4.1.1-4.1.2 有理数指数幂 无理数指数幂-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦实数指数幂，系统梳理n次方根、根式、分数指数幂等核心知识点，构建从n次方根定义到根式性质，再到分数指数幂与根式互化，最终延伸至有理数和无理数指数幂运算的学习支架。 该资料以数学抽象和数学运算为核心素养目标，通过点拨辨析易混概念，如与()ⁿ的区别，结合探究点例题与对点练强化理解，课时分层评价助力课后巩固，既适合课中引导学生逻辑推理，又便于课后自主查漏补缺。

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂　4.1.2　无理数指数幂 学习目标 1.理解n次方根及根式的概念，培养数学抽象核心素养.能正确运用根式运算性质进行运算. 2.理解分数指数幂的含义；掌握根式与分数指数幂的互化. 3.掌握有理数指数幂及无理数指数幂的运算性质，提升数学运算核心素养. 知识点一　n次方根 1.定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根. 2.性质： (1)当n是奇数时，数a的n次方根记作. (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作. 规定：＝0，负数没有偶次方根. [点拨]　在根式符号中，注意以下几点： (1)n＞1，n∈N＋. (2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义. (3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义. 知识点二　根式 1.定义：式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数. 2.性质：(n＞1，且n∈N＋) (1)()n＝a. (2) ＝ [点拨]　与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝｜a｜＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a. 知识点三　分数指数幂 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：＝(a＞0，m，n∈N且n≥2) 负分数 指数幂 规定：＝＝(a＞0，m，n∈N且n≥2) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂 [点拨]　(1)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分. 学生用书⬇第75页 知识点四　有理数指数幂 1.运算 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q). 2.有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正数a＞1和两有理数r＞s，有＝ar－s＞1，即ar＞as. (2)对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有＝ar－s＜1，即ar＜as. 知识点五　无理数指数幂 1.定义：在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数. 2.幂运算基本不等式 (1)对任意的正实数u和正实数a，若a＞1，则au＞1；若a＜1则au＜1. (2)对任意的负实数u和正实数a，若a＞1，则au＜1；若a＜1则au＞1. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)的运算结果是±2. (　　) (2)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义. (　　) (3)分数指数幂可以理解为个a相乘. (　　) (4)0的任何指数幂都等于0. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.给出下列各式： ① ＝2；②(a2－3a＋3)0＝1；③＝.其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：对于①，＝－2，故①错误.对于②，因为a2－3a＋3＝＋＞0恒成立，所以等式成立，故②正确.对于③，偶次根式下被开方数不能是负数，无意义，故③错误.故选B. 3.＋ ＋ 的值为(　　) A.－6 B.2－2 C.2 D.6 答案：A 解析：＝－6，＝｜－4｜＝4－，＝－4， 所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6. 4.已知a＋a－1＝34，则＋＝　　　　. 答案：6 解析：2＝a＋a－1＋2＝34＋2＝36. 所以＋＝＝6. 探究点一　对n次方根概念的理解 有下列说法： ①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④ ＝｜x＋y｜. 其中正确的有　　　　(填序号). 答案：②④ 解析：负数的3次方根是一个负数，＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；＝3，故③错误；是非负数，所以＝｜x＋y｜，故④正确. 判断关于n次方根的结论应关注两点 1.n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. 对点练1.若＝，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：＝｜3a－1｜， ＝1－3a，因为｜3a－1｜＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤. 探究点二　利用根式的性质化简与求值 (1)化简下列各式： ① ＋； ② ＋＋. (2)当有意义时，化简－. 解：(1)①因为＝｜3－π｜＝π－3，＝－π－3. 所以原式＝π－3－π－3＝－6. ②原式＝｜－5｜＋＋＝5＋2－3＝4. (2)因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2， 所以原式＝－＝(2－x)－(3－x)＝－1. 学生用书⬇第76页 根式化简与求值的思路及注意点 1.思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简. 2.注意点 (1)正确区分()n与. (2)运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论. 对点练2.(1)已知有意义，化简(n∈N＋)； (2)化简(a≤1). 解：(1)因为π－x＞0，所以x－π＜0. 当n为偶数时，＝｜x－π｜＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， ＝ (2)＝｜3a－3｜＝3｜a－1｜＝3－3a. 探究点三　根式与分数指数幂的互化 (1)将各式化为根式：①(x＞0)；②(a＞0)；③(x，y＞0). (2)将下列各式化为分数指数幂： ①；② (m，n＞0)；③. 解：(1)①＝＝；②＝；③＝· . (2)①＝＝；②＝(m＋n(m，n＞0)；③＝＝3. 根式与分数指数幂互化的规律 1.根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子. 2.在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式. 对点练3.用根式的形式表示下列各式(x＞0，y＞0)： (1)＝　　　；(2)＝　　　. 答案：(1)　(2) 探究点四　指数幂的运算 计算下列各式： (1)＋2－2×－0.010.5； (2)(×)6＋－4－×80.25－(2 021)0. 解：(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝(×)6＋－4×－·－1 ＝22·33＋－4×－2－1 ＝108＋2－7－3＝100. 指数幂运算的解题通法 1.有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. 4.若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 5.运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 学生用书⬇第77页 对点练4.对下列式子进行化简求值. (1)化简：·(a＞0，b＞0)； (2)求值：0.00－＋1＋(×)6. 解：(1)原式＝ ＝a0b0＝. (2)原式＝－1＋23＋23×32＝89. 探究点五　条件求值问题 已知＋＝，求下列各式的值. (1)a2＋a－2； (2)； (3)a－a－1； (4)a2－a－2. 解：(1)将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝7，所以a＋a－1＝5， 再将a＋a－1＝5两边平方，得a2＋a－2＋2＝25，故a2＋a－2＝23. (2)由(1)得a＋a－1＝5，由于－＝()3－()3， 所以原式＝ ＝a＋a－1＋1＝5＋1＝6. (3)由(1)知a2＋a－2＝23， 所以a－a－1＝±＝±＝±. (4)由(1)知a＋a－1＝5， 所以a2－a－2＝(a＋a－1)(a－a－1)＝±5. 解决条件求值问题的一般方法 　　形如ax＋a－x(a＞0且a≠1)的代数式，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可.本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 对点练5.已知2x＋2－x＝5. 求(1)4x＋4－x； (2)8x＋8－x. 解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23. (2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110. 1.下列各式正确的是(　　) A.＝－3 B.＝a C.＝2 D.＝2 答案：C 解析：由于＝3，＝｜a｜，＝－2，故A，B，D错误. 2.化简[的结果为(　　) A.5 B. C.－ D.－5 答案：B 解析：＝＝＝. 3.＝　　　　(a＞0，b＞0). 答案： 解析：原式＝＝·＝ab－1＝. 4.计算：(1)(0.027＋－； (2)8－1×(a＞0，b＞0). 解：(1)原式＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. (2)原式＝a3·a－3·b－3·b3＝a0b0＝. 课时分层评价20　有理数指数幂　无理数指数幂 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.计算：＝(　　) A.4－π B.π－4 C.－π D.4 答案：A 解析：因为π＜4，所以＝｜π－4｜＝4－π.故选A. 2.＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：＝＝＝＝. 3.根式的分数指数幂的形式为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析： ＝ ＝ ＝＝.故选D. 4.计算：3π×＋(＋的值为(　　) A.17 B.18 C.6 D.5 答案：B 解析：3π×＋(＋＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18. 5.已知＋＝4，x＝a＋3，y＝b＋3，则(x＋y＋(x－y为(　　) A.0 B.8 C.10 D.以上都不对 答案：B 解析：x＋y＝a＋3＋b＋3＝(＋)3，x－y＝a＋3－b－3＝(－)3， 所以(x＋y＋(x－y＝(＋)2＋(－)2＝2(＋)＝2×4＝8. 6.若＝，则实数a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为＝＝＝，所以1－3a≥0，所以a≤. 7.计算：(－9.6)0－＋1.5－2＝　　　　. 答案：1 解析：原式＝1－＋ ＝1－＋ ＝1－＋ ＝1－＋ ＝1. 8.设a＞0，x＝－)，则(x＋)n的值为　　　　. 答案：a 解析：将x＝－)代入1＋x2， 得1＋x2＝1＋－)2＝＋)2， 所以(x＋)n ＝ ＝＝a. 9.(10分)化简下列各式： (1)(·)6－4·(－·80.25－(2 020)0； (2)(a＞0，b＞0). 解：(1)原式＝(×)6－4×－×－1 ＝4×27－7－(2×8－1 ＝108－7－2－1＝98. (2)原式＝＝＝＝. 10.(10分)(1)已知x＋y＝8，xy＝9，且x＞y＞0，求的值； (2)已知a＝－，a－27b≠0，求÷的值. 解：(1)因为x＋y＝8，xy＝9， 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝64－36＝28. 因为x＞y＞0，所以x－y＝2， 所以＝ ＝＝＝＝. (2)因为a≠0，a－27b≠0， 所以原式＝× ＝＝＝＝＝. (11、12每小题5分，共10分) 11.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝　　　　，(2α)β＝　　　　. 答案：　 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝. 则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝. 12.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a＞0，且a≠1)，则a4m＋n的值为　　　　. 答案：4 解析：因为 所以由①②得a3m＝26，所以am＝22. 将am＝22代入②，得22·a－n＝28，所以an＝2－6， 所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4×2－6＝22＝4. 学生用书⬇第78页 学科网（北京）股份有限公司 $