4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦实数指数幂核心知识点，涵盖根式、分数指数幂的概念、性质及运算，从初中乘方知识导入，通过n次方根定义过渡到根式，再扩展到分数指数幂，构建从具体到抽象的学习支架，为幂函数学习奠定基础。 其亮点在于设置“知识辨析”5个问题引导学生探究概念本质，结合典例训练运算能力，运用整体代换法培养数学思维。以数学眼光抽象知识联系，用数学语言规范运算表达，帮助学生形成严谨逻辑，教师可借助系统知识框架提升教学效率。

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂 知识点 1 根式 必备知识 清单破 4.1.2　无理数指数幂 　　若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,则称x是a的n次方根. 当n为奇数时,数a的n次方根记作 . 当a>0时, >0;当a=0时, =0;当a<0时, <0. 当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,它们互为相反数,其中正的n次方根叫作算术根,记作  . 当a>0时,若xn=a,则x=± . 规定: =0,负数没有偶次方根. 第1讲　描述运动的基本概念 式子 叫作根式(n∈N,n≥2),n叫作根指数,a叫作被开方数. 一般地,有( )n=a. 当n为奇数时, =a; 当n为偶数时, =|a|. 第1讲　描述运动的基本概念 　　当a>0,m,n∈N,且n≥2时,规定 = , = . 规定:0的正分数指数幂为0;0没有负分数指数幂. 知识点 2 分数指数幂 第1讲　描述运动的基本概念 1.实数指数幂:给定任意正数a,对任意实数u,au叫作a的u次幂.其中,a叫作底数,u叫作指数. 2.实数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 3.幂运算基本不等式 对任意的正实数u和正实数a,若a>1,则au>1;若a<1,则au<1. 对任意的负实数u和正实数a,若a>1,则au<1;若a<1,则au>1. 知识点 3 实数指数幂 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.实数a的n次方根可能有几个? 2.   = (n>1,n∈N+)一定成立吗? 3.分数指数幂 是 个a相乘吗? 4.分数指数能约分吗? 5.负数存在分数指数幂吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.当n为大于1的奇数时,实数a的n次方根有1个;当n为大于1的偶数时,正数a的n次方根有2个,0 的n次方根有1个,负数没有偶次方根. 2.不一定. 是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶决定,结果恒等于a;  是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,a∈R,不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n 的奇偶限制,不一定等于a. 3.不是.分数指数幂 只是根式的一种写法. 4.不能随意约分.如:(-3 约分后为(-3 = ,而 在实数范围内是无意义的. 5.存在.在保证相应的根式有意义的前提下,负数存在分数指数幂. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 根式与指数幂的运算 关键能力 定点破 1.运用根式的性质解题时的注意点 (1)分清根式是奇次根式还是偶次根式: ①n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数; ②n>1,且n为偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a; ③n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有意义,且 =|a|. (2)注意变式、整体代换,以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式 的运用,必要时要进行分类讨论. 2.根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式,小数指数幂化为分数指数幂,负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的,要先化成分数,底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式 第1讲　描述运动的基本概念 表示,便于利用指数幂的运算性质. 　　注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　计算:(1) + - ; (2) × (a>0,b>0); (3)(0.064 - +[(-2)3 +16-0.75+ ; (4) ÷ × (a>0,b>0). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式= + - = + - = . (2)原式= × × × × = a0b0= . (3)原式= -1+(-2)-4+(24 + = -1+ + + = . (4)原式= · · = =a. 第1讲　描述运动的基本概念 解决条件求值问题的方法——整体代换法 　　将已知条件或所求代数式进行恰当的变形,从而通过“整体代换法”求出代数式的值. 常用的变形公式如下: (1)a±2  +b=( ± )2; (2)( + )( - )=a-b; (3) + =( + )(a-  +b); (4) - =( - )(a+  +b). 定点 2 有关指数幂的条件求值 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知 + = ,求下列各式的值: (1)a2+a-2;(2) . 解析    (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7, 所以a+a-1=5, 再将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=25, 故a2+a-2=23. (2)由(1)得a+a-1=5. 因为 - =( )3-( )3 =( - )(a+  +a-1), 所以原式= =a+1+a-1=5+1=6. 第1讲　描述运动的基本概念 $