4.2.1-4.2.2 第1课时 指数函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦指数函数的图象与性质，系统梳理指数函数的概念（底数a>0且a≠1）、指数爆炸与衰减的特征，以及图象的定点（0,1）、定义域（R）、值域（(0,+∞)）、单调性（a>1增，0<a<1减）等核心性质，构建从概念抽象到性质应用的学习支架。 通过分层探究（概念辨析、定义域值域求解、图象分析、单调性应用、实际建模）和具体实例（人口增长、水桶注水问题），培养数学抽象、直观想象和数学建模素养。课中助力教师分层教学，课后学生可借助对点练和分层评价查漏补缺，强化知识应用能力。

4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减　4.2.2　指数函数的图象与性质 第1课时　指数函数的图象与性质 学习目标 1.通过具体实例，理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，培养数学抽象核心素养. 2.掌握指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用，培养数学建模核心素养. 3.掌握指数函数的图象和性质，培养直观想象核心素养. 4.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题，培养数学运算核心素养. 知识点一　指数函数的有关概念 1.指数函数：如果让底数为常数而使指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，这叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. 2.指数爆炸 (1)定义：当底数a＞1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸. (2)特点：当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称为指数增长. 3.指数衰减 (1)定义：如果底数a满足0＜a＜1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减. (2)特点：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 知识点二　指数函数的图象与性质 1.指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(0＜a＜1) y＝ax(a＞1) 图象 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (0，＋∞) 性质 函数图象过定点(0，1)，即a0＝1 在R上递减 在R上递增 2.一般地，指数函数y＝ax和y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反. [点拨]　同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示. 直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)(1，b)(1，c)(1，d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数y＝ax中，a可以为负数. (　　) (2)指数函数的图象一定在x轴的上方. (　　) (3)函数y＝2－x的定义域为{x｜x≠0}. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.函数y＝的定义域是(　　) A.(－∞，0) B.(－∞，0] C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 答案：C 解析：由2x－1≥0，得20≤2x，所以x≥0. 学生用书⬇第82页 3.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 答案：D 解析：从曲线的变化趋势，可知函数f(x)为减函数，则0＜a＜1；从曲线位置看，f(x)的图象是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移(－b)个单位长度而得到，所以－b＞0，即b＜0.综上可知，0＜a＜1，b＜0.故选D. 4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＝　　　　，b＝　　　　. 答案：　－2 解析：当a＞1时，f(x)在[－1，0]上为增函数， 由题意得无解. 当0＜a＜1时，f(x)在[－1，0]上为减函数， 由题意得 探究点一　指数函数的概念 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝(－8)x；(2)y＝；(3)y＝ax； (4)y＝(2a－1)x；(5)y＝2×3x. 解：(1)中底数－8＜0， 所以不是指数函数. (2)中指数不是自变量x，而是关于x的函数， 所以不是指数函数. (3)中底数a，只有规定a＞0，且a≠1时，才是指数函数. (4)因为a＞，且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，所以y＝(2a－1)x为指数函数. (5)中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数. 1.判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征； (2)明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数. ②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. ③ax的系数是1. 只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数. 2.已知某函数是指数函数求参数值的方法 (1)依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； (2)求参数值：解不等式与方程求出参数的值. [注意]　解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件. 对点练1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则有(　　) A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a＞0且a≠1 答案：C 解析：由已知得解得a＝3.故选C. 探究点二　指数型函数的定义域和值域 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝4x＋2x＋1＋3. 解：(1)因为x满足x≠0，所以定义域为{x｜x≠0}. 因为0，所以1. 所以y＝的值域为{y｜y＞0，且y≠1}. (2)由题意知1－≥0， 所以≤1＝， 所以x≥0， 所以定义域为{x｜x≥0，x∈R}. 因为x≥0，所以≤1. 又因为＞0，所以0＜≤1. 所以0≤1－＜1. 所以0≤y＜1.所以此函数的值域为[0，1). (3)显然定义域为R. 由题意，得y＝4x＋2x＋1＋3＝(2x＋1)2＋2， 由于2x＞0， 所以(2x＋1)2＞1， 所以y＝4x＋2x＋1＋3的值域是(3，＋∞). 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 1.定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合. 2.值域：(1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域. [注意]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集.(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论. 对点练2.函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域为(　　) A.(0，＋∞) B.(0，9) C. D. 答案：C 解析：由于f(x)＝3x－3为增函数，且1＜x≤5， 则x－3∈(－2，2]， 则函数f(x)的值域为，故选C. 对点练3.函数f(x)＝＋的定义域是　　　　　　　　. 答案：[2，4)∪(4，＋∞) 解析：依题意有 解得x∈[2，4)∪(4，＋∞). 学生用书⬇第83页 探究点三　指数型函数图象 (1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n等于(　　) A.3 B.1 C.－1 D.－2 (2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数y＝｜2x－1｜的图象只有一个交点，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2){m｜m≥1，或m＝0} 解析：(1)由函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，得m－1＝0，2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.故选C. (2)画出y＝｜2x－1｜的图象(如图)，则要使y＝m与y＝｜2x－1｜的图象只有1个交点需满足m≥1或m＝0. 1.定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标，则得定点坐标. 2.利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数可确定方程f(x)＝g(x)的解的个数，观察函数y＝f(x)的图象与x轴的交点情况，可以确定不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集等. 对点练4.(1)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则实数t的取值范围为(　　) A.{t｜t≤－1} B.{t｜t＜－1} C.{t｜t≤－3} D.{t｜t≥－3} (2)已知直线y＝2a与函数y＝｜2x－2｜的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：(1)C　(2)(0，1) 解析：(1)因为函数g(x)＝3x＋1＋t过点(0，3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3.故选C. (2)函数y＝｜2x－2｜的图象如图.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1.故实数a的取值范围为(0，1). 探究点四　指数型函数的单调性 判断f(x)＝的单调性，并求其值域. 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝. 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又因为y＝在(－∞，＋∞)上递减， 所以y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝，u∈[－1，＋∞)， 所以0＜＝3， 所以原函数的值域为(0，3]. 函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧 1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成. 2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性. 对点练5.已知函数f(x)＝，求f(x)的单调递增区间. 解：由复合函数的单调性，知要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝｜x－1｜的单调递减区间，因为y＝｜x－1｜的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]. 探究点五　指数型函数单调性的应用 (1)下列判断正确的是(　　) A.2.52.5＞2.53 B.0.82＜0.83 C.π2＜ D.0.90.3＞0.90.5 (2)不等式≤2的解集为　　　　. (3)函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为　　　 　. 答案：(1)D　(2){x｜x≥1或x≤－1}　(3)或 解析：(1)由于函数y＝2.5x是R上的增函数，2.5＜3，所以2.52.5＜2.53，故A不正确. 由于y＝0.8x是R上的减函数，2＜3， 所以0.82＞0.83，故B不正确. 由于函数y＝πx是R上的增函数，2＞， 所以π2＞，故C不正确. 由于函数y＝0.9x是R上的减函数，0.3＜0.5， 所以0.90.3＞0.90.5，故D正确，故选D. (2)＝(2－1＝， 所以原不等式等价于≤21. 因为y＝2x是R上的增函数， 所以2－x2≤1. 所以x2≥1， 即x≥1或x≤－1. (3)①若a＞1，则f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a. 所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去). ②若0＜a＜1，则f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2. 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去). 综上所述，a的值为. 学生用书⬇第84页 1.比较指数式大小的3种类型及处理方法 2.指数不等式的两种类型 (1)形如ax＞ab的不等式，借助函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的单调性求解. 对点练6.函数f(x)＝－3x在区间[－2，2]上的最大值为(　　) A. B.13 C. D.－ 答案：A 解析：因为函数y＝为单调递减函数，y＝3x为单调递增函数， 所以函数f(x)＝－3x在[－2，2]上单调递减， 所以其最大值为f(－2)＝－3－2＝4－＝. 故选A. 探究点六　指数型函数的实际应用 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2％，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人). (参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127) 解：(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2％)＋100×(1＋1.2％)×1.2％ ＝100×(1＋1.2％)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2％)3； …… x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2％)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2％)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人). 解决指数型函数应用题的流程 1.审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息. 2.建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式. 3.解模：运用数学知识解决问题. 4.回归：还原为实际问题，归纳得出结论. 对点练7.有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B，t分钟后，桶A中的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B中的水量相等，要使桶A中的水只有升，必须再经过(　　) A.12分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 答案：B 解析：设桶B中水的体积为y2＝a－amt，由题意知，当t＝5时，y1＝y2.所以am5＝a－am5，可得m5＝，令y1＝amt＝，可得mt＝＝(m5)4＝m20，解得t＝20，20－5＝15，所以必须再经过15分钟.故选B. 1.下列关系中，正确的是(　　) A.＜1＜ B.＜1＜ C.1＜＜ D.＜＜1 答案：D 解析：因为y＝为R上的减函数， 又＞＞0， 所以＜＜， 即＜＜1，故选D. 2.当x∈[－2，2)时，函数y＝3－x－1的值域为　　　　　　　. 答案： 解析：y＝3－x－1＝()x－1在x∈[－2，2)上单调递减，所以2－1＜y≤－2－1，即3－2－1＜y≤32－1，故－＜y≤8.所以函数的值域为. 3.函数f(x)＝＋的定义域为　　　　　　. 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，因此函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 4.某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p％. (1)写出产量y随年数x变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p. 解：(1)设年产量为y，年数为x， 则y＝a(1＋p％)x， 定义域为{x｜0≤x≤m，且x∈N＋}. (2)翻两番即变为原来的4倍，由题意得y＝a(1＋p％)2＝4a，解得p＝100. 课时分层评价22　指数函数的图象与性质 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.函数y＝图象的大致形状是(　　) 答案：D 解析：当x＞0时，y＝单调递减；当x＜0时，y＝－单调递增，且此时y＝－＜0，结合选项可知只有D符合题意.故选D. 2.已知函数f(x)＝ax＋1－(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则m＋n＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：D 解析：由解析式知：f(－1)＝a0－＝1－＝，故f(x)过定点(－1，). 所以m＝－1，n＝，则m＋n＝－. 故选D. 3.已知a＝0.，b＝20.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a 答案：C 解析：因为y＝0.3x在R上为减函数，且＞0.2＞0， 所以0.＜0.30.2＜0.30，即0.＜0.30.2＜1， 因为y＝2x在R上为增函数，且0.2＞0， 所以20.2＞20＝1， 所以0.＜0.30.2＜1＜20.2，所以b＞c＞a.故选C. 4.已知某城市房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　) A.－1 B.＋1 C.50％ D.600元 答案：A 解析：设这6年间平均每年的增长率为x，则1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1＝－1. 5.已知函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是(　　) A.b＋d＞a＋c B.b＋d＜a＋c C.a＋d＞b＋c D.a＋d＜b＋c 答案：B 解析：如图，作出直线x＝1，得到c＞d＞1＞a＞b， 所以b＋d＜a＋c.故选B. 6.(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.a＝b B.0＜b＜a C.a＜b＜0 D.0＜a＜b 答案：ABC 解析：由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示.由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以A正确；作出直线y＝k，当k＞1时，若3a＝6b＝k，则0＜b＜a，所以B正确；当0＜k＜1时，若3a＝6b＝k，则a＜b＜0，所以C正确.故选ABC. 7.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为　　 　　. 答案：7 解析：由已知得 解得 所以f(x)＝()x ＋3， 所以f(－2)＝()－2＋3＝4＋3＝7. 8.已知函数f(x)＝则f(x)的值域为　　　　. 答案：(0，1] 解析：当x≤0时，f(x)＝1；当x＞0时，f(x)＝2－x＝.根据指数函数y＝的性质可得当x＞0时，0＜＜＝1，即f(x)∈(0，1).综上所述，f(x)的值域为(0，1]. 9.(10分)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1). (1)若函数f(x)的图象过(0，2)和(2，10)两点，求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值. 解：(1)f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，f(2)＝a2＋b＝10，又a＞0，解得a＝3，b＝1，所以f(x)＝3x＋1. (2)当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，3]上单调递减，此时f(x)max＝f(2)＝a2＋b，f(x)min＝f(3)＝a3＋b，所以(a2＋b)－(a3＋b)＝，解得a＝或0(舍去)； 当a＞1时，f(x)在区间[2，3]上单调递增，此时f(x)max＝f(3)＝a3＋b，f(x)min＝f(2)＝a2＋b，所以(a3＋b)－(a2＋b)＝，解得a＝或0(舍去). 综上，a＝. 10.(10分)已知函数f(x)＝2x－2－x . (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)求函数f(x)在[1，＋∞)上的值域； (3)若函数g(x)＝22x＋2－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m的值 . 解：(1)定义域是R，关于原点对称， 因为f(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数. (2)因为y＝2x是增函数 ，y＝2－x是减函数， 所以f(x)＝2x－2－x在[1 ，＋∞)上单调递增， 所以所求值域为[f(1)，＋∞)，即. (3)设t＝f(x)，则y＝g(x)＝f2(x)－2mf(x)＋2＝t2－2mt＋2， 即y＝(t－m)2＋2－m2在上的最小值为－2， 所以当m≥时，t＝m，ymin＝2－m2＝－2，得m＝2； 当m＜时，t＝，ymin＝－3m＋2＝－2，得m＝＞(舍去)， 所以m＝2. (11、12每小题5分，共10分) 11.下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的增函数是(　　) A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案：B 解析：验证函数解析式是否满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，然后再判断是否是增函数. 对于函数f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3， f(x)f(y)＝x3·y3，而(x＋y)3≠x3y3， 所以f(x)＝x3不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故A错误； 对于函数f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y)，因此f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x是增函数，故B正确； 对于函数f(x)＝ ，f(x＋y)＝(x＋y，f(x)f(y)＝＝(xy，而(x＋y(xy，所以f(x)＝不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故C错误； f(x)＝ ，满足f(x＋y)＝＝＝f(x)f(y)，但f(x)＝ 不是增函数，故D错误.故选B. 12.(多选)若函数f(x)＝a｜x＋1｜(a＞0，且a≠1)，在[0，1]上的最大值比最小值大 ，则a等于(　　) A. B. C. D. 答案：AB 解析：当a＞1时，如图，f(x)在[0，1]上递增， 此时最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝ ， 解得a＝0(舍)，a＝ ； 当0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上递减， 此时最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝ ， 解得a＝0(舍)，a＝ ，综上，a＝ . 学生用书⬇第85页 学科网（北京）股份有限公司 $