数的基本关系（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

5.2.2同角三角函数的基本关系 题型一 平方关系的应用 1．已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，得，又，所以. 故选：A. 2．已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，再通过商的关系求出． 【详解】∵，且为第四象限角，∴，则． 故选：A． 3（多选题）．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项. 【详解】A，因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； D，又由，所以，所以D正确； B，联立方程组，解得，所以B正确； C，由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 4（多选题）．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数关系并结合的范围逐一计算判断即可. 【详解】对于A，由，得，∴ ，故A正确； 对于B，由，得，又，∴， ∴， ，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D， 故选：ACD. 5．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】， 则，又，则， 则或（舍去）. 故答案为：. 6．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合求，，即可得. 【详解】因为，即，且， 整理可得，解得或， 且，则，可得，，所以. 故答案为：. 7．若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】根据同角的三角函数关系，即可求得答案. 【详解】由题意知，故，则， 故答案为：； 8．（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. （2）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. 【详解】（1）因为是第二象限角，所以；． （2）或因为是第三象限角，所以 9．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系齐次化后将弦化切后代入求值即可； （2）结合已知利用求出，进而结合角的范围求出，求出，即可得解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以，解得， 所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得.所以， 所以. 10．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解； （2）利用正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】（1）因为，在第二象限，所以，； （2）因为，所以. 题型二 由条件求正余弦 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件确定的位置，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，，所以是第四象限角， 所以，而，故，化简得， 而，代入得，解得(正根舍去)，故B正确. 故选：B 2．已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据角的终边在直线上，可得，即可求解. 【详解】由题意得角的终边在直线上，所以， 又因为，且，所以，故A项正确. 故选：A. 3（多选题）．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断. 【详解】由题意，代入，即， 整理得，即， 解得或，因为，所以， 于是，故B正确.因为，所以，故A正确； ，故C错误；，故D正确； 故选：ABD. 4．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合求，，即可得. 【详解】因为，即，且， 整理可得，解得或， 且，则，可得，，所以. 故答案为：. 5．国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与．21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会．这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且大正方形与小正方形面积之比为25:1，则 ． 【答案】/0.8 【分析】设直角三角形较短的直角边长为，表示出两个正方形面积，进而求得，再结合平方关系求解作答. 【详解】设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为， 因此小正方形的边长为，大正方形的边长为， 因为大正方形与小正方形面积之比为， 则，则， 两边平方得：，而，即有， 于是，解得，所以. 故答案为： 6．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系齐次化后将弦化切后代入求值即可； （2）结合已知利用求出，进而结合角的范围求出，求出，即可得解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以，解得， 所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得.所以， 所以. 7．如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点. (1)若，求的周长； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】 （1）根据题意，结合，解出，再找到边长与三角函数关系，计算即可； （2）根据与三角函数的关系得到方程，解出，再结合同角三角函数的关系和的范围即可求出三角函数值，再得到面积与三角函数值之间的关系，最后计算即可. 【详解】（1）因为直线与圆相切，所以. 在直角三角形中，，所以. 在直角三角形中，，所以. 因为，且，所以， 又因为为锐角，所以，所以的周长为. （2）因为，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以的面积. 8．已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用商数关系求解即可； （2）利用平方关系构建齐次式求解即可； （3）将所求式子平方，根据角的范围讨论符号，开平方即可, 【详解】（1）由，得， 将上式左边分子、分母同除以，得，解得． （2）由（1）知，所以． （3）由，得， 又由（1）知，，故与同号，所以，于是， ，． 9．已知函数 (1)求函数的定义域及的值；(2)若，求的值. 【答案】(1)，；(2)或 【分析】（1）根据有意义求解定义域，化简函数代入求值即可解答； （2）由题意，.，再利用同角函数的基本关系求解即可. 【详解】（1）由题意，函数有意义，只需有意义即可， 所以函数的定义域为， 因为，所以. （2）因为，且，所以. 又因为，所以，所以. 解方程组，得或，则或. 10．已知，，求下列各式的值. （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由结合条件可知是第四象限角，从而，由此可知，再利用平方关系求解即可； （2）利用条件及（1）的结论求出，再带入原式即可求出结果. 【详解】（1）， ，则， 又，则， 由，可得； （2） 由可得， （3） 1．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得，解得； 即可得,；所以. 故选：D 2．如图，已知平面四边形中，，，．   (1)若，，，四点共圆，求的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用余弦定理写出的表达式，结合A，，，四点共圆求出，求出的值，进而利用三角形的面积公式求解即可； （2）由（1）可得，表示出四边形的面积S的表达式得，由题意，结合三角形内角的范围及余弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ．① 在中，由余弦定理得 ．② 因为A，，，四点共圆，所以，因此， 由①+②得，得． 将代入①，得，故， 因此． （2）由（1）可知，得．③ 四边形的面积，则．④ 将③式两边同时平方，得， 将④式两边同时平方，得，得， 化简得．  由于，， 因此当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，且，得， 故四边形面积的最大值为． 3．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，由题意得，，由此可解出，由题意得，，，代入数据即可求出答案． 【详解】解：设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形， ∵每个顶点都是三个面的公共点，∴，又，解得，∴共有20个六边形； 又由题意得，，，∴，解得， ∵，∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系的应用，考查三角函数的实际应用，考查分析能力与计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2同角三角函数的基本关系 题型一 平方关系的应用 1．已知角，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 3（多选题）．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4（多选题）．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则 ． 6．若，，则 ． 7．若，则 ， ． 8．（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 9．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 10．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； 题型二 由条件求正余弦 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．1 3（多选题）．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则 ． 5．国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与．21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会．这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且大正方形与小正方形面积之比为25:1，则 ． 6．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 7．如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点. (1)若，求的周长； (2)若，求的面积. 8．已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)若，求的值． 9．已知函数 (1)求函数的定义域及的值；(2)若，求的值. 10．已知，，求下列各式的值. （1）；（2）. 1．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（    ）    A．1 B． C． D． 2．如图，已知平面四边形中，，，．   (1)若，，，四点共圆，求的面积； (2)求四边形面积的最大值． 3．如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角（）满足，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数. 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的六边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$