第4章 4.4.2 计算函数零点的二分法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦“计算函数零点的二分法”，涵盖原理、适用条件、操作步骤及应用。通过猜手机价格、检修线路故障等生活实例导入，衔接函数零点存在定理，搭建从现实问题到数学方法的学习支架。 其亮点在于以生活实例激活数学眼光，通过列表计算、误差判断等步骤化教学培养数学思维，将方程求解转化为函数零点问题渗透模型意识。口诀总结步骤，课时练习巩固，助力学生提升探究能力，为教师提供系统教学资源。

第4章　 §4.4　函数与方程 <<< 4.4.2 计算函数零点的二分法 1.了解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的操作步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 学习目标 同学们,前几天有个同事买了一部手机,为了游戏更有趣,我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机,我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元~ 3 000元,如果我给大家5次猜价的机会,我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少,大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊,你的机会只有5次！要解决这个问题,接下来,让我们一起探究解决这个问题的方法吧. 导 语 一、二分法的理解 二、用二分法求函数零点的近似值 课时对点练 三、二分法的应用 内容索引 二分法的理解 一 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 问题1 提示　如图所示.工人首先从线路的中点C查起,如果CB段正常,就选择CA的中点D测试；如果DA段正常,就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法. 二分法：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 知识梳理 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反.比如y＝x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解. 注 意 点 <<< 8 　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点,能用二分法求函数零点近似值的是 例 1 √ √ √ 9 根据二分法的定义,知函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件,而选项D不符合,因为零点左右两侧的函数值不变号,所以不能用二分法求函数零点的近似值. 解析 10 (2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是 A.9 B.8 C.7 D.6 √ 11 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右两侧的函数值异号. 反 思 感 悟 12 已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 跟踪训练 1 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3. 解析 √ 13 二 用二分法求函数零点的近似值 按上述思路,你能想办法求函数f(x)＝x3－3零点的近似值吗？ 问题2 提示　由于f(1)＝－2<0,f(2)＝5>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.046 9 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 4 (1.375,1.5) 1.437 5 －0.029 5 当然,我们可以一直重复下去,这样的话,也会使求得的函数零点更精确,显然,这可能是一个无休止的过程,即便是计算机,也可能被累死机.实际上,如果我们一开始给一个误差范围的话,只要满足了给出的误差范围,我们就可以停止计算,比如,该问题中,我们给出误差不超过0.1. 由于|1.5－1.437 5|＝0.062 5<0.1,所以原函数的一个正实数零点可取为1.437 5. 用二分法求函数零点近似值的一般操作方法 设函数y=f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x-x0|≤ε. 第1步，在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0； 第2步，取区间[a，b]的中点m=(a+b)； 第3步，计算f(m)，并进一步确定零点所在的区间： (1)如果f(m)=0(此时x0=m)，则m就是函数的零点； 知识梳理 (2)若f(a)·f(m)<0(此时x0∈(a，m))，则令b=m； (3)若f(m)·f(b)<0(此时x0∈(m，b))，则令a=m. 第4步，判断是否达到精确度ε：若|b-a|≤ε，则得到零点的近似值a(或b)，也可选取区间内任意一个数作为零点的近似值；否则重复步骤2~4. (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)二分法就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,根据所要求的误差范围,找到零点附近足够小的区间,用此区间的中点值近似地表示真正的零点. 注 意 点 <<< 19 　(课本例4)在课本例3中，我们已经说明了f(x)＝x3－3x2＋1在[0，1]上恰有一个零点.试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值(误差不超过0.01). 例 2 20 前面已经知道函数f(x)的零点在[0，1]上，此时包含零点的区间长度为1－0＝1，远超0.01，不符合要求.于是我们可以通过二分法来缩小零点所在区间，具体如下： 第1次，取[0，1]的中点＝0.5，用计算器或计算机求出f(0.5)≈0.38>0. 由于f(1)＝－1<0，可知f(0.5)·f(1)<0，于是零点在[0.5，1]上，此时包含零点的区间长度为1－0.5＝0.5，远超0.01，不符合要求. 第2次，取[0.5，1]的中点＝0.75， 求出f(0.75)≈－0.27<0，由于f(0.5)·f(0.75)<0，可知零点在[0.5，0.75]上，此时包含零点的区间长度为0.75－0.5＝0.25>0.01，不符合要求. 解 21 继续重复上述步骤，可得下表： 解 次数 区间左 端点a 区间右 端点b m＝ f(m)的 近似值 零点所在 区间长度 是否符 合要求 1 0 1 0.5 0.38 0.5 否 2 0.5 1 0.75 －0.27 0.25 否 3 0.5 0.75 0.625 0.07 0.125 否 4 0.625 0.75 0.687 5 －0.09 0.062 5 否 5 0.625 0.687 5 0.656 25 －0.009 0.031 25 否 6 0.625 0.656 25 0.640 625 0.032 0.015 625 否 7 0.640 625 0.656 25 0.648 437 5 0.011 0.007 812 5 是 22 解 由上表可知，计算到第7次，由于f(0.648 437 5)·f(0.656 25)<0，可知包含零点的区间为[0.648 437 5，0.656 25]，零点所在区间长度小于0.01.于是，该区间内任意一点都可作为零点的近似值，例如可取0.65(也可取区间的端点值)作为零点的近似值，也即可取0.65作为方程x3－3x2＋1＝0的一个近似解. 23 　用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值.(误差不超过0.01) 例 2 24 解 经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数f(x)在[1,1.5]内存在零点x0. 取[1,1.5]的中点x1＝1.25,经计算f(1.25)<0, 因为f(1.5)·f(1.25)<0,所以x0∈[1.25,1.5], 如此继续下去,如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 [1,1.5] 1.25 －0.30 [1.25,1.5] 1.375 0.22 [1.25,1.375] 1.312 5 －0.05 [1.312 5,1.375] 1.343 75 0.08 [1.312 5,1.343 75] 1.328 125 0.01 [1.312 5,1.328 125] 1.320 312 5 －0.02 25 解 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01,所以函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内误差不超过0.01的一个零点近似值可取为1.320 312 5. 26 (1)二分法求函数零点近似值的关注点 ①验证零点所在的区间是否符合误差要求. ②一般取区间中点值作为零点的近似值. (2)二分法求函数零点近似值步骤的记忆口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号丢,异号算,零点落在异号间. 重复做,何时止,误差值来把关口. 反 思 感 悟 27 　(1)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点的近似值,其参考数据如下： 跟踪训练 2 x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据,可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(误差不超过0.025)为 A.0.093 75 B.0.109 375 C.0.125 D.0.078 125 √ 28 已知f(0.093 75)<0,f(0.125)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.093 75, 0.125],所以零点在区间[0.093 75,0.125]上,|0.125－0.093 75|＝0.031 25 <0.025×2,所以＝0.109 375可以作为f(x)的一个零点近似值. 解析 29 (2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的近似解,取区间的中点x0＝2,那么下一个有根的区间是　　　　.  (1,2) 设f(x)＝2x＋3x－7,f(1)＝－2<0, f(3)＝10>0,f(2)＝3>0, ∵f(1)·f(2)<0, ∴f(x)零点所在的区间为(1,2), ∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2). 解析 30 二分法的应用 三 求曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标(误差不超过0.05). 例 3 32 在同一平面直角坐标系中,作出y＝lg x,y＝2－x的图象如图所示,可以发现方程lg x＝2－x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内. 设f(x)＝lg x＋x－2,则f(x)的零点为x0. 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2)； f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)； f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2), f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)； f(1.75)<0,f(1.812 5)>0⇒x0∈(1.75,1.812 5). ∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.05×2, ∴曲线y＝lg x和直线y＝2－x的交点的横坐标约为＝1.781 25. 解 33 用二分法求方程的近似解的方法 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解. 反 思 感 悟 34 　用二分法求2x＝4－x在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.2). 参考数据： 跟踪训练 3 x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 35 令f(x)＝2x＋x－4,则f(1)＝2＋1－4＝－1<0,f(2)＝22＋2－4＝2>0. 解 ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2, ∴2x＝4－x在区间[1,2]内的近似解可取1.375. 区间 区间中点值xn 中点函数近似值 (1,2) x1＝1.5 0.33 (1,1.5) x2＝1.25 －0.37 (1.25,1.5) x3＝1.375 －0.031 (1.375,1.5)     36 1.知识清单： (1)二分法的理解. (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.方法归纳：化归、逼近. 3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C B C C (2,3) 3 题号 11 12 13 14 15 答案 C B B a2＝4b　－ C 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(0)＝－1<0,f(1)＝1>0, 即f(0)·f(1)<0,f(x)在(0,1)内有零点, 又f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1＝0.5,f(0.5)＝－0.75<0, ∴f(0.5)·f(1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75, 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(0.75)＝－0.156 25<0,∴f(0.75)·f(1)<0, 即x0∈(0.75,1). 取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875, f(0.875)≈0.340>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 又|0.875－0.75|＝0.125<0.2＝2ε. ∴f(x)的零点的近似值可取为＝0.812 5. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)令x1>x2>0,则f(x1)－f(x2)＝ln ＋2(x1－x2),且>1,x1－x2>0, 即f(x1)－f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 即f(x)＝ln x＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数, ∴f(x)至多有一个零点.又f(2)＝ln 2－2<0,f(3)＝ln 3>0, ∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点. ∴f(x)有且只有一个零点. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)∵f(2)<0,f(3)>0,取x1＝ 则f ＝ln －1<0,∴f(3)f <0,即f(x)的零点x0∈. 取x2＝则f ＝ln >0. ∴f f <0.∴x0∈又≤ ∴满足题意的区间为. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.函数y＝f(x)的图象是一条连续曲线,用二分法求它在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1＝＝3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是 A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.用二分法求函数f(x)在[a,b]内的唯一零点时,误差不超过0.001,则结束计算的条件是 A.|a－b|<0.2 B.|a－b|<0.002 C.|a－b|>0.002 D.|a－b|＝0.002 √ 据二分法的步骤知当|b－a|<2ε时,便可结束计算. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时,初始区间可选为 A.[－1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[2,3] √ f(－1)＝－<0,f(0)＝－2<0, f(1)＝－1<0,f(2)＝1>0,f(3)＝5>0, 则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选[1,2]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知函数y＝f(x)在[0,1]上的图象是一条连续曲线,且f(0)·f(1)<0,使用二分法求函数零点,要求近似值的误差不超过0.1,则需对区间至少二分的次数为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 5.下列函数中,不能用二分法求函数零点的有 A.f(x)＝5x＋2 B.f(x)＝log5x C.f(x)＝x2＋2x＋1 D.f(x)＝3x－2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选项A,由f(－1)f(1)＝－3×7<0,可得f(x)＝5x＋2在(－1,1)上存在变号零点,可用二分法求函数零点； 选项B,由f f(5)＝－1×1<0,可得f(x)＝log5x在上存在变号零点,可用二分法求函数零点； 选项C,f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0,则其零点为－1, 但不存在实数a,b满足f(a)f(b)<0,因而不能用二分法求此函数零点； 选项D,由f(0)f(1)＝－1×1<0,可得f(x)＝3x－2在(0,1)上存在变号零点,可用二分法求函数零点. 解析 6.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0, f(0.68)<0,则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为 A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 已知f(0.64)<0,f(0.72)>0, 则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72), 又因为0.68＝×(0.64＋0.72),且f(0.68)<0, 所以零点在区间(0.68,0.72)上, 又|0.72－0.68|＝0.04<0.05＝2ε, 所以所求近似值可以为＝0.7. 解析 7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,4]上的实数根时,取中点x1＝3,则下一个有根区间是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2,3) 设函数f(x)＝x3－2x－5, ∵f(2)＝－1<0,f(3)＝16>0,f(4)＝51>0, ∴下一个有根区间是(2,3). 解析 8.在12枚崭新的硬币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称　　次就可以发现假币.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将12枚硬币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币；若不平衡,则轻的那一枚即是假币,依据上述分析,最多称3次就可以发现这枚假币. 解析 9.判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(误差不超过0.1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(0)＝－1<0,f(1)＝1>0, 即f(0)·f(1)<0,f(x)在(0,1)内有零点, 又f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1＝0.5,f(0.5)＝－0.75<0, ∴f(0.5)·f(1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75, f(0.75)＝－0.156 25<0,∴f(0.75)·f(1)<0,即x0∈(0.75,1). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875, f(0.875)≈0.340>0. ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 又|0.875－0.75|＝0.125<0.2＝2ε. ∴f(x)的零点的近似值可取为＝0.812 5. 解 10.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且只有一个零点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令x1>x2>0,则f(x1)－f(x2)＝ln ＋2(x1－x2),且>1,x1－x2>0, 即f(x1)－f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 即f(x)＝ln x＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数, ∴f(x)至多有一个零点.又f(2)＝ln 2－2<0,f(3)＝ln 3>0, ∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点. ∴f(x)有且只有一个零点. 证明 (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵f(2)<0,f(3)>0,取x1＝ 则f ＝ln －1<0, ∴f(3)f <0,即f(x)的零点x0∈. 取x2＝则f ＝ln >0.∴f f <0. ∴x0∈又≤∴满足题意的区间为. 解 11.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解,可以取的一个区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令f(x)＝x－2lg －3, 则f(2)＝2－2lg －3＝2－2×lg 2－3 ＝lg 2－1<0, f(3)＝3－3lg －3＝lg 3>0, ∴用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解, 可以取的一个区间是(2,3). 解析 12.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f >0,则 A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f(a)·f(b)<0,f(a)·f >0可知f ·f(b)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点. 解析 13.用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时,令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x,并用计算器得到下表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据,可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(误差不超过0.05)为 A.1.125 B.1.312 5 C.1.437 5 D.1.468 75 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(1.25)f(1.375)<0,所以函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解. 解析 14.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　　, 函数的零点是　　　(用a表示).  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a2＝4b － 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切,所以Δ＝a2－4b＝0,所以a2＝4b, 令f(x)＝x2＋ax＋＝0,解得x＝－. 解析 15.已知定义在区间[a,b]上的增函数f(x)是连续不断的,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b]又f ＝0,则函数f(x)的零点为 A.－ B.－ C.－ D.－ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得,f(a)<0,f(b)>0,又a＋>a恒成立,则 解得 ∵f ＝0, ∴f(x)的零点为＝－. 解析 第4章　 §4.4　函数与方程 <<< $