4.1.2 无理数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

湘教版（2019）必修第一册 4.1.2 无理数指数幂 学习目标 1.了解无理数指数幂的意义 2.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算 学习重点 学习难点 了解实数指数幂概念及运算推广 理解无理数指数幂的意义, 从函数解析式出发研究指数函数性质, 再借助信息技术画出指数函数图象归纳指数函数的性质. 新课导入 新课学习 有理数指数幂的基本不等式 无理数指数幂的概念 无理数指数幂的运算法则 无理数指数幂的基本不等式 例题来了 解： 证明： 课堂巩固 A B A B 总结一下 2.有理数指数幂的基本不等式 1.无理数指数幂的概念 感谢观看 我们知道，对任意的正整数n和正数 ，若 ，则 ；若 ，则 .那么，对于任意的正有理数 ， 和1之间是否也有类似的关系呢? 设 ，下面用反证法证明必有 : 假设 ，则 ，与已知 矛盾，故 . 进一步可推知， . 综合起来得到有关有理数指数幂的基本不等式： 对任意的正有理数r和正数 ， 若 ，则 ；若 ，则 . 根据负指数的意义和倒数的性质可得推论： 对任意的负有理数r和正数 ， 若 ，则 ; 若 ，则 . 由此可知： 对任意的正数 和两有理数 ，有 ，即 . 对任意的正数 和两有理数 ，有 ，即 . 这两个不等式，有助于建立和理解无理数指数幂的概念. 现在，对于 ，当x是任意有理数时， 都有了意义. 在实际问题中，变量x可以是无理数，正数的无理数指数幂又怎么定义呢? 例如，要知道 是什么意思，就是问如何确定它的大小. 同顾一下， 的大小是怎样确定的呢? 我们知道 ，是因为知道： 它比 1 大， 比 2 小； 比 1.4 大， 比 1.5 小；比 1.41 大，比 1.42 小；比 1.414 大，比 1.415 小；比 1.4142 大，比 1. 4143 小 如果需要，我们能够把 算到任意多位小数，即把它的大小范围估计到任意的精度，要多精确都可以达到，这样就算确定了它. 类似的办法，可以确定实数 . 例如，设 ，利用前述的不等式可得下表: 根据 ，先计算出 ， . 立刻知道 ，获得了 的四位有效数字. 这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确. 所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义.于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂 都有了定义. 在幂的表达式 中，a叫作底数，u叫作指数. 可以证明，有理数指数幂的前述运算法则，对实数指数幂仍然成立. 即对于任意实数r，s，均有： (1) ； (2) ； (3) . 类似地，我们有更一般的幂运算基本不等式： 对任意的正实数u和正实数 a，若 ，则 ；若 ，则 . 对任意的负实数u和正实数 a，若 ，则 ；若 ，则 . 例1 化简下列各式: (1) ； (2) . 例2 已知 ， ，对任意的实数u，求证: . 因为 ， ， 都是正数，且 ， 故 ， 也是正数. 又 即得 . 1.化简: ( ) A.0 B. C. 或0 D. 解析：因为 ，所以 ， 故 . 2. 的值是( ) A.105 B.33 C. D. 解析：由题意得： . 3.将 化成分数指数幂的形式是( ) A. B. C. D. 解析： . 4. ( ) A.2 B. C. D.-2 解析：原式 . 5.计算： （1） ；（2） ；（3） . 解析：（1） ; （2） ; （3） . 6.求值. （1） ， ， ， ； （2） . 解析：（1） ； ； ； . （2）原式 . $$