3.1 函数-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕函数概念展开，涵盖三要素、表示方法、定义域、值域、解析式及分段函数等核心知识点，通过从定义到三要素构建基础，以表示方法过渡，逐步深入具体与抽象定义域、多种值域求法、解析式求法，最终以分段函数整合，形成递进式学习支架。 其亮点在于知识辨析培养数学眼光，典例解析强化数学思维，易错警示规范数学语言。如抽象函数定义域通过“对应关系取值范围相同”培养抽象能力，值域求法的配方法、换元法等训练推理能力，分段函数典例结合分类讨论体现应用意识。助力学生系统掌握知识，教师可提升教学效率。

3.1　函数 知识点 1 函数的概念 必备知识 清单破 1.函数的有关概念 定义 一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数 记法 y=f(x)(x∈A,y∈B) 定义域 x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域 值域 与x∈A对应的数y叫作函数值,记作f(x),所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.值域是集合B的子集 第1讲　描述运动的基本概念 2.函数的三要素:定义域、对应关系和值域. 3.两个函数相等 　　两个函数f(x)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时,叫作相等. 也就是说,即使两个函数的对应关系形式上相同,但定义域不同,那么它们不是同一个函数. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点2　 知识点 2 表示函数的方法 方法 优点 缺点 解析法 简明、全面概括了变量间的 关系;利用解析式可求任一函 数值 不够形象、直观,而且并不是 所有函数都有解析式 列表法 不需计算,可以直接看出与自 变量对应的函数值 不够全面,也很难看出函数的 数学性质 图象法 能形象、直观地表示函数值 的变化情况 只能近似求出自变量所对应 的函数值,而且有时误差较大 第1讲　描述运动的基本概念 　　一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数 叫作分段函数. 知识点 3 简单的分段函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗? 2.任何函数都可以用解析法、列表法、图象法这三种方法表示,这种说法正确吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.确定. 2.不正确.如D(x)= 无法用列表法和图象法表示. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 已知函数解析式求定义域 关键能力 定点破 (1)如果函数的解析式是整式,那么在没有特殊说明的情况下,函数的定义域是实数集R. (2)如果函数解析式中含分式或0次幂,那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零. (3)如果函数解析式中含偶次根式,那么函数的定义域应使偶次根式有意义. (4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成的,那么函数的定义域应使各部分式子 都有意义,定义域为各部分自变量取值集合的交集. (5)由实际背景确定的函数,其自变量的值不仅要使解析式本身有意义,还要考虑自变量的实 际意义. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求下列函数的定义域: (1)y= ;(2)y= . 解析    (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x>-2,且x≠-1. 所以函数y= 的定义域为{x|x>-2,且x≠-1}. (2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x≤5,且x≠±3, 所以函数y= 的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示 已知函数解析式求函数定义域要注意以下两点: (1)求定义域前不可对解析式化简变形,以免定义域发生变化. (2)定义域必须用集合或区间表示,且用区间表示结果为不相连的几部分的定义域时,各部分 之间应该用并集符号“∪”连接. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求抽象函数的定义域应明确的几点 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围. (2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围. (3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相同. 2.抽象函数定义域的求解方法 (1)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围. (2)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围, 此范围就是f(x)的定义域. (3)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x) 的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出g(x)中x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域. 定点 2 求抽象函数的定义域  第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域; (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域; (3)已知函数y=f(3x-2)的定义域是 ,求函数y=f(x-1)的定义域. 解析    (1)由题意知,函数f(2x+1)中2x+1的取值范围与函数f(x)中x的取值范围相同, ∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1], ∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]. (2)函数f(2x+1)的定义域为[1,3],即x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],∴函数f(x)的定义域为[3,7]. (3)由x∈ ,得-5≤3x-2≤-1, 令-5≤x-1≤-1,得-4≤x≤0, 故函数y=f(x-1)的定义域是[-4,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求函数值的方法 (1)已知函数f(x)的解析式时,求f(a)的值,只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可. (2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值,应遵循由内到外的原则. 　　注意:用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义. 2.求函数值域的常用方法 (1)观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域. (2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域. (3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化为完全平方式 与常量和差的形式. (4)分离常数法:针对形如y= (ac≠0,ad≠bc)的函数,常把分子分离成不含自变量的形式, 定点 3 求函数的值或值域 第1讲　描述运动的基本概念 即y= = + ,其值域是 y y≠  . (5)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为熟悉的函数,间接求 出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围. (6)判别式法:将函数转化为关于自变量的二次方程,利用判别式求因变量的范围,常用于“分 式函数”等,注意自变量的取值范围. (7)反表示法:将函数中的自变量用因变量表示,结合原函数的定义域解不等式,从而求出函数 的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知函数f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值; (2)求f(g(3))的值; (3)若f(g(x))=14,求x的值. 解析    (1)f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6. (2)g(3)=32+2=11, ∴f(g(3))=f(11)=11+11=22. (3)解法一:∵f(g(x))=14, ∴11+g(x)=14,解得g(x)=3, ∴x2+2=3,解得x=±1. 解法二: f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2, 令13+x2=14,则x2=1,解得x=±1. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　求下列函数的值域: (1)y= ;(2)y= ; (3)y= ;(4)y=2x- . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于y= ,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4,∴函数的定义域为[-4,4]. 由-4≤x≤4,得0≤x2≤16,因此-16≤-x2≤0, ∴0≤16-x2≤16,从而0≤ ≤4, 故函数y= 的值域为[0,4]. (2)解法一(分离常数法):y= = =2+ ,显然 ≠0,所以y≠2,故函数的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞). 解法二(反表示法):由y= 得x= ,由 有意义得y-2≠0,所以y≠2, 故原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (3)解法一(基本不等式法):当x=0时,y=0;当x>0时,y>0,且y= ≤ =1(当且仅当x=1时,等号 成立),故y∈(0,1]; 第1讲　描述运动的基本概念 当x<0时,y<0,且y=- ≥-1(当且仅当x=-1时,等号成立),故y∈[-1,0). ∴函数的值域为[-1,1]. 解法二(判别式法):易知y= 的定义域为R,将函数解析式化为yx2-2x+y=0,可以看成关于x 的一元二次方程,则这个方程有实数根,   ∴Δ=4-4y2≥0, ∴y2≤1,∴-1≤y≤1, ∴函数的值域为[-1,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 (4)设t= ,则t≥0,且x=t2+1, 所以y=2(t2+1)-t=2 + ,t≥0, 画出函数图象如图所示: 由图可得函数的值域为 . 第1讲　描述运动的基本概念   1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下: (1)设出含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函数解析式 设为f(x)= (k≠0);二次函数解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),②顶点式:f (x)=a(x-h)2+k(a≠0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组. (3)解方程或方程组,得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理. 2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式. (1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x. (2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此将x用含t的式子表示, 定点 4 函数解析式的求法 第1讲　描述运动的基本概念 得出x=h(t),将x=h(t)代入f(g(x)),得到f(t)的解析式,再用字母x替换字母t,便可得到f(x)的解析式. (3)配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解 析式,然后把g(x)整体代换为x,即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是整式、分式、根式等. (4)消元法(方程组法):已知f(x)与f 或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等 式,二者组成方程组,通过解方程组求出f(x). (5)赋值法:依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一 般规律求出函数解析式.此方法主要适用于抽象函数求解析式. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式; (2)已知y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,求f(x)的解析式; (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f  =x(x≠0),求f(x)的解析式; (4)设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的 解析式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(换元法):令t= +1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):f( +1)=x+2 =x+2 +1-1=( +1)2-1. 因为 +1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=kx+b(k≠0), 则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3(kx+b) =k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10x+4, 所以 解得 或  第1讲　描述运动的基本概念 故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1. (3)在f(x)+2f  =x(x≠0)中,将x换为 ,得f  +2f(x)= (x≠0), 于是得到关于f(x)与f 的方程组 (x≠0),所以f(x)= - (x≠0). (4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1). 又f(0)=1, ∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1. 解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即f(-y)=1-y(-y+1). 令-y=x,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1)=x2+x+1. 第1讲　描述运动的基本概念 1.正确理解分段函数 (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数. (2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值属于哪一个区间. (3)分段函数的定义域是各段的“定义域”的并集,其值域是各段的“值域”的并集. (4)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2.分段函数的求值策略 (1)已知自变量的值求函数值的步骤: ①确定自变量属于哪一个区间; ②代入相应段的解析式求值.当出现f(f(x0))(x0为自变量的某个值)的形式时,应从内到外依次 求值. 定点 5 如何理解与解决分段函数问题 第1讲　描述运动的基本概念 (2)已知函数值求对应的自变量的值,可分别利用各段函数的解析式求得自变量的值,但应注 意检验各段求出的值是否在本段函数的定义域内.也可先判断每一段上的函数值的范围,确 定相应的解析式后再求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知a≠0, f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),求a的值. 解析    当a>0时,1-a<1,1+a>1, 则f(1-a)=2(1-a)+a,f(1+a)=-(1+a)-2a, ∴2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=- (舍去); 当a<0时,1-a>1,1+a<1, 则f(1-a)=-(1-a)-2a, f(1+a)=2(1+a)+a, ∴-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=- . 综上,a=- . 第1讲　描述运动的基本概念 $