4.1.3 幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

4.1.3　幂函数 学习目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，培养直观想象核心素养. 2.了解幂函数，培养数学抽象核心素养. 知识点一　幂函数的概念 1.定义：一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数. 2.幂函数的分类 (1)正整数次幂函数，例y＝xn(x∈R，n∈N＋)； (2)负整数次幂函数，例y＝；(n∈N＋，x≠0). (3)分数次幂函数，例y＝.(x≥0) 其中，负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数. 点拨　(1)幂的指数是一个常数，它可以取任意实数. (2)幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同. 知识点二　幂函数的图象与性质 1.幂函数的性质 对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)： (1)当α＞0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； (2)当α＜0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近. 2.五种常见幂函数的图象 3.五类常见幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 图象 定义域 R R R {x｜x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y｜y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增 定点 (1，1) 点拨　幂函数的图象 观察幂函数的图象在第一象限内的图象特征： (1)当α＞0时，第一象限内的图象是上升的，当α＜0时，第一象限内的图象是下降的； (2)当x＞1时，α值大，图象在上方；当0＜x＜1时，α值大，图象在下方. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝－是幂函数. (　　 ) (2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1). (　　 ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限. (　　 ) (4)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数. (　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 学生用书⬇第79页 2.幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝，y＝在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　 ) A.C1，C2，C3，C4 B.C1，C4，C3，C2 C.C3，C2，C1，C4 D.C1，C4，C2，C3 答案：D 解析：由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝在第一象限内的图象为C2，y＝在第一象限内的图象为C3. 3.幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 答案：C 解析：设幂函数f(x)＝xα(α≠0)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，所以α＝，则幂函数f(x)＝， 所以f(8)＝＝4. 4.给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点. 其中说法正确的有　　　　(填序号). 答案：① 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误. 探究点一　幂函数的概念 (1)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　 ) A.1 B.－3 C.－1 D.3 (2)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)因为函数f(x)是幂函数， 所以m2＋2m－2＝1， 所以m＝1或m＝－3， 又函数在第一象限为增函数， 所以m＝1，故选A. (2)设f(x)＝xα(α≠0)，由题意得 3α＝，所以α＝－2， 所以f(x)＝x－2，所以f(4)＝4－2＝. 求幂函数解析式的依据和常用方法 1.依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件. 2.常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα(α≠0)，依据条件求出α. 对点练1.已知函数f(x)＝(a2－a－1)为幂函数，则实数a的值为(　　 ) A.－1或2 B.－2或1 C.－1 D.1 答案：C 解析：因为f(x)＝(a2－a－1)为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 探究点二　幂函数的图象及其应用 若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问：当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)？ 解：设f(x)＝xα(α≠0)，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理，可求得g(x)＝x－2. 在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)， 观察图象可得： (1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x). 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1.根据幂函数在第一象限内的图象确定幂指数α与0，1的大小关系. 2.依据图象高低判断幂指数大小，相关结论如下： (1)在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； (2)在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 对点练2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　 ) A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c 答案：B 解析：令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合.在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B. 学生用书⬇第80页 探究点三　幂函数性质的综合应用 (1)比较大小：　　　(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)若(3－2m＞(m＋1，求实数m的取值范围. 答案：(1)＞ 解析：(1)因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，＞， 所以＞. (2)因为y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜. 故实数m的取值范围为. 1.利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 2.比较幂值大小的两种基本方法 对点练3．比较下列各组数的大小. (1)1.，1.； (2)(－1.2，(－1.25. 解：(1)因为函数y＝在第一象限内单调递增，且1.5＜1.7，所以1.＜1.. (2)因为(－1.2＝1.，(－1.25＝1.2， 函数y＝在第一象限内单调递减，且1.2＜1.25， 所以1.＞1.2，即(－1.2＞(－1.25. 对点练4．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m＝　　　　. 答案：1 解析：因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－5＜0，故m＜.又m∈N，所以m＝0或1.当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意.综上，知m＝1. 1.幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则它的单调递增区间是(　　 ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞) 答案：D 解析：设幂函数f(x)＝xα，α≠0，因为f(x)的图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3，它的单调递增区间是(－∞，＋∞). 2.下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　 ) A.①y＝x2，②y＝，③y＝，④y＝x－1 B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1 C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x－1 D.①y＝，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1 答案：B 解析：函数y＝x2≥0，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应；y＝x3的图象关于原点对称且单调递增，应与①对应. 3.幂函数y＝f的图象过点，则函数y＝x－f的值域是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：设f＝xα(α≠0)，代入点得2α＝，所以α＝，所以f＝.则y＝x－，令t＝，t≥0，所以y＝t2－t＝－≥－，所以函数y＝x－f.故选C. 4.比较下列各组值的大小： (1)(－0.31，0.3； (2)1.，1.，1.42. 解：(1)因为y＝为R上的偶函数， 所以(－0.31＝0.3. 又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数， 且0.31＜0.35， 所以0.3＜0.3，即(－0.31＜0.3. (2)因为y＝在[0，＋∞)上是增函数， 且1.2＜1.4， 所以1.＜1.. 易知1.＜1.42，所以1.＜1.＜1.42. 课时分层评价21　幂函数 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(3)＝(　　 ) A. B. C.3 D.9 答案：B 解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象经过点(2，)，则2α＝，解得α＝.所以f(x)＝＝，所以f(3)＝.故选B. 2.已知幂函数f(x)＝(m2－4m－4)xm(m≠0)在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　 ) A.－5 B.－1 C.1 D.5 答案：B 解析：由题意，幂函数f(x)＝(m2－4m－4)xm(m≠0)，可得m2－4m－4＝1，解得m＝5或m＝－1， 当m＝5时，可得f(x)＝x5，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当m＝－1时，可得f(x)＝x－1，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意， 综上可得，实数m的值为－1. 故选B. 3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　 ) A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 答案：A 解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0. 4.已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是(　　 ) A.f(a)＜f(b)＜f＜f B.f＜f＜f(b)＜f(a) C.f(a)＜f(b)＜f＜f D.f＜f(a)＜f＜f(b) 答案：C 解析：因为0＜a＜b＜1， 所以a＜b＜＜. 因为f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(a)＜f(b)＜f＜f. 5.设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　 ) A.x1＋x2＞0，y1＋y2＞0 B.x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C.x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 D.x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 答案：B 解析：两函数的大致图象如图所示.不妨设x2＞x1，作点B关于原点的对称点B'，据图可知x1＋x2＞0，y1＋y2＜0.故选B. 6.(多选)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　 ) A.f(－2)＞f(1) B.f(－2)＜f(1) C.f(－2)＝f(－1) D.若｜a｜＞｜b｜＞0，则f(a)＜f(b) 答案：BD 解析：幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，f(x)＝，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)＜f(1)＝f(－1)，则A错误，B正确，C错误；若｜a｜＞｜b｜＞0，则f(｜a｜)＜f(｜b｜)，即f(a)＜f(b)成立，故D正确.故选BD. 7.已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为　　　 　　. 答案：2 解析：因为函数f(x)＝(m2－3m＋3)是幂函数，则有m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，函数f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 当m＝2时，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，则m＝2， 所以m的值为2. 8.已知幂函数f(x)的图象过点(－2，－8)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则a的取值范围是　　 　　　　. 答案：(－∞，1 解析：设f(x)＝xa，则f(－2)＝(－2)a＝－8，得a＝3， 所以f(x)＝x3.因为f(x)是定义在R上的增函数，且为奇函数， 所以由f(a＋1)≤－f(a－3)，得f(a＋1)≤f(3－a)， 得a＋1≤3－a，故a的取值范围是(－∞，1]. 9.(10分)比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 解：(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，又＞，所以＞. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 又－＜－， 所以＞. (3)因为函数y1＝为(0，＋∞)上的增函数， 又＞1， 所以＞＝1. 又因为函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数， 且＜1， 所以＜＝1，所以＞. 10.(10分)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且y＝x3m－9(m∈N＋)在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1＜(3－2a的a的取值范围. 解：因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.又m∈N＋，所以m＝1，2. 因为幂函数y＝x3m－9的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋1＜(3－2a. 由y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减得， a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1，故a的取值范围是. (11、12每小题5分，共10分) 11.有一种秘密密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密).现在已知加密密钥为y＝xα(α≠0)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　　　　. 答案：9 解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α≠0)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由＝3，得x＝9. 12.已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.对于函数：①f1(x)＝；②f2(x)＝x；③f3(x)＝x2.其中是“保三角形函数”的是　　　　(填序号). 答案：①② 解析：对任意一个三角形，它的三边长分别为a，b，c，不妨设a≥b≥c，因为b＋c＞a，＋＞＞，所以f1(x)＝为“保三角形函数”； 显然f2(x)＝x为“保三角形函数”； 对于f3(x)＝x2，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32＋32＜52，所以不存在以32，32，52为三边长的三角形，故f3(x)＝x2不是“保三角形函数”. 学生用书⬇第81页 学科网（北京）股份有限公司 $