4.1.3 幂函数-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦幂函数，系统涵盖定义、性质、常见幂函数图像与性质及应用，课堂通过知识辨析问题衔接函数概念，搭建从具体实例到抽象性质的学习支架。 其亮点在于结合表格对比定义域、值域等性质，用“指大图低/高”口诀直观化图像规律，知识辨析培养数学探究意识。典例通过图像解决大小比较，体现数学思维的逻辑性，帮助学生提升分析能力，教师可直接用于课堂互动和分层教学。

4.1.3　幂函数 知识点 1 幂函数 必备知识 清单破 　　一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数. 　　函数y=xn(x∈R,n∈N+)是正整数次幂函数,y=x-n(x≠0,n∈N+)是负整数次幂函数. 正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数. 当α是分数时,函数y=xα是分数次幂函数. 第1讲　描述运动的基本概念 　　幂函数y=xα(α≠0)具有以下性质: (1)当α>0时,它在[0,+∞)上有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点; (2)当α<0时,它在(0,+∞)上有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过点(1,1),向上与y轴正向无 限接近,向右与x轴正向无限接近. 知识点 2 幂函数的性质 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 3 常见幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象           定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+ ∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+ ∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 第1讲　描述运动的基本概念 单调性 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0]上单 调递减, 在(0,+∞)上 单调递增 在(-∞,+∞) 上单调递增 在[0,+∞) 上单调递增 在(-∞,0)上单 调递减, 在(0,+∞)上 单调递减 共同点 图象都经过点(1,1) 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.y=- 是幂函数吗? 2.幂函数的图象能不能经过第四象限? 3.若幂函数y=xα在(-∞,0)上有意义,能否确定此幂函数一定具有奇偶性? 4.幂函数的图象与坐标轴是否一定相交?若相交,交点是不是定点? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.幂函数的结构特征:①指数为常数,②底数为自变量,③xα的系数为1.在y=- =-x-1中,x-1的 系数为-1. 2.不能. 3.能.幂函数图象在第一、三象限时,函数为奇函数;幂函数图象在第一、二象限时,函数为偶 函数. 4.幂函数的图象与坐标轴不一定相交.由幂函数的定义及图象知,只有当α>0时,幂函数的图象 才与坐标轴相交,若相交,交点是原点,为定点. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 幂函数的图象 关键能力 定点破 1.根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0,1的大小关系.   2.依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小,相关结论如下: (1)在x∈(0,1)上,幂的指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”); (2)在x∈(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 第1讲　描述运动的基本概念 典例 若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问:当x为何值时,(1)f (x)>g(x)?(2)f(x)=g(x)?(3)f(x)<g(x)? 思路点拨    先由点在图象上确定幂函数的解析式,再作出函数的图象,利用图象解决问题. 解析    设f(x)=xα,将( ,2)代入,得2=( )α,解得α=2, 则f(x)=x2. 同理,可得g(x)=x-2. 在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.   第1讲　描述运动的基本概念 观察图象可得: (1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x). (2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x). (3)当-1<x<1且x≠0时, f(x)<g(x). 第1讲　描述运动的基本概念 1.幂函数的性质与α的相互确定 　　幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:利用幂函数的单调性求出α的取值范围; 由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值. 2.利用幂函数的单调性比较大小的方法 (1)直接法:当幂函数中的幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性比较大小; (2)转化法:当幂函数中的幂的指数不同时,可以先转化为相同的幂的指数,再运用幂函数的单 调性比较大小; (3)中间量法:当幂函数中的底数和幂的指数均不同时,可选取适当的中间值(通常选用0或1) 比较大小. 定点 2 幂函数性质的应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　比较下列各组数据的大小: (1)4. ,3. ,(-1.9 ; (2) , ,1. . 解析    (1)∵4. > =1,0<3. < =1,(-1.9 <0,∴(-1.9 <3. <4. . (2) = , = ,1. =(1.12 =1.2 . ∵函数y= 在(0,+∞)上单调递减,且 < <1.21,∴ > >1.2 , 即 > >1. . 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    (1)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,求f(x)的解析式; (2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图象关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单调递减,求满 足(a+1 <(3-2a 的a的取值范围. 思路点拨    (1)由幂函数的定义及函数的单调性确定m的值,再写出解析式. (2)由幂函数的性质确定参数m的值,再由函数的单调性解不等式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)是幂函数, 所以m2-m-1=1, 解得m=-1或m=2. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以-2m-1>0,即m<- , 所以m=-1, 所以f(x)=x. (2)因为幂函数y=x3m-9(m∈N+)在(0,+∞)上单调递减, 所以3m-9<0,解得m<3. 又m∈N+,所以m=1或m=2. 因为幂函数y=x3m-9的图象关于y轴对称, 第1讲　描述运动的基本概念 所以3m-9为偶数,故m=1, 则原不等式可化为(a+1 <(3-2a . 易知y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,且当x<0时,y<0,当x>0时,y>0, 所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a, 解得 <a< 或a<-1, 故a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 $