08-第8章 函数应用(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数应用的核心内容，涵盖函数零点判定、二分法、指数与分段函数模型、方程与函数转化等知识点，通过选择、填空、解答题的梯度设计，构建从基础概念到综合应用的逻辑网络。 其亮点在于以实际问题为载体培养数学核心素养，如通过蔬菜保鲜时间、生产效率评分等情境发展数学眼光，借助二次方程根的分布讨论提升数学思维，利用函数模型表达现实问题强化数学语言。分层题目设计让不同学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

第8章 函数应用 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.函数f(x)=x+2x的零点所在区间是 （ ） A.(-2,-1)　    B.(-1,0)　    C.(0,1)　    D.(1,2)     B     解析　因为函数y=x,y=2x均为R上的增函数, 所以函数f(x)=x+2x为R上的增函数, 因为f(-1)=-1+2-1=- <0, f(0)=1>0, 所以函数f(x)=x+2x的零点所在区间是(-1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知函数f(x)=x3+3x-6,利用二分法求f(x)的零点的近似值x0,若零点的初始区间为[0,2],精确度为0.5,则x 0可以是 （ ） A.0.25　    B.0.5　    C.1.25　    D.1.75     C     解析　易得f(0)=-6<0, f(2)=23+3×2-6=8>0, f(1)=1+3-6=-2<0, f = +3× -6= + -6= >0, f = +3× -6=- <0, 所以由函数零点存在定理知,x0∈ . 因为 - = <0.5,所以x0可以是 =1.25. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知某种蔬菜的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)近似满足y=ekx+b(k,b为常数,e为自然对数 的底数),若该品种蔬菜在5 ℃时的保鲜时间为216小时,在25 ℃时的保鲜时间为24小时,则在15 ℃时,该 品种蔬菜的保鲜时间大约为 （ ） A.120小时　    B.96小时　     C.72小时　     D.64小时     C     解析　由题意得 两式相除,得e-20k=9, 所以e15k+b=e25k+b·e-10k=e25k+b·(e-20k =24×3=72, 所以在15 ℃时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为72小时. 第1讲　描述运动的基本概念 4.若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)-ex 的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是 （ ） A.y=f(x)ex+1　    B.y=f(-x)e-x-1 C.y=f(x)ex-1　    D.y=f(-x)ex+1     A     解析　∵x0是y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)- =0. ∵f(x)为奇函数,∴f(-x0)=-f(x0), ∴-f(-x0)- =0,即f(-x0)+ =0,∴f(-x0) +1=0, ∴-x0一定是y=f(x)ex+1的零点. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+m,若g(x)有两个零点,则实数m的取值范围是 （ ） A.[-1,+∞)　    B.(-∞,-1]　     C.[0,+∞)　     D.[-1,0)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令g(x)=f(x)+x+m=0,得f(x)=-x-m. 因为g(x)有两个零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=-x-m有两个交点. 作出函数f(x)的图象,如图所示.   由图可知,要使函数y=f(x)的图象与直线y=-x-m有两个交点,需满足-m≤1,解得m≥-1,故实数m的取值范 围是[-1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知函数f(x)= 若x1<x2<x3,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则 的取值范围为 （ ） A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　作出函数f(x)的图象,如图所示.   令f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,则函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点,所以0<t<1. 由图可得,-1<x1<0<x2<1<x3<2,x2+x3=2.易知t=1-x2,所以x2=1-t, 所以 = (1-t)t=-  + ∈ ,所以 的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)= 若关于x的方程[f(x)]2-(a+8)·f(x)-a=0有6个不同的实数根,则实数a的取 值范围为 （ ） A. 　    B. 　    C.(-4,0)　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　作出函数y=f(x)的图象如图所示:   令t=f(x),则原方程可转化为t2-(a+8)t-a=0. 因为关于x的方程[f(x)]2-(a+8)f(x)-a=0有6个不同的实数根,所以关于t的方程t2-(a+8)t-a=0在(1,3]上有两 个不相等的实数根. 第1讲　描述运动的基本概念 设g(t)=t2-(a+8)t-a, 则函数g(t)在(1,3]上有2个不同的零点, 所以 解得-4<a≤- . 第1讲　描述运动的基本概念 8. 已知函数f(x)=x+ -2,且关于x的方程f(|ex-1|)+ -3k2=0有三个不同的实数解,则实数k的取值范围 为 （ ） A. 　    B. ∪  C. 　    D. ∪      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(|ex-1|)+ -3k2=0及f(x)=x+ -2, 得|ex-1|+ + -3k2-2=0,且|ex-1|≠0, 故 -(3k2+2)|ex-1|+2k+1=0(x≠0). 令t=|ex-1|(x≠0),则t>0,t2-(3k2+2)t+2k+1=0. 作出函数t=|ex-1|(x≠0)的图象如图所示,   因为关于x的方程f(|ex-1|)+ -3k2=0有三个不同的实数解,所以关于t的方程t2-(3k2+2)t+2k+1=0的两根 分别在(0,1)和[1,+∞)上. 令g(t)=t2-(3k2+2)t+2k+1, 第1讲　描述运动的基本概念 当g(1)=-3k2+2k=0时,k=0或k= , 若k=0,则t2-2t+1=0,解得t=1(二重根),不符合题意, 若k= ,则t2- t+ =0,解得t=1或t= ,不符合题意,所以g(1)=-3k2+2k≠0, 则 解得- <k<0或k> , 所以实数k的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.对于函数f(x)=x2与g(x)=2x的图象,下列说法错误的是 （ ） A.f(x)与g(x)的图象有三个交点 B.f(x)与g(x)的图象有两个交点 C.∃x0>0,当x>x0时,g(x)的图象恒在f(x)图象的下方 D.∃x0>0,当x>x0时,g(x)的图象恒在f(x)图象的上方     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易得f(2)=g(2)=4, f(4)=g(4)=16, f(5)=25,g(5)=32,所以在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和g (x)的图象,如图所示.   由图可知,两函数图象有三个交点,故A中说法正确,B中说法错误; 当x>4时,g(x)的图象恒在f(x)图象的上方,故C中说法错误,D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.科学研究表明,物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度θ0 ℃保持不变,那么t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃,则该物体的温 度从θ' ℃(90≤θ'≤100)下降到30 ℃,所需的时间大约为t1分钟;从70 ℃,50 ℃分别下降到30 ℃,所需的时 间大约为t2分钟,t3分钟,则(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) （ ） A.t2=20　    B.28≤t1≤30　    C.t1≥2t3　    D.t1-t2≤6     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得,θ=10+(θ1-10)e-0.05t. 令30=10+(θ1-10)e-0.05t,得e-0.05t= ,等号两边同时取自然对数,得-0.05t=ln ,所以t=20ln ,此时t 是关于θ1的单调递增函数. 当θ1=90时,t=20ln =20ln 4=40ln 2≈28, 当θ1=100时,t=20ln =20ln =40ln 3-20ln 2≈30,所以28≤t1≤30,故B正确. t2=20ln =20ln 3≈22,则t1-t2≥6,故A,D错误. t3=20ln =20ln 2≈14,则t1≥2t3,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知x1,x2为函数f(x)=2 024-x-|log3(x-3)|的两个零点,则下列结论正确的有 （ ） A.(x1-4)(x2-4)<0　    B.0<(x1-3)(x2-3)<1 C.(x1-3)(x2-3)>1　    D.若x1<x2,则 <      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　根据题意知,y=2 024-x与y=|log3(x-3)|的图象在(3,+∞)上有两个交点,且这两个交点的横坐标分 别为x1,x2, y=2 024-x在(3,+∞)上单调递减,且值域为(0,2 024-3). y=|log3(x-3)|= 且当x=4时,y=-log3(4-3)=0, 易知y=-log3(x-3)在(3,4]上单调递减,值域为[0,+∞); y=log3(x-3)在(4,+∞)上单调递增,值域为(0,+∞). 综上,y=2 024-x与y=|log3(x-3)|的图象的交点在直线x=4的两侧,即原函数的两个零点分别在区间(3,4),(4,+ ∞)上,故(x1-4)(x2-4)<0,故A正确. 不妨设3<x1<4<x2,则log3[(x1-3)(x2-3)]=log3(x1-3)+log3(x2-3)=- + <0,所以0<(x1-3)(x2-3)<1,故B 正确,C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 令g(x)=2 024x,则g(x)在R上单调递增, 若证 < ,则证x1-3< ,即(x1-3)(x2-3)<1,显然D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至 少要喷洒_____次.(参考数据:lg 2≈0.301 0)     5 解析　设喷洒x(x∈N*)次,则(1-80%)x<0.1%, 即0.2x<10-3,∴xlg 0.2<-3,∴x> ≈ ≈4.3, 又x∈N*,∴至少要喷洒5次. 第1讲　描述运动的基本概念 13.若函数f(x)=x·2x-ax- 在区间(-∞,-2)上有零点,则实数a的取值范围为_____. 解析　因为函数f(x)在区间(-∞,-2)上有零点, 所以a=2x- 在(-∞,-2)上有解,令g(x)=2x- . 易知y=2x,y=- 在(-∞,-2)上单调递增, 所以g(x)=2x- 在(-∞,-2)上单调递增, 又x→-∞时,g(x)→0,且g(-2)=2-2- = , 所以a∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知函数f(x)= 则函数f(x)的零点是_________;若函数g(x)=f(f(x))-a,且函数g(x)有三个 不同的零点,则实数a的取值范围是___________.     [-1,+∞) 　-2和-  第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 解得x=-2. 由 解得x=- . 所以函数f(x)的零点是-2和- . 设t=f(x),令f(t)-a=0,则a=f(t). 在同一平面直角坐标系中作出y=f(t)的图象及直线y=a. 第1讲　描述运动的基本概念 若a≥-1,则y=f(t)的图象与直线y=a有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为t1,t2(t2>t1),则t1<-1,t2≥-1. 易得y=f(x)的图象和y=f(t)的图象相同,结合y=f(x)的图象(图略)可得,当t1<-1时,t1=f(x)有且只有一个解,当t2 ≥-1时,t2=f(x)有两个不同的解,符合题意. 若a<-1,则y=f(t)的图象与直线y=a只有一个交点,设交点的横坐标为t3,则t3<-1,当t3<-1时,t3=f(x)有且只有 一个解,不符合题意. 综上,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点时,实数a的取值范围是[-1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=x2+(m-1)x+1. (1)若函数f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标都在(0,2)内,求实数m的取值范围; (2)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)内有唯一实数解,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得  (3分) 解得- <m<-1,故实数m的取值范围为 . (5分) (2)因为关于x的方程f(x)=0在(0,2)内有唯一实数解,所以Δ≥0. (6分) 当Δ=(m-1)2-4=0,即m=3或m=-1时,需满足0<- <2,所以m=-1. (8分) 当Δ=(m-1)2-4>0,即m>3或m<-1时, 若f(2)=0,则m=- ,此时f(x)=x2- x+1,令f(x)=0,则x= 或x=2,满足题意; 若f(2)≠0,因为f(0)=1,所以f(2)<0,即m<- . (11分) 第1讲　描述运动的基本概念 所以m≤- . (12分) 综上,实数m的取值范围为 ∪{-1}. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)为了更好地提升生产水平,某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查,通过调查发 现,工厂每天的生产水平评分=每天的产品质量评分+每天的生产效率评分.已知工厂每天的产品质量评 分f(x)(单位:分)与每天的生产时长x(单位:小时)的函数关系近似为f(x)= 每天 的生产效率评分g(x)(单位:分)与每天的生产时长x(单位:小时)的部分数据如下表所示: x 3 4 5 6 7 8 9 10 g(x) 25 34 41 46 49 50 49 46 第1讲　描述运动的基本概念 已知生产时长为9小时时,产品质量评分为8分. (1)求实数m的值; (2)给出三种函数模型:①g(x)=ax+b,②g(x)=ax2+bx+c,③g(x)= -b,根据上表中的数据,从中选择你认为最 合适的一种函数模型来描述每天的生产效率评分g(x)与每天的生产时长x(单位:小时)的变化关系,并求 出该函数的解析式; (3)设该工厂每天的生产水平评分为F(x),求当x为何值时,F(x)取得最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知, f(9)=8,所以92-17×9- +90=8,解得m=100. (2分) (2)由题表可知,函数g(x)先增后减,所以模型g(x)=ax2+bx+c最合适. (4分) 由题表可知,g(7)=49,g(8)=50,g(9)=49, 所以  (7分) 解得 所以g(x)=-x2+16x-14(0<x≤24). (9分) (3)易得F(x)=f(x)+g(x)=  (10分) 易知函数g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=8, 第1讲　描述运动的基本概念 所以函数g(x)在(0,8]上单调递增. 又函数y=2x-5在定义域上单调递增, 所以函数F(x)在(0,8]上单调递增, 所以当0<x≤8时,F(x)max=F(8)=58. (12分) 当8<x≤24时,F(x)=-x- +76=- +77, 因为x+1+ ≥2 =20,当且仅当x+1= ,即x=9时取等号, 所以F(x)=- +77≤-20+77=57, 所以当8<x≤24时,F(x)max=F(9)=57. (14分) 综上,当x=8时,F(x)取得最大值,为58. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)已知函数f(x)=x2-2mx+m-1,g(x)=e-x-1. (1)若m=0,求证:函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点; (2)若函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点,求实数m的取值范围. 解析    (1)证明:若m=0,则h(x)=f(x)-g(x)=x2-e-x. (1分) 因为y=x2,y=-e-x在(0,+∞)上都单调递增, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增. (3分) 因为h(x)的图象连续不断,且h(0)=-1<0,h(2)=4-e-2>0, (5分) 所以存在唯一的x0∈(0,2),使得h(x0)=0, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点. (7分) (2)设t=|g(x)|,作出函数t=|g(x)|的图象,如图所示: 第1讲　描述运动的基本概念   易得f(t)=t2-2mt+m-1,对于方程t2-2mt+m-1=0,Δ=(-2m)2-4(m-1)=4 +3>0恒成立,所以方程t2-2mt+m-1= 0必有两个不相等的实数根t1,t2,不妨设t1<t2. (9分) 若函数φ(x)=f(|g(x)|)恰有三个零点,则0<t1<1,t2≥1或t1=0,0<t2<1.(11分) 当0<t1<1,t2≥1时,若t2=1,则m=0,此时方程为t2-1=0,解得t=-1或t=1,舍去;若t2≠1,则 解 第1讲　描述运动的基本概念 得m>1. (13分) 当t1=0时,m=1,此时t2=2∉(0,1),不符合题意. (14分) 综上所述,实数m的取值范围为(1,+∞). (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx. (1)若k=2,求函数f(x)的零点; (2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2. ①求实数k的取值范围; ②证明:2< + <4. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当k=2时, f(x)=|x2-1|+x2+2x. (1分) 当|x|<1,即-1<x<1时, f(x)=1-x2+x2+2x=2x+1, 令f(x)=0,得x=- . (3分) 当|x|≥1,即x≥1或x≤-1时, f(x)=x2-1+x2+2x=2x2+2x-1,令f(x)=0,得x= (舍去)或x= . (5分) 综上,函数f(x)的零点为- 和 . (6分) (2)①当x∈(0,1)时, f(x)=1-x2+x2+kx=1+kx; 当x∈[1,2)时, f(x)=x2-1+x2+kx=2x2+kx-1. (7分) ∵f(x)在(0,2)上有两个不同的零点, ∴f(x)在(0,1)和(1,2)上各有一个零点或f(x)在[1,2)上有两个零点. (8分) 第1讲　描述运动的基本概念 当f(x)在(0,1)和(1,2)上各有一个零点时,∵f(0)=1,∴ ∴- <k<-1. (10分) 当f(x)在[1,2)上有两个零点时,由根与系数的关系得x1x2=- <0,与x1,x2∈[1,2)矛盾,舍去. (12分) 综上,实数k的取值范围是 . (13分) ②证明:不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,2), 则kx1+1=0,2 +kx2-1=0,∴k=- , ∴2 +kx2-1=2 - -1=0,整理,得2 x1-x2-x1=0, ∴ + =2x2. (15分) ∵x2∈(1,2),∴2x2∈(2,4),∴2< + <4. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知函数f(x)= +m. (1)若函数y=f(x)有4个零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),求证:x1x2x3x4=9; (2)是否存在非零实数m,使得函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上的值域为 ?若存在,求出m的取值范 围;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为函数f(x)= +m有4个零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),所以方程 +m=0有4个 不同的解x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4), (2分) 所以方程x- +2+m=0,- +m=0各有两个不同的解,即方程x2+(2+m)x-3=0,x2+(2-m)x-3=0各有两个 不相等的实数根, (5分) 所以x1x2x3x4=-3×(-3)=9. (7分) (2)当x>0时, f(x)= +m= (8分) 易知y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (9分) 当函数f(x)在[a,b]上不单调时,0<a<1<b,且f(1)=m= ,因为m≠0,所以a=2,与a<1矛盾. (11分) 第1讲　描述运动的基本概念 当1≤a<b时, 即  即  所以a,b是一元二次方程x2+(m+2)x-3-2m=0的两个不相等的实数根. 记g(x)=x2+(m+2)x-3-2m, 则 解得m<-6-2 . (13分) 当0<a<b≤1时, 即  第1讲　描述运动的基本概念 ①-②,得(ab+3+2m)(b-a)=0,即ab+3=-2m,又0<ab<1,所以3<ab+3<4,即-2m∈(3,4),所以m∈ , ①+②,得a+b= , 又ab=-(2m+3),所以 + = = ∈(2,+∞), 所以m<-4,与m∈ 矛盾,此时满足条件的实数m不存在. (16分) 综上,满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-6-2 ). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $