7.4 三角函数应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

7.4 三角函数应用 新课导入 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题. 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2.会用三角函数模型解决简单的实际问题. 新知学习 探究 一 函数中的几个量的物理意义 ［知识梳理］ 当物体做简谐运动（单摆、弹簧振子等）时,也是一种周期运动,其运动规律可以用三角函数表达为.那么函数,,中参数的物理意义如下： ［例1］ （对接教材例1）已知电流（单位：A）与时间（单位：）的关系为. （1） 如图所示的是，在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式； （2） 如果在任意一段的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？ 【答案】 （1） 【解】由题图知， 设，，则周期 . 所以 .又当 时，， 即， 而，所以.故所求的解析式为. （2） 依题意，周期，即，所以，又，故所求最小正整数. 利用三角函数处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. （2）明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率,振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. ［跟踪训练1］．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移单位：和时间单位：的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，，，所以， 又，所以， 则，由 可得 ，所以 ，，所以，， 故， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为. 二 三角函数在实际生活中的应用 ［例2］ （对接教材例2）近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点（此时离地面60米）.设点转动（单位：秒）后离地面的距离为（单位：米），则关于的函数关系式为. （1） 求的解析式； （2） 求叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于80米的时长. 【答案】 （1） 【解】 如图，建立平面直角坐标系，当 时，风车开始旋转时某叶片的一个端点 在风车的最低点，设为，则，由题意得，， 解得 所以. （2） 令，则，即， 所以，解得. 当 时，，， 所以叶片旋转一圈内点 离地面的高度不低于80米的时长为 秒. 解三角函数应用问题的基本步骤 ［跟踪训练2］． （1） 人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则此人每分钟心跳的次数为（ ） A. 50 B. 70 C. 90 D. 130 （2） 如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移单位：和时间单位：之间的函数关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.由题意得，此人每分钟心跳的次数为. （2） 依题意设， 则，周期，又， 解得，所以. 课堂巩固 自测 1．函数的振幅、初相位分别是 （ ） A. , B. , C. 3, D. 3, 【答案】B 【解析】选.函数 的振幅,相位是，当 时，初相位为. 2．（多选）如图所示是一个简谐运动的部分图象,则下列判断正确的是（ ） A. 该质点的运动周期为 B. 该质点的振幅为 C. 该质点在和时的振动速度最大 D. 该质点在和时的位移为零 【答案】AD 【解析】选.由题图可知,所以,振幅,当 或 时,,当 或 时,.故选. 3．已知某段电路中电流单位：随时间单位：变化的函数解析式是,，若时的电流为，则时的电流为_ _ _ _ _ _ A. 【答案】 【解析】由题意， 所以，又因为 ，所以,，所以 时的电流为 . 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温为；12月份的月平均气温为，则10月份的平均气温为_ _ _ _ . 【答案】20.5 【解析】据题意得，, 解得,， 所以 令,得. 1.已学习：（1）三角函数在物理中的应用. （2）三角函数在生活中的应用. 2.须贯通：掌握三角函数应用问题的4个步骤 （1）收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. （2）运用所学知识，选择函数模型进行拟合. （3）利用三角函数模型解决实际问题. （4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 3.应注意：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题. 课后达标 检测 A 基础达标 1．函数的最大值为,最小正周期为,初相为，则函数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由最小正周期为,排除，;由初相为,排除.故选. 2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的（ ） A. 甲 B. 戊 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】选.与乙点的位置相差 周期的点为丁点. 3．音叉是呈“”形的钢质或铝合金发声器（如图1）,各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定 的值为（ ） A. 200 B. 400 C. D. 【答案】D 【解析】选.由题图可得,,即,所以 .故选. 4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某商场的人流量满足函数,则在下列哪个时间段内人流量是增加的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由,,知函数 的单调递增区间为,.当 时,,而.故选. 5．（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是 （ ） A. 该函数的最小正周期是16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线 C. 该函数的解析式是 D. 该市这一天中午12时天气的温度大约是 【答案】ABD 【解析】选.由题图知，， 所以，. 因为，所以，正确； 因为，所以， 所以. 因为图象经过点， 所以， 所以.因为 ，所以， 所以,， 所以 正确，错误； 当 时，.故 正确. 6．港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化，曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间的最大水深单位：为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题图知最小值为2，故， 解得，故这段时间的最大水深为. 7．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移单位：与时间单位：的函数关系式为，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由已知得， 所以 ，，. 8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：米）在某天0至24时的变化情况，则水面高度关于时间的函数关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设， 由题图知，， 所以，得. 点 为“五点法”作图中的“第一点”， 故，得 ， 所以. 9．（13分）某实验室一天的温度单位：随时间单位：的变化近似满足函数关系：,. （1） 求实验室这一天的最大温差；（6分） （2） 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？（7分） 【答案】 （1） 解：因为, 又，所以, . 当 时，; 当 时，. 于是 在 上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为. （2） 依题意，当 时实验室需要降温，， 故有, 即. 又,因此, 即. 故在 至 实验室需要降温. B 能力提升 10．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为.每天潮涨潮落时，该港口水的深度单位：关于时间单位：的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由相邻两次高潮的时间间隔为，知，由，得，又由高潮时水深 和低潮时水深，得，.由题意知当 时，，故将，代入解析式 中，得，得，解得，所以该函数的解析式可以是. 11．（多选）如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为,,，下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题意，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅 且，可得，所以,正确； 又由筒车的轴心 距离水面的高度为，可得，所以 错误； 根据题意，当 时，，即， 可得，所以 正确.故选. 12．函数,2,3, ,为月份，近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则当_ _ _ _ 时，游客流量最大. 【答案】8 【解析】因为,2,3, ,，所以, ,,,,,, ,,,,，所以当 ，即 时，取得最大值1，所以当 时，取得最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以当 时，游客流量最大. 13．（15分）某“花式风筝冲浪”集训队在一海滨浴场进行集训，在海滨区域的某个观测点观测到该处水深（单位：米）随着一天的时间，单位：时呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 （1） 根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（7分） （2） 为保证队员安全，规定在一天中5至18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？（8分） 【答案】 （1） 解：根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选 作为函数模型，所以， ，， 所以， 所以， 又因为函数图象过点， 即， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. （2） 由（1）知，， 令，即， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以 或， 所以这一天安排在5时至7时以及11时至18时组织训练，能确保集训队员的安全. 学科网（北京）股份有限公司 $