5.1 任意角与弧度制-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦任意角与弧度制，包含角的概念、象限角与轴线角的集合表示、终边相同的角、角度制与弧度制换算及扇形公式。从初中角概念导入，通过正角负角扩展至任意角，逐步构建知识脉络，形成学习支架。 其亮点在于通过知识辨析培养数学思维，如“始边与终边重合的角是否为零角”引发探究。采用几何法与分类讨论确定象限角，结合集合精确表达角的范围，发展数学眼光与语言。典例与易错警示助力学生规范推理，教师可借助系统内容提升教学效果。

5.1　任意角与弧度制 知识点 1 角的概念 必备知识 清单破 　　角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形. 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角,以顺时针方向旋转所成的角称为负角 ,不旋转所成的角称为零角. 第1讲　描述运动的基本概念 1.象限角和轴线角的概念 　　取角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边落在第几象限,就说 这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上,那么这个角称为轴线角. 2.象限角的集合表示 知识点 2 象限角和轴线角 象限角 角的集合 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z} 第1讲　描述运动的基本概念 3.轴线角的集合表示 终边位置 角的集合 在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α=180°+k·360°,k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α=90°+k·360°,k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α=270°+k·360°,k∈Z} 在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z} 在y轴上 {α|α=90°+k·180°,k∈Z} 在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z} 第1讲　描述运动的基本概念 　　所有与角α终边相同的角用集合表示为{β|β=α+k·360°,k∈Z},当k=0时,角β就是角α本身. 知识点 3 终边相同的角 第1讲　描述运动的基本概念 1.角度制与弧度制的概念 知识点 4 角度制与弧度制 角度制 用“度”作单位来度量角的单位制叫作角 度制.规定:1度的角等于周角的  弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧 度的角,“弧度”用符号rad表示.以“弧度” 为单位来度量角的单位制叫作弧度制 第1讲　描述运动的基本概念 2.角度制与弧度制的换算 360°=2π rad,180°=π rad; 1°=  rad≈0.017 45 rad; 1 rad= °≈57.30°=57°18'. 第1讲　描述运动的基本概念 　　设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为n°(0<n<360),α为圆心角的弧度数,则 知识点 5 扇形的弧长与面积公式 扇形的弧长 扇形的面积 l=  S=  l=αr S= lr= αr2 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.始边与终边重合的角一定是零角吗?第一象限角一定是锐角吗? 2.弧度是利用长度来度量角的一种方法吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.始边与终边重合的角不一定是零角,如360°角. 锐角一定是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角,如390°角,-280°角是第一象限角,但不是 锐角. 2.我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,这个定义告诉我们,弧度是利用 长度来度量角的一种方法. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 终边相同的角的应用 关键能力 定点破 1.在运用与角α终边相同的角的集合{β|β=k·360°+α,k∈Z}时需注意以下三点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉; (2)β是与角α终边相同的任意角; (3)终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. 2.求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤 (1)将已知角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤α<360°; (2)用赋值法或不等式法求解,确定k的值; (3)写出适合条件的角. 第1讲　描述运动的基本概念 3.求终边在某条射线或直线上的角的集合的策略 (1)找出终边在某射线或直线上的一个角; (2)若所求角的终边在某条射线上,则角之间相差360°的整数倍,若所求角的终边在某条直线 上,则角之间相差180°的整数倍. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知角β的始边为x轴的非负半轴,终边在如图所示的阴影部分内,试指出角β的取值范 围.   解析    终边落在x轴上方阴影部分的角的集合A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}={β|2k· 180°+60°≤β<2k·180°+105°,k∈Z}, 终边落在x轴下方阴影部分的角的集合B={β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|(2k+1)·1 80°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z},所以角β的取值范围是A∪B={β|n·180°+60°≤β<n·180°+ 105°,n∈Z}. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 (1)要注意区分区域边界是实线还是虚线,如是虚线,则在相应表示区域的不等式中不能含有 等号;(2)在用不等式表示区域时,要注意不等式的左边要小于右边;(3)在表示角的集合时,单 位要统一,不能混用角度制和弧度制. 第1讲　描述运动的基本概念 定点2　  1.分类讨论法 　　利用已知条件写出角α的范围(如k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z),由此确定角 的范围,然后 对k进行分类讨论,从而确定角 的终边所在的象限. 2.几何法 　　先把各象限分成n等份,再从x轴的正方向的上方起,按逆时针方向依次将各区域标上Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;……;则α原来是第几象限角,标号为几的区域即为角 的终边所在的区 域,从而确定角 的终边所在的象限. 定点 2 确定角 (n∈N,且n≥2)的终边所在象限的方法 第1讲　描述运动的基本概念 典例　若α是第一象限角,试确定下列角是第几象限角:(1)2α;(2) ;(3) . 解析    (1)∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*) ∴k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z). 故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角. (2)解法一:由(*)得k·180°< <k·180°+45°(k∈Z). ①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z), 得n·360°< <n·360°+45°(n∈Z), 此时 是第一象限角. ②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z), 得n·360°+180°< <n·360°+225°(n∈Z), 第1讲　描述运动的基本概念 此时 是第三象限角. 综合①②知, 是第一或第三象限角. 解法二:如图,将各象限分成两等份,再从x轴正方向的上方起,按逆时针方向依次在各区域内 标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,标有Ⅰ的区域(阴影部分,不包括边界)即角 的终边所在的区域, 故 是第一或第三象限角.   第1讲　描述运动的基本概念 (3)解法一:由(*)得k·120°< <k·120°+30°(k∈Z). ①当k=3n(n∈Z)时,n·360°< <n·360°+30°(n∈Z),此时 是第一象限角. ②当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°< <n·360°+150°(n∈Z),此时 是第二象限角. ③当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°< <n·360°+270°(n∈Z),此时 是第三象限角. 综合①②③知, 是第一或第二或第三象限角. 解法二:如图,将各象限分成3等份,再从x轴正方向的上方起,按逆时针方向依次将各区域标上 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅰ,Ⅱ,……, 则标有Ⅰ的区域(阴影部分,不包括边界)即角 的终边所在的区域, 故 是第一或第二或第三象限角. 第1讲　描述运动的基本概念 1.由扇形的弧长公式l=αr及面积公式S= lr= αr2知,对于α,r,l,S,可“知其二求其二”,它实质 上是方程思想的运用. 2.扇形的周长及面积的最值问题 (1)当扇形的周长一定时,扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于半径r的二次函 数,但要注意r的取值范围,要特别注意扇形的弧长必须满足0<l<2πr. (2)当扇形的面积一定时,扇形的周长有最小值.其求法是把周长C转化为关于半径r的函数,但 要注意r的取值范围. 定点 3 求扇形的弧长和面积 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是r. (1)若α=45°,r=10,求扇形的弧长l及面积S; (2)若扇形的周长是定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?并求最大面积; (3)若扇形的面积是定值S(S>0),当α为多少弧度时,该扇形有最小周长?并求最小周长. 解析    (1)因为α=45°= ,r=10, 所以扇形的弧长l=αr= ×10= , 扇形的面积S= lr= × ×10= . (2)扇形的周长C=2r+l=2r+αr, 所以r= , 所以扇形的面积S= α·r2= α = · ≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当α= ,即α=2时等号成立, 故当α=2时扇形有最大面积,且扇形的最大面积为 . (3)扇形的面积S= αr2, 所以r= , 所以扇形的周长C=2r+l=(2+α) = · ≥2 · =4 , 当且仅当 = ,即α=2时等号成立, 故当α=2时扇形有最小周长,且最小周长为4 . 第1讲　描述运动的基本概念 $