4.2 指数函数-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕指数函数展开，系统涵盖定义、图像性质、指数爆炸与衰减、复合函数的定义域值域单调性及指数幂比较等核心知识点，通过现实情境（如经济学增长）导入，衔接函数概念，构建从基础定义到应用的学习支架。 其亮点在于知识辨析（如判断y=-2x是否为指数函数）与典例解析（换元法求y=(1/3)^(x²-2x)的值域）结合，以数学眼光观察指数爆炸的现实意义，用数学思维推理复合函数单调性“同增异减”规律，借数学语言符号化归纳性质。学生能深化概念理解与应用能力，教师可获得系统教学资源与方法支持。

4.2　指数函数 知识点 1 指数函数 必备知识 清单破 第1讲　描述运动的基本概念 (1)当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时,指数函数值增长速度惊人, 被称为指数爆炸. 　　在经济学或其他学科中,当某个量在一个既定的时间周期中,其增长百分比是一个常量 时,这个量就被描述为指数式增长,也称指数增长. (2)如果底数0<a<1时,指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0,这叫作指数衰减. 　　指数衰减的特点:在一个既定的时间周期中,其缩小百分比是一个常量. 知识点 2 指数爆炸和指数衰减 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 指数函数的图象与性质 表达式 y=ax(a>1) y=ax(0<a<1) 图象     性 质 定义域为R,值域为(0,+∞) 函数图象过定点(0,1),即a0=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 指数函数y=ax和y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒 (1)当底数a的大小不确定时,必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论; (2)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点: ,(0,1),(1,a). 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.函数y=-2x,y=2x+1是不是指数函数? 2.指数函数的图象在坐标平面内分布在什么位置? 3.对于指数函数y=ax(a>0,a≠1),底数与其图象有什么关系? 4.函数y=-2x,y=2x+1的图象可由y=2x的图象经过怎样的变换得到? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.都不是.指数函数解析式的结构特点:①底数a是满足a>0,且a≠1的常数;②指数位置只能是 x;③ax的系数为1.y=-2x中2x的系数为-1,不是1,y=2x+1中指数位置不是x. 2.在x轴的上方. 3.①当0<a<1时,图象“下降”,当a>1时,图象“上升”;②由y=ax的图象与直线x=1相交于点(1, a)可知,在y轴右侧,图象从下往上对应的底数由小变大. 4.函数y=-2x的图象可由y=2x的图象关于x轴对称得到,函数y=2x+1的图象可由y=2x的图象向左平 移1个单位长度得到. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题 关键能力 定点破 　　指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数等结合构成指数型复合函数.指数型复 合函数的定义域和值域的求法如下: (1)求定义域的方法 ①函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与函数y=f(x)的定义域相同. ②函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定义域与函数y=f(x)的定义域不一定相同.例如,函数f(x)= 的 定义域为[0,+∞),而函数f(x)= 的定义域为R.求函数y=f(ax)的定义域时,可由函数f(x)的定义 域与g(x)=ax的值域,结合指数函数的相关性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)求值域的方法 ①求函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域时,先求函数y=f(x)的值域,再根据指数函数的单调性确定 函数y=af(x)的值域. ②求函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的值域时,可用换元法求解,但换元后应注意引入的新变量的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求下列函数的定义域、值域. (1)y= ;(2)y=4x-2x+1; (3)f(x)= . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵1- ≥0,∴ ≤1= , ∴x≥0,∴函数的定义域为[0,+∞). ∵0< ≤1,∴0≤1- <1, ∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1). (2)函数的定义域为R, y=4x-2x+1=(2x)2-2x+1= + , ∵2x>0,∴当2x= ,即x=-1时,y取得最小值,最小值为 ,∴y≥ , ∴y=4x-2x+1的值域为 . (3)函数的定义域为R. 第1讲　描述运动的基本概念 令u=x2-2x,则原函数变为y= . ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴y= ,u∈[-1,+∞). ∵y= 在[-1,+∞)上单调递减, ∴0< ≤ =3, ∴原函数的值域为(0,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调增(减)区间 即为函数y=af(x)的单调增(减)区间;当0<a<1时,函数u=f(x)的单调减(增)区间即为函数y=af(x)的 单调增(减)区间. 2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值范围确定外 层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根据复合函数单调性“同 增异减”的规律确定复合函数的单调区间. 定点 2 与指数函数有关的复合函数的单调性问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求下列函数的单调区间: (1)y= ; (2)y= -8 +17. 思路点拨    先换元,再利用复合函数单调性“同增异减”的规律确定其单调性. 解析    (1)令u=x2-2x+3, 则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 又y= 在R上单调递减, ∴函数y= 的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞). (2)设u= (u>0),则y=u2-8u+17(u>0),其在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增. 函数u= 在R上单调递减, 第1讲　描述运动的基本概念 令 ≤4,解得x≥-2, ∴y= -8 +17的单调递增区间是[-2,+∞). 令 ≥4,解得x≤-2,∴y= -8 +17的单调递减区间是(-∞,-2]. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 3 比较指数幂的大小 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)若 < < <1,则 (　    ) A.mn<mm<nm　    B.mm<nm<mn C.mm<mn<nm　    D.mn<nm<mm (2) 与 的大小关系是　 　　    . A > 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵ < < <1= ,且y= 在定义域内是减函数, ∴0<m<n<1,∴y=mx是减函数,∴mn<mm. ∵幂函数y=xm是增函数,∴mm<nm. 综上,mn<mm<nm. (2)∵函数y= 为R上的减函数,且 > ,∴ > . ∵函数y= 在[0,+∞)上单调递增,且 > >0,∴ > ,∴ > . 方法指导 (2)中两个幂的指数和底数均不相同,因此借助中间量 来比较大小. 第1讲　描述运动的基本概念 $