4.4 函数与方程-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕函数零点存在定理及二分法展开，通过“零点是不是点”等知识辨析问题导入，衔接函数性质与方程求解，以必备知识、辨析、考点、典例为学习支架，构建完整知识脉络。 其亮点在于以问题驱动深化概念理解，如辨析零点定义培养数学眼光，典例用分离参数、数形结合发展数学思维，二分法列表与误差分析强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与运算能力，为教师提供系统教学资源。

4.4　函数与方程 知识点 1 函数零点存在定理 必备知识 清单破 　　如图,一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0,则存在点x0∈(a,b), 使得 f(x0)=0.如果知道y=f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,就进一步断定,方程f(x)=0在 (a,b)内恰有一个根. 第1讲　描述运动的基本概念 　　二分法可以用来寻找函数的零点,迅速地缩小搜索范围,接近零点的准确位置. 　　设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0 的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε. (1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0; (2)取区间[a,b]的中点m= ; (3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止; (4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止; (5)f(m)与f(a)同号,则令a=m,否则令b=m,再执行(2). 知识点 2 计算函数零点的二分法 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.零点是不是点? 2.如何求函数的零点? 3.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b) 上一定没有零点吗? 4.若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解? 5.用二分法求零点的近似值,如何决定步骤的结束? 6.用二分法求零点的近似值时,对误差的要求不同会对零点有影响吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.根据函数零点与方程根的关系知,函数y=f(x)的零点就是函数对应的方程f(x)=0的根,所以可 以通过求方程f(x)=0的根,求函数y=f(x)的零点.还可以用二分法求零数的零点. 3.不一定.如f(x)=(x-1)(x+1)在[-2,2]上满足f(-2)f(2)>0,但其在(-2,2)上存在两个零点. 4.不一定.二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧的符号相反),因此函数在零点 两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. 5.当零点所在区间的长度的一半不超过误差要求的数值时,可以判定二分法的步骤结束. 6.有影响.对误差的要求决定二分法进行到哪一步,对误差的要求不同,零点的近似值可能会 不同. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 函数的零点及其应用 关键能力 定点破 1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程,根据方程的解的个数进行判断. (2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数. (3)利用函数零点存在定理进行判断,注意函数的单调性.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一 条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调递增或单调递减,若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数f (x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 2.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再解不等式确定参数的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式进行变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用 图象求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1    (1)若f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值范围是 (　    ) A.(-∞,+∞)　    B.(-2,+∞) C.(0,+∞)　    D.(-1,+∞) (2)函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点有　　　    个. D 1 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:令f(x)=0,则2x·(x-a)-1=0,变形得a=x- . 令g(x)=x- (x>0), 易知g(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以g(x)的值域为(-1,+∞), 故当a>-1时, f(x)在(0,+∞)内有零点. 解法二:令f(x)=0,得x-a= , 在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a和y= 的图象如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   由图知,当f(x)在(0,+∞)内有零点时,-a<1,即a>-1, 故当a>-1时, f(x)在(0,+∞)内有零点. (2)解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,且f(x)在(0,1)上是连续的, ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增, ∴函数f(x)有且只有一个零点. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).在同一平面直角坐标系中作出h(x)和g(x)的图象如图. 由图可知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只 有一个零点. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    (1)若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则m的取值范围为 　　　    ; (2)已知函数f(x)= 若方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根,则实数m的取值范 围是　　　    . (-∞,-1) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示.   由图象得  ∴- <m<- . 故m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)令t=f(x),则方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0,即2t2+3mt+1=0. 作出直线y=t和函数y=f(x)的图象,如图所示: 由图象可知: 当t<0时,方程t=f(x)有1个根; 当t=0时,方程t=f(x)有3个不同的根; 当0<t<1时,方程t=f(x)有4个不同的根; 第1讲　描述运动的基本概念 当t=1时,方程t=f(x)有3个不同的根; 当t>1时,方程t=f(x)有2个不同的根. 要使关于x的方程2[f(x)]2+3mf(x)+1=0有6个不同的根, 则方程2t2+3mt+1=0有两个不同的根,不妨设为t1,t2(t1<t2), 则0<t1<1,t2>1,或t1=0,t2=1. 由根与系数的关系得t1t2= ,故t1=0,t2=1不满足,舍去. 若0<t1<1,t2>1,结合函数y=2t2+3mt+1的图象得2+3m+1<0,解得m<-1. 故实数m的取值范围是(-∞,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零 点附近足够小的区间,根据对误差的要求,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点的方 法. 2.并非所有函数都可以用二分法求零点的近似值,只有满足在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b) <0的函数,方可采用二分法求零点的近似值. 定点 2 用二分法求函数零点的近似值 第1讲　描述运动的基本概念 典例　用二分法求函数f(x)=x3-3的零点的近似值(误差不超过0.01). 解析    由于f(0)=-3<0, f(1)=-2<0, f(2)=5>0,因此f(x)在(1,2)内有一个零点.易知f(x)在R上单调 递增,则f(x)只有一个零点. 用二分法计算,列表为: 零点所在区间 区间的 中点值 中点值对应的函数 值或其近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 -1.047 (1.25,1.5) 1.375 -0.400 (1.375,1.5) 1.437 5 -0.030 第1讲　描述运动的基本概念 (1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168 (1.437 5,1.468 75) 1.453 125 0.068 (1.437 5,1.453 125) 1.445 312 5 0.019 因为1.445 312 5-1.437 5=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-3的零点的近似值可取1.445. 第1讲　描述运动的基本概念 $