07-第7章 三角函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学三角函数单元复习课件系统涵盖三角函数定义、诱导公式、图像性质、恒等变换及实际应用，通过选择、填空、解答题等题型串联知识点，构建从基础概念到综合应用的逻辑知识网络。 其亮点在于融入“数学眼光、思维、语言”核心素养，如筒车问题引导学生用数学眼光观察现实，函数单调性与对称轴综合题培养逻辑推理思维，分层题型设计满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识巩固与应用能力。

第7章 三角函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=- ,则y=  （ ） A.1　    B.-1　    C.±1　    D.2          B 解析　根据题意可知 =- ,所以y=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知α为第三象限角,sin α=- ,则cos(π-α)+sin = （ ） A.0　    B.1　    C. 　    D.      C     解析　由题意得cos α=- =- , 所以cos(π-α)+sin =-2cos α= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.函数f(x)= 的图象大致为 （ ）  　       　          A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)= = =f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对 称,故排除C,D; 当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B. 第1讲　描述运动的基本概念 4.在一块顶角为 ,腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中,用电焊切割成扇形,现有如图所示的两种 方案,则 （ ）        A.方案一中扇形的弧长为 　    B.方案一中扇形的面积为  C.方案二中扇形的弧长为 　    D.方案二中扇形的面积为      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为△OAB是顶角为 ,腰长为2的等腰三角形, 所以A=B= ,AB边上的高为1,即AD=2,OM=ON=1, 所以方案一中扇形的弧长为2× = ,面积为 ×2× = ,故A,B错误; 方案二中扇形的弧长为1× = ,面积为 ×1× = ,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知函数f(x)=sin (ω>0),直线x= 是f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在 上单调,则ω=  ( ) A.2　    B.5　    C.6　    D.11     B 解析　当x∈ 时,ωx- ∈ ,又f(x)在 上单调,所以 - ≤ ,所以0<ω≤10. 因为直线x= 为f(x)图象的一条对称轴,所以 - = +kπ(k∈Z),解得ω=5+6k(k∈Z). 结合0<ω≤10,得ω=5. 第1讲　描述运动的基本概念 6. 已知函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,则[f(x)]2+ = ( ) A.5　    B.2　    C. 　    D.      D 解析　因为函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数, 所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,① f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,② 联立①②可得f(x)= (sin x+2cos x),所以f  =  = (cos x-2sin x), 因此[f(x)]2+ = (sin x+2cos x)2+ (cos x-2sin x)2= (sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+ (cos2x-4sin xcos x+4sin2x)= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,若g(x)=f(x)+1在 上有且仅有3个 零点,则ω的最小值为 （ ）   A. 　    B.3　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题图知, f(0)=2sin φ= ,即sin φ= , 又 <φ<π,所以φ= ,所以f(x)=2sin , 所以g(x)=2sin +1. 令g(x)=0,得sin =- . 因为 ≤x≤π,所以 + ≤ωx+ ≤ωπ+ . 因为g(x)=f(x)+1在 上有且仅有3个零点, 所以 解得 ≤ω≤3, 所以ω的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知函数f(x)=m2cos x-m·2x+1的图象和函数g(x)= -3的图象有唯一交点,则实数m= （ ） A.1　    B.3　    C.-1或3　    D.1或3     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得m2cos x-m·2x+1= -3有唯一解,即m2cos x-2m·(2x+2-x)+3=0有唯一解. 令h(x)=m2cos x-2m·(2x+2-x)+3, 则h(x)=0在R上有唯一解. 易知h(-x)=m2cos(-x)-2m·(2-x+2x)+3=m2cos x-2m·(2x+2-x)+3=h(x),∴h(x)为偶函数,∴h(x)=0的唯一解为x=0, ∴h(0)=0,即h(0)=m2cos 0-2m·(20+2-0)+3=0,所以m2-4m+3=0,解得m=1或m=3. 当m=1时,h(x)=cos x-2(2x+2-x)+3. 当x>0时,cos x≤1,2x+2-x>2,所以h(x)≤1-2(2x+2-x)+3=4-2(2x+2-x)<4-2×2=0, 又h(x)为偶函数,所以x=0是唯一解,符合题意. 当m=3时,h(x)=9cos x-6×(2x+2-x)+3. 当x>0时,cos x≤1,2x+2-x>2,所以h(x)≤9-6(2x+2-x)+3=12-6(2x+2-x)<12-6×2=0, 又h(x)为偶函数,所以x=0是唯一解,符合题意.综上,m=1或m=3. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)= sin +cos ,则下列说法正确的是（ ） A. f(x)= sin 　     B.函数f(x)的最大值为  C.函数f(x)的最小正周期是π　     D. f(x)在 上单调递增     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵cos =cos =cos  -  +x  =sin ,∴f(x)= sin ,故A不正确; 函数f(x)的最大值是 ,故B正确; 函数f(x)的最小正周期是2π,故C不正确; 当x∈ - ,  时,x+ ∈  ,  ⫋ , ∴函数f(x)在区间 - ,  上单调递增,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知θ∈ ,sin θ+cos θ= ,则下列结论正确的有 （ ） A.θ∈ 　    B.cos θ=  C.tan θ=- 　     D.cos θ-sin θ=      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对sin θ+cos θ= 的等号两边分别平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ= ,因为sin2θ+cos2θ=1,所以2 sin θcos θ=- <0,又θ∈ ,所以θ∈ ,sin θ<0,cos θ>0,故A正确. 易得(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+ = , 又cos θ-sin θ>0, 所以cos θ-sin θ= ,故D正确. 与sin θ+cos θ= 联立,解得sin θ=- ,cos θ= , 所以tan θ= =- ,故B错误,C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ,若x1,x2是关于x的方程f(x)=0的两个不同的解,且|x1-x2|的最小值 为 ,则下列说法正确的有（ ） A.ω=2 B.若直线x= 是f(x)图象的一条对称轴,则φ=  C.若f(x)在区间 内无最大值,则- <φ<  D.若φ≠0,则f(x)的图象在 内有且仅有一个对称中心     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设函数f(x)的最小正周期为T,易得 = ,即T=π,所以ω= = =2,所以f(x)=sin(2x+φ),易知A正确. 对于B,因为直线x= 是f(x)图象的一条对称轴,所以2× +φ=kπ+ (k∈Z),解得φ=kπ+ (k∈Z),又|φ|< ,所 以φ= ,故B正确. 对于C,当0<x< 时,φ<2x+φ< +φ. 因为f(x)在 内无最大值, 所以 ⊆ (k∈Z), 所以  第1讲　描述运动的基本概念 解得 +2kπ≤φ≤ +2kπ(k∈Z), 又|φ|< ,所以- <φ≤- ,故C错误. 对于D,因为φ≠0,所以φ∈ ∪ . 当0<x< 时,φ<2x+φ<π+φ. 当- <φ<0时, <π+φ<π,此时函数f(x)=sin(2x+φ)的图象有且只有一个对称中心. 当0<φ< 时,π<π+φ< ,此时函数f(x)=sin(2x+φ)的图象有且只有一个对称中心. 综上,当φ≠0时,函数f(x)的图象在 内有且仅有一个对称中心,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.将函数f(x)=tan 的图象向右平移 个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)的图象的对称中 心为________________.      (k∈Z) 解析　由题意得g(x)=f =tan =tan 2x.令2x= (k∈Z),得x= (k∈Z), 所以函数y=g(x)的图象的对称中心为 (k∈Z). 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知cos = ,则sin +sin =_______. 　-  解析　易知α+ - = , -α+ = , 所以sin +sin  =sin  +sin  =-cos -cos =- . 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知函数f(x)=sin 在 上单调递增,且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象 重合.若方程f(x)=- 在 上的解为x1,x2,则f(x1+x2)=_____.       第1讲　描述运动的基本概念 解析　设f(x)的最小正周期为T, 则 T≥ - = ,故T≥ . 因为f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,所以T=π,即 =π,解得ω=±2. 若ω=-2,则f(x)=sin =-sin , 当x∈ 时,2x- ∈ , 所以f(x)在 上单调递减,与题意不符. 若ω=2,则f(x)=sin , 当x∈ 时,2x+ ∈ , 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(x)在 上单调递增,满足要求. 综上, f(x)=sin . 当x∈ 时,2x+ ∈(π,2π),则由f(x)图象(图略)的对称性得 = ,所以x1+x2= , 所以f(x1+x2)=f  =sin =sin = . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(α)= . (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,分别求 和4sin2α-3sin αcos α的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(α)=  = =-tan α. (5分) (2)结合(1)知tan α=-2, 所以 = = =3, (9分) 4sin2α-3sin αcos α= = = = . (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与y轴交于点D,与x轴交于点B和点C,E是点 D关于点C的对称点,点B,E的横坐标分别为- , . (1)求ω的值,并求出曲线y=f(x)的对称轴方程以及函数f(x)的单调递减区间; (2)已知|OD|= ,求A的值和△BCD的面积.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为E是点D关于点C的对称点, 所以点C为线段DE的中点. 又点E的横坐标为 ,点D的横坐标为0, 所以C . (2分) 所以|BC|= - = , 设函数f(x)的最小正周期为T,则 = ,即T=π,所以ω=2. (4分) 取BC的中点F,则点F的横坐标为 = , 所以曲线y=f(x)的对称轴方程为x= kπ+ (k∈Z). (6分) 第1讲　描述运动的基本概念 易知点F关于点C对称的点的横坐标为2× - = , 所以函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z).(8分) (2)由题意得f =0,所以2× +φ=kπ(k∈Z), 又0<φ<π,所以φ= ,所以f(x)=Asin . (11分) 由|OD|= 得f(0)= ,所以Asin = ,解得A=1. (13分) 所以△BCD的面积为 |BC|·|OD|= × × = . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了 筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m, 轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈, 且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下,z为负数)表示为关于时间t(单位:min)的函数; (2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面 的高度相等,求时间t. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,   设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2, =sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角. 由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox= . (2分) 由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈, 第1讲　描述运动的基本概念 得∠P0OP= ×t=πt,则α=πt- , 则y=rsin α=4sin ,则z=4sin +2,t≥0.(5分) (2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ= . 设Q(xQ,yQ),则 =sin ,由(1)知,α=πt- , (7分) 所以yQ=4sin =4sin πt,又点P的纵坐标为y=4sin ,所以sin πt=sin , (10分) 则πt=πt- +2kπ或πt=π- +2kπ,k∈Z, 解得t=k+ ,k∈Z. 由盛水筒P和Q均在水面上方, 第1讲　描述运动的基本概念 得4sin πt>-2,即sin πt>- , (13分) 则2kπ- <πt<2kπ+ ,k∈Z,则t=2k+ ,k∈Z, 由t>0得t=2k+ ,k∈N. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程 +2asin -2a+2=0在 上有解,求实数a的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题图可得A=2,最小正周期T=4× =π,则ω= = =2,所以f(x)=2sin(2x+φ). (3分) 因为f  =2sin =2,所以sin =1, 所以 +φ= +2kπ,k∈Z,所以φ= +2kπ,k∈Z, 又因为|φ|< ,所以φ= , 所以f(x)=2sin . (6分) (2)由 +2asin -2a+2=0, 可得sin2 +2asin -2a+2=0, 即sin2 -2acos -2a+2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即1-cos2 -2acos -2a+2=0, 即cos2 +2acos +2a-3=0,其中x∈ . (10分) 因为x∈ ,所以 <2x+ <π, 令t=cos ,则t∈ ,t2+2at+2a-3=0, 则关于t的方程t2+2at+2a-3=0在 上有解. (13分) 由t2+2at+2a-3=0可得2a= , 令s=t+1,则s∈ ,t=s-1, 则2a= = -s+2, 第1讲　描述运动的基本概念 令h(s)= -s+2,s∈ , 因为函数y= ,y=2-s在 上均单调递减, 所以函数h(s)= -s+2在 上单调递减, 所以h(s)>h = , 所以2a> ,解得a> ,故实数a的取值范围是 .(17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f (x)与g(x)具有“m关联”性质. (1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围; (2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足: ①在[0,2a]上,当且仅当x= 时, f(x)取得最大值1; ②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0. 求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],则m的取值范围为[-2,2].  (2分) (2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x= 时, f(x)取得最大值1,f(x)是定义在R上的奇函数,所以在[-2a,0]上, 当且仅当x=- 时,f(x)取得最小值-1. (4分) 由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称. 易得f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x), 故2a为函数f(x)的周期,故f(x)∈[-1,1]. (8分) 易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1]. 当f(x)=1时,x= +2na,n∈Z, 当sin πx=1时,x= +2k,k∈Z, 第1讲　描述运动的基本概念 若 +2na= +2k,则a= ,k,n∈Z, 此时y1=sin πx+f(x)=2,取得最大值; (11分) 当f(x)=-1时,x=- +2pa,p∈Z, 当cos πx=1时,x=2t,t∈Z, 若- +2pa=2t,则a= ,t,p∈Z, 此时y2=cos πx-f(x)=2,取得最大值. (14分) 由于a= ≠ ,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4, 即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关 联”性质. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $