6_2 指数函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（苏教版2019）

　　一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R. 6.2 指数函数 知识点 1 指数函数的概念 必备知识 清单破 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 指数函数的图象与性质 指数函数 y=ax(a>0,a≠1) a>1 0<a<1 图象     第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 性质 定义域:R 值域:(0,+∞) 图象过定点(0,1),图象在x轴的上方 增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 减函数; 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 　　注意:指数函数y=ax与y= (a>0,a≠1)的图象关于y轴对称. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    指数函数y=ax(a>0,a≠1)的底数a对图象相对位置的影响:①在y轴右侧,图象从上 到下相应的底数由大变小,即“底大图高”;②在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变 大,即“底大图低”. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.平移变换(a>0,a≠1) (1)左右平移:把y=ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax-b的图象;把y=ax的图象向左平 移b(b>0)个单位长度,得到y=ax+b的图象. (2)上下平移:把y=ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax+b的图象;把y=ax的图象向下 平移b(b>0)个单位长度,得到y=ax-b的图象. 2.对称变换(a>0,a≠1) (1)函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称. (2)函数y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称. (3)函数y=ax与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 知识点 3 指数函数图象的变换 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.函数y=-2x,y=2x+1是不是指数函数? 2.指数函数的图象在坐标平面内分布在什么位置? 3.对于指数函数y=ax(a>0,a≠1),底数与其图象有什么关系? 4.函数y=-2x,y=2x+1的图象可由y=2x的图象经过怎样的变换得到? 知识辨析 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.都不是.指数函数解析式的结构特点:①底数a是满足a>0,且a≠1的常数;②指数位置只能是 x;③ax的系数为1.y=-2x中2x的系数为-1,不是1,y=2x+1中指数位置不是x. 2.在x轴的上方. 3.①当0<a<1时,图象“下降”,当a>1时,图象“上升”;②由y=ax的图象与直线x=1相交于点(1, a)可知,在y轴右侧,图象从下往上对应的底数由小变大. 4.函数y=-2x的图象可由y=2x的图象关于x轴对称得到,函数y=2x+1的图象可由y=2x的图象向左平 移1个单位长度得到. 一语破的 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性进行判断. (2)底数不同,指数相同:①利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断;②利用幂函 数的单调性进行判断. (3)底数不同,指数不同:通过中间量(常用0或1)来比较. 　　注意:对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较,可先根据与特殊值(常用0或1)的大小比较 进行分组,再比较各组数的大小. 关键能力 定点破 定点 1 比较指数幂的大小 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 已知a= ,b= ,c=1,则a,b,c的大小关系是 (　    ) A.a>b>c　    B.b>a>c C.c>b>a　    D.c>a>b 典例1 解析：    b= = = , ∵幂函数y= 在(0,+∞)上单调递增,且 > ,∴ > ,即a>b. 又∵指数函数y= 在R上单调递减,且 >0,∴ < =1,即a<c. ∴a,b,c的大小关系是c>a>b.故选D. D 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 (多选)设a= ,b= ,则下列说法中正确的是 (　    ) A.a>b　     B.2a<2b C. <a2+b2<2　    D. + 的最小值为2 典例2 思路点拨    根据a,b两式的特征构造函数,利用常数分离法拆解分式函数,判断其单调性. AC 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    根据题意可构造函数f(x)= , 则f(x)= = + , 因为函数y=2x+1在R上恒正且单调递增, 所以y= 在R上恒正且单调递减, 所以f(x)在R上单调递减. 对于A,因为2 022<2 023,所以f(2 022)>f(2 023)>0,即a>b,故A正确; 对于B,因为a>b,且y=2x在R上单调递增,所以2a>2b,故B错误; 对于C,因为 <a<1, <b<1, 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 所以 <a2<1, <b2<1,两式相加,得 <a2+b2<2,故C正确; 对于D,因为a>0,b>0,所以 + ≥2 =2, 当且仅当a=b时取等号,又a≠b,所以 + ≠2,故D错误.故选AC. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.指数方程的解法 (1)对于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指数方程,通常将方程两边化为同底数幂的形式,用指数相等 进行求解. (2)解复杂的指数方程时,常用换元法转化为解一元二次方程.用换元法时要特别注意“元” 的范围,用一元二次方程求解时,要注意对一元二次方程根的取舍. 2.简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解; (2)形如af(x)>b的不等式,可将b化成以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解; (3)形如ax>bx的不等式,可借助函数y=ax,y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的图象求解. 定点 2 解指数方程或指数不等式 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　解下列关于x的方程或不等式: (1)22x+2+3×2x-1=0; (2) ≤2; (3) < (a>0且a≠1). 典例 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析 ：   (1)∵22x+2+3×2x-1=0, ∴4×(2x)2+3×2x-1=0. 令t=2x,则t>0,原方程可化为4t2+3t-1=0, 解得t= 或t=-1(舍去),∴2x= ,解得x=-2. (2)∵2= ,∴原不等式可化为 ≤ .∵y= 在R上是减函数, ∴3x-1≥-1,解得x≥0, 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (3)当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数,∴x2-3x+1>x2+6,∴-3x>5,解得x<- ; 当a>1时,函数y=ax在R上是增函数, ∴x2-3x+1<x2+6,∴-3x<5,解得x>- . 综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为 ;当a>1时,原不等式的解集为 . 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.求与指数函数有关的函数的定义域时,要观察函数是y=af(x)(a>0,a≠1)型还是y=f(ax)(a>0,a≠ 1)型. (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同. (2)求函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定义域,先令u=ax(u>0),然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax的值 域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值集合,即y=f(ax)的定义域. 2.求与指数函数有关的函数的值域时,重点要注意指数函数的值域为(0,+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax(a>0,a≠1)的单 调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的值域,先令u=ax(u>0),然后利用函数u=ax的单调性确定其值域, 进而确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域. 定点 3 与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 　求下列函数的定义域和值域: (1)y= ; (2)y= ; (3)y=4x+2x+1+1; (4)y= (a>0且a≠1). 典例 思路点拨    (1)利用被开方数非负得到1-3x+2的范围,结合指数函数的性质求出x及y的范围,即 得函数的定义域和值域. (2)求出x2-2x-3的取值范围,利用指数函数的性质求值域. (3)令2x=t(t>0),通过换元转化为二次函数,求值域. (4)由ax>0知ax+1>0恒成立,从而得定义域为R,利用换元法或反表示法求值域. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意,得1-3x+2≥0,解得x≤-2,∴函数的定义域为(-∞,-2],又3x+2>0, ∴0≤1-3x+2<1,∴0≤y<1, ∴函数的值域为[0,1). (2)由题意知函数y= 的定义域为R. ∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, ∴ ≤ =16, 又 >0,∴函数y= 的值域为(0,16]. (3)函数的定义域为R. 令2x=t(t>0),则y=4x+2×2x+1=t2+2t+1=(t+1)2. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 ∵t>0,∴y>1,∴函数的值域为(1,+∞). (4)由ax>0知ax+1>0恒成立,∴函数的定义域为R. 解法一:设ax=t,则t∈(0,+∞),y= =1- .∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1, ∴-2< <0,∴-1<1- <1,∴-1<y<1, ∴函数的值域为(-1,1). 解法二:由y= (a>0且a≠1),得ax=- .∵ax>0,∴- >0,解得-1<y<1, ∴函数的值域为(-1,1). 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.形如y=af(x)(a>0,a≠1)的函数的单调性的判断方法 (1)当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间; (2)当0<a<1时,函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2.形如y=f(ax)(a>0,a≠1)的函数的单调性的判断方法 　　通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的 单调区间,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性. 定点 4 与指数函数有关的函数的单调性 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 求下列函数的单调区间: (1)y= ; (2)y= ; (3)y= -8 +17. 典例 思路点拨    先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律求解. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令u= (x≠2),则y= . 易知u= 在(-∞,2)和(2,+∞)上单调递增, 又y= 在定义域上单调递减, 所以函数y= 的单调递减区间为(-∞,2)和(2,+∞),无单调递增区间. (2)令u=-x2-2x+3,则y=2u. 由二次函数的性质可知,函数u=-(x+1)2+4在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减, 又y=2u在定义域上单调递增, 所以函数y= 的单调递增区间为(-∞,-1],单调递减区间为[-1,+∞). 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设u= ,则y=u2-8u+17(u>0),根据二次函数的性质知,该函数在(0,4]上单调递减,在[4,+∞) 上单调递增. 令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8  +17的单调递增区间是[-2,+∞). 令 ≥4,得x≤-2,∴y=  -8  +17的单调递减区间是(-∞,-2]. 易错警示    由y=f(u)及u=g(x)的单调性来解决函数y=f(g(x))的单调性问题时,应将y=f(u)的中 间变量u的取值范围转化为x的取值范围,进而得到函数y=f(g(x))的单调区间,解题时注意不要 将中间变量u的取值范围作为函数y=f(g(x))的单调区间. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 第6章　幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$