5.2.3.2诱导公式五、六课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　诱导公式五、六 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　诱导公式五 sin ＝________，cos ＝________，sin ＝________，cos ＝________ 要点二　诱导公式六 tan ＝________，tan ＝________． 　cos α sin α cos α －sin α － 状元随笔　(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　) (2)cos ＝cos α.(　　) (3)sin ＝－cos α.(　　) (4)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　) × × × √ 2．若sin ＜0，且cos ＞0，则θ是(　　) A．第一象限角　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：B 解析：由于sin ＝cos θ<0，cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 3．已知角θ的终边过点，cos ＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 答案：A 解析：因为角θ的终边过点， 所以sin θ＝＝－， 所以cos (－θ)＝sin θ＝－. 故选A. 4．sin 95°＋cos 175°的值为________． 0 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－ cos 5°＝0. 题型探究 课堂解透 题型1　利用诱导公式求值 例1　(1)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________． (2)已知sin＝，求cos 的值． 答案：(1)　(2)见解析 解析：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝ ＋＝. (2)cos＝cos ＝sin ＝－sin ＝－. 变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos 的值． 解析：cos ＝cos ＝－sin ＝sin ＝. 方法归纳 利用诱导公式五、六求值的三个关注点 (1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一． (2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少． (3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名． 提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系． 跟踪训练1　(1)已知sin (π＋α)＝，则cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)∵sin (π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴cos ＝－sin α＝－＝.故选A. (2)∵cos (α＋π)＝－cos α＝－∴cos α＝ ∴sin ＝－sin ＝－(－cos α)＝cos α＝. 题型2　利用诱导公式证明三角恒等式 例2　求证：＝. 证明：右边＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝左边， 所以原等式成立． 方法归纳 证明三角恒等式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则． (2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用． (3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1. 跟踪训练2　求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α. 证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立． 题型3　诱导公式的综合应用 例3　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)已知－＜α＜，f(α)＝，求tan α. 解析：(1)f(α)＝ ＝＝cos α. (2)因为f(α)＝，所以cos α＝， 当0<α<时，sin α＝＝，所以tanα＝＝， 当－<α<0时，sin α＝－＝－，所以tanα＝＝－， 综上可得，tan α＝±. 方法归纳 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值． 解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P， 所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－， 所以原式＝＝－·＝＝2. 易错辨析　不能确定角之间的特殊关系导致诱导公 式应用致误 例4　sin2＋sin2＝________． 解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2 ＝sin2＋cos2＝1. 易错警示 易错原因 纠错心得 不能发现“＝”导致无法应用诱导公式进行转换求值． 解决给值求值问题，首先要探寻条件角与问题角之间的关系，便于直接利用诱导公式整体求解． 课堂十分钟 1．已知sinα＝，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：cos ＝－sin α＝－.故选B. 2．已知cos (π＋α)＝，则sin 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin ＝－cos α＝.故选C. 3．已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：∵3sin α＋cos α＝0，∴3sin α＝－cos α， ∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝， 已知α为第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－， 即sin ＝cos α＝－.故选D. 4．已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝________． － 解析：因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝， 可得sin α＝， 因为α为第二象限角， 则cos α＝－＝－. 5．化简：. 解析：原式＝ ＝ ＝－sin θ. $$