06-第6章 幂函数、指数函数和对数函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了幂函数、指数函数和对数函数的概念、图像、性质及综合应用，通过典型例题将函数单调性、奇偶性、反函数等核心内容串联，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层练习设计，如通过函数图像恒过点问题（第1题）巩固概念，结合不等式解集整数解个数（第11题）培养数学思维，助力学生提升运算能力与应用意识，教师可据此精准实施分层教学，有效提升复习效率。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知函数f(x)=loga(2x-m)+n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,2),则2m-n= （ ） A.0　    B.1　     C.2　    D.4     A     解析　由题意得 解得 所以2m-n=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是 （ ） A.a<b<c　    B.c<b<a　     C.c<a<b　    D.b<c<a     C     解析　∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0,∴c<a<b. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知函数f(x)= 则f(1-x)的图象是 （ ）  A　     B  C　     D     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(x)= 得f(1-x)=  当x=0时, f(1-0)=2,则f(1-x)的图象过点(0,2),故排除A,B;当x≥0时, f(1-x)=21-x>0,故排除C. 第1讲　描述运动的基本概念 4.若函数f(x)与g(x)=( - )x互为反函数,则f(4-x2)的单调递增区间是 （ ） A.(0,2)　     B.(-2,0)　     C.(0,+∞)　    D.(-∞,0)     A     解析　由题意得, f(x)=lo x. 设t=4-x2,t>0,则原函数为f(t)=lo t. 易知f(t)在(0,+∞)上单调递减,所以要使函数f(4-x2)单调递增,需使t=4-x2单调递减. 易知函数t=4-x2的单调递减区间为(0,+∞). 由4-x2>0,解得-2<x<2, 所以函数f(4-x2)的单调递增区间是(0,2). 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知函数f(x)=ex+e-x+lg|x|,则不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为 （ ） A.(0,2)　    B. ∪ 　     C.(0,3)　    D. ∪      B     解析    ∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=e-x+ex+lg|-x|=ex+e-x+lg|x|=f(x),∴f(x)为偶函数. 当x>0时, f(x)=ex+e-x+lg x,令t=ex(x>0),则t>1, 由y=t+ 的图象知,函数y=t+ 在(1,+∞)上单调递增,且t=ex是增函数,∴函数f(x)=ex+e-x+lg|x|在(0,+∞)上单 调递增,因此,由不等式f(x+1)>f(2x-1)得|x+1|>|2x-1|,且x+1≠0,2x-1≠0,解得0<x< 或 <x<2, 即不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知x3-y3<2-x-2-y,则下列结论中正确的是 （ ） A.ln >0　     B.ln(y-x+1)>0　     C.ln|y+x|>0　    D.ln|y-x|>0     B     解析　由x3-y3<2-x-2-y,得x3-2-x<y3-2-y. 令f(x)=x3-2-x,则f(x)<f(y). 因为y=x3在R上为增函数,y=2-x在R上为减函数, 所以f(x)在R上为增函数,所以y>x. 对于A,取y=1,x=-2,则ln <0,故A错误. 对于B,由y>x得y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,故B正确. 对于C,取y=1,x=-2,则ln|y+x|=0,故C错误.对于D,取y=1.1,x=1,则ln|y-x|<0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)= 若存在x2>x1>0,使得f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)的取值范围是 （ ） A. 　    B.  C.[4,+∞)　    D. ∪[4,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当0<x1<x2<1时, f(x2)=2f(x1)∈(0,1), 所以f(x1)∈ ,即 ∈ ,所以x1∈ , 此时x1·f(x2)=2x1·f(x1)=2 , 因为y=x3在 上单调递增, 所以x1·f(x2)=2 ∈ . 当0<x1<1≤x2时, f(x1)= ∈(0,1), f(x2)= ∈[2,+∞),所以f(x2)>2f(x1),故不存在0<x1<1≤x2,使得f(x2)=2f(x1). 当1≤x1<x2时, f(x1)= , 若f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)=2x1·f(x1)=2x1· , 令g(x)=2x·2x,x∈[1,+∞),易知g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=4,即x1·f(x2)∈[4,+∞). 综上所述,x1·f(x2)的取值范围是 ∪[4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知函数f(x)=log2x(x≥2),若方程f(4x+1)-f(k·2x+k)=x有唯一的实数根,则实数k的取值范围为 （ ） A.{k|k=1}　     B.{k|k> } C.{k|k> 或k<1}　    D.{k|k> 或k<0}     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(x)的定义域为[2,+∞),所以4x+1≥2,解得x≥0,所以f(4x+1)的定义域为[0,+∞). 由 得k≥ 在[0,+∞)上恒成立. 因为y= 在[0,+∞)上单调递减, 所以当x=0时,ymax=1,所以k≥1. 因为f(4x+1)-f(k·2x+k)=x, 所以log2(4x+1)-log2(k·2x+k)=x=log22x, 所以 =2x,即(k-1)(2x)2+k·2x-1=0. 令t=2x(x∈[0,+∞)),则t≥1,(k-1)t2+k·t-1=0在[1,+∞)上有唯一的实数根. 令g(t)=(k-1)t2+k·t-1,t∈[1,+∞). 当k=1时,令g(t)=0,得t=1,即2x=1,解得x=0,符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 当k>1时,Δ=k2+4(k-1)>0,对称轴方程为t= =- - <- ,所以g(t)在[1,+∞)上单调递增,所以只需 g(1)=2k-2≤0,解得k≤1,又k>1,所以此时无解. 综上,实数k的取值范围是{k|k=1}. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若函数f(x)对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有  ≤f  ,则称f(x)具有性质M.下列函数中,具有 性质M的有 （ ） A. f(x)= 　     B. f(x)=ex C. f(x)=ln x　    D. f(x)=-      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有  ≤f  ,故函数图象可能是上凸的,此时  <f  ,如图①所示,   也可能是一条直线,此时  =f  . 依次画出各选项中的函数图象,分别如图②③④⑤所示, 第1讲　描述运动的基本概念            根据图象知,A,C,D满足条件. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知函数f(x)=lg (x≠0),则 （ ） A.其图象关于y轴对称 B.f(x)的最小值是lg 2 C.当x>0时,f(x)是增函数 D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=lg =lg =f(x),所以函数f(x)为偶 函数,其图象关于y轴对称,故A正确. 当x>0时, f(x)=lg =lg . 设t=x+ ,x>0,则t≥2 =2,当且仅当x= ,即x=1时,等号成立, 又t=x+ 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,函数y=lg t在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单 调递减,在(1,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,故C错 误,D正确. 当x=±1时, f(x)取得最小值,为f(-1)=f(1)=lg 2,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.定义:N{f(x)􀱋g(x)}表示f(x)<g(x)的解集中整数解的个数.若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x-1)2+2,则下列说法正 确的是 （ ） A.当a>0时,N{f(x)􀱋g(x)}=1 B.当a=0时,不等式f(x)<g(x)的解集是  C.当a=0时,N{f(x)􀱋g(x)}=4 D.当a<0时,若N{f(x)􀱋g(x)}=1,则实数a的取值范围是(-∞,-1]     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　根据题意,得N{f(x)􀱋g(x)}表示不等式|log2x|<a(x-1)2+2的解集中整数解的个数. 当a>0时,作出y=f(x)和y=g(x)的图象,如图1所示,   由图可知, f(x)<g(x)的解集中整数解有无数多个,故A错误. 当a=0时,g(x)=2,由f(x)=|log2x|<2,可得-2<log2x<2,解得 <x<4,所以f(x)<g(x)的解集为 ,有3个整数解, 故B正确,C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 当a<0时,作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图2所示,   若N{f(x)􀱋g(x)}=1,即|log2x|<a(x-1)2+2的整数解只有一个,则只需满足 即 解得a ≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1],故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f(x)=log2 +b是奇函数,则a+b=___. 　-5 解析　要使函数有意义,需满足2+ >0. 若a≥0,则解不等式得 ∪(-1,+∞),不关于原点对称,故原函数不可能为奇函数. 若a<0,则解不等式得(-∞,-1)∪ . 因为f(x)为奇函数,所以- +(-1)=0,解得a=-4. 由f(x)为奇函数,得f(x)+f(-x)=log2 +b+log2 +b=2+2b=0,解得b=-1, 所以a+b=-5. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知实数p,q满足2p+p=5,log2 +q=1,则p+2q=_____.     3 解析　由2p+p=5,得2p=5-p. 由log2 +q=1,得 log2(q+1)+q=1,即log2(q+1)+2q=2,所以log2(q+1)+1+2q=3,所以log2(2q+2)+2+2q=5, 即log2(2q+2)=5-(2+2q). 所以方程2p=5-p的解即为y=2x,y=5-x的图象交点的横坐标,方程log2 +q=1的解即为y=log2x,y=5-x的 图象交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=5-x的图象,如图所示.   第1讲　描述运动的基本概念 因为y=2x,y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,所以y=x,y=5-x图象的交点即为y=2x,y=5 -x图象的交点和y=log2x,y=5-x图象的交点所连线段的中点. 联立 得x=y= ,所以p+2q+2=5,所以p+2q=3. 第1讲　描述运动的基本概念 14.记max{a,b}表示a,b二者中较大的一个,函数f(x)=-x2-7x-5,g(x)=max{31-x,log3(x+2)},若∀x1∈[a-1,a+1], ∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是___________.     [-5,-2] 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,所以f(x)在[a-1,a+1]上的值域为g(x)在[0,+ ∞)上的值域的子集. 易知y=31-x在R上单调递减,y=log3(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,当x=1时,31-x=log3(x+2)=1,故g(x)=   则g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故g(x)在[0,+∞)上的最小值为g(1)=1, 即g(x)在[0,+∞)上的值域为[1,+∞). f(x)=-x2-7x-5= + ≤ , 令f(x)=-x2-7x-5=1,则x2+7x+6=(x+1)(x+6)=0,则x=-1或x=-6, 因为f(x)在[a-1,a+1]上的值域为[1,+∞)的子集, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得-5≤a≤-2, 即a的取值范围是[-5,-2]. 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,(x-1)g(x)=2f(x)+6. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x∈(2,9)时,求函数g(x)的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1, 解得m=-1或m=2.(3分) 因为f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以m>0,所以m=2, (5分) 所以f(x)=x2. (6分) (2)当x∈(2,9)时,结合(1)得,g(x)= = =2(x-1)+ +4. (8分) 令t=x-1,则h(t)=2 +4,t∈(1,8). (9分) 由对勾函数的图象与性质可知,h(t)在(1,2)上单调递减,在(2,8)上单调递增, (11分) 又h(1)=14,h(8)=21,h(2)=12,所以t∈(1,8)时,h(t)∈[12,21),即函数g(x)的值域为[12,21). (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知函数f(x)=log2(9x-4×3x+1+43),g(x)=x2-2mx+log27. (1)求不等式f(x)≤4的解集; (2)设函数h(x)=g(x)-log27,若存在实数x,使得h(4-x)=-h(4x)成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知9x-4×3x+1+43=(3x-6)2+7>0, 所以函数f(x)的定义域为R. (1分) 因为y=log2x在定义域内单调递增, 所以由f(x)=log2(9x-4×3x+1+43)≤4=log216,得9x-4×3x+1+43≤16,即(3x)2-12×3x+27≤0, (4分) 所以3≤3x≤9,所以1≤x≤2, 故不等式f(x)≤4的解集为{x|1≤x≤2}. (6分) (2)由题意得h(x)=x2-2mx. (7分) 因为存在实数x,使得h(4-x)=-h(4x)成立,即(4-x)2-2m·4-x=- +2m·4x成立,所以方程2m= =  =4-x+4x- 有实数解. (9分) 令s=4-x+4x≥2 =2,当且仅当4-x=4x,即x=0时,等号成立,所以方程2m=s- ,s≥2有实数解. (11分) 第1讲　描述运动的基本概念 易知函数y=x和y=- 在[2,+∞)上均单调递增, 所以y=x- 在[2,+∞)上单调递增, 所以s- ≥2- =1, (13分) 所以2m≥1,解得m≥ , 故实数m的取值范围为 . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)为了保护环境,污水进入河流前都要进行净化处理.某市工业园区某工厂的污水先排入净化 池,然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出,在一定范围内,每放入1个单位的净化剂,在污水中释 放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的函数关系式近似为y= 若多次 加入净化剂,则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和.由实验知,当净化剂在污水中释放的浓度不低于4毫克/立方米时,它才能起到净化污水的作用. (1)当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度是多少? (2)若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达几小时?(结果精确到0.1,参考 数据:lg 2≈0.3,lg 17≈1.23) (3)若第一次投放1个单位的净化剂,3小时后再投放2个单位的净化剂,设第二次投放t小时后污水中净化 剂浓度为g(t)毫克/立方米,其中0<t≤3,求g(t)的表达式和g(t)的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x=4时,y= =6,所以当投放1个单位的净化剂4小时后,净化剂在污水中释放的浓度为6 毫克/立方米. (3分) (2)当0≤x≤3时,令4(2x+1)≥4,得2x≥0,恒成立. (5分) 当x>3时,令4× ≥4,得2x-3+1≤18,则x-3≤log217= ≈ =4.1,所以3<x≤7.1.(8分) 综上,当0≤x≤7.1时,净化剂能起到净化污水的作用. 所以若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用,则净化时间约达7.1小时. (10分) (3)g(t)= +2(2t+1)= +2(2t+1),0<t≤3. (12分) 因为2t+1>0,所以 +2(2t+1)≥2 =12,当且仅当 =2(2t+1),即t=1时取等号,所以g(t)的 最小值为12. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知函数f(x)= . (1)求函数y=f(2x)-f(x),x∈[0,1]的值域; (2)若不等式f(2x)≤kf(x)在x∈R上恒成立,求实数k的取值范围; (3)当x∈[-ln a2,-ln b2](a>b>0)时,函数g(x)=mf(x)+1的值域为[2-3a,2-3b],求正数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)y=f(2x)-f(x)= - =- + =- + , (2分) 当x∈[0,1]时,ex∈[1,e],所以 ∈ , (3分) 所以当 = ,即x=ln 2时,ymax= ;当 =1,即x=0时,ymin=0,所以函数y=f(2x)-f(x)在x∈[0,1]上的值域为 .  (5分) (2)f(2x)≤kf(x)即 ≤k· ,整理得(ex+1)(ex-1)≤kex(ex-1).(6分) 当x=0时,k∈R; (7分) 当x>0时,ex-1>0,则k≥ =1+ 恒成立, 因为y=1+ 在(0,+∞)上单调递减,所以y=1+ 在(0,+∞)上的值域为(1,2),所以k≥2; (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 当x<0时,ex-1<0,则k≤ =1+ 恒成立, 因为y=1+ 在(-∞,0)上单调递减,所以y=1+ 在(-∞,0)上的值域为(2,+∞),所以k≤2. (11分) 综上,实数k的取值范围为{2}. (12分) (3)g(x)=mf(x)+1=m +1=m+1- . 当m>0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以 即  所以a,b是关于x的方程m+1-mx2=2-3x,即mx2-3x+(1-m)=0的两个不相等的正实数根, (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得0<m<1, 所以正数m的取值范围为(0,1). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)若存在实数对(a,b),使等式f(x)·f(2a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立,则称函数f(x)为(a,b)型 函数. (1)若函数f(x)=2x是(a,1)型函数,求a的值; (2)若函数g(x)= 是(a,b)型函数,求a和b的值; (3)已知在[-2,4]上,h(x)恒大于0,且为(1,4)型函数,当x∈(1,4]时,h(x)=- +m·log2x+2.若h(x)≥1在[-2,4] 上恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由f(x)=2x是(a,1)型函数,得f(x)·f(2a-x)=2x·22a-x=1,即22a=1,即2a=0,所以a=0. (3分) (2)由g(x)= 是(a,b)型函数,得g(x)·g(2a-x)= · =b,则 + =ln b,因此x2ln b-2axln b+2a=0对定义域 {x|x≠0}内任意x恒成立, (5分) 于是 解得a=0,b=1. (7分) (3)由h(x)是(1,4)型函数,得h(x)·h(2-x)=4. ①当x=1时,h(1)·h(1)=4,又h(x)>0,所以h(1)=2,满足h(x)≥1; (9分) ②当x∈(1,4]时,h(x)=-(log2x)2+m·log2x+2≥1恒成立,令log2x=t,则t∈(0,2],-t2+mt+2≥1恒成立,于是m≥t-  恒成立,又函数y=t- 在(0,2]上单调递增,所以t- ≤ ,当且仅当t=2时取等号,因此m≥ ; (12分) ③当x∈[-2,1)时,2-x∈(1,4], 第1讲　描述运动的基本概念 则h(x)= = , 由h(x)≥1,得0<- +m·log2(2-x)+2≤4, 令log2(2-x)=u,则u∈(0,2],0<-u2+mu+2≤4, 由②知-u2+mu+2≥1,则只需u∈(0,2]时,-u2+mu+2≤4恒成立,即u∈(0,2]时,m≤ +u恒成立, 又u+ ≥2 =2 ,当且仅当u= 时取等号,因此m≤2 . (15分) 所以实数m的取值范围是 . (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $