第7章 12-思想方法练6(同步精练)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数专题，系统呈现函数与方程、数形结合、分类讨论等五种数学思想的应用，通过例题解析衔接三角函数图像性质与实际问题，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于以具体实例（如摩天轮高度模型、扇环面积最值）为载体，运用数学思维分析问题、数学语言表达规律，帮助学生形成系统解题方法。学生能提升逻辑推理与建模能力，教师可借助思想方法总结优化教学效率。

第7章 三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练6 第1讲　描述运动的基本概念 一、函数与方程思想在三角函数中的应用 1.函数f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f =     ( ) A. 　　    B.- 　　    C.1　　    D.-1     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　记f(x)的最小正周期为T.由题图可知 T= - = ,所以T=π, (列出有关最小正周期T的方程,求出T的值,进而得到ω的值) 因此 =π,所以ω=2. 根据五点作图法可得 ×2+φ= , (结合五点作图法列出关于φ的方程,求出φ的值) ∴φ= ,符合|φ|< ,因此f(x)=2sin 2x+  ,∴f =2sin - +  =2sin =2sin =-2sin  =-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南京金陵中学月考]如图,有一个扇环形花圃ABCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍,周 长为定值2l,圆心角为α(0<α<π). (1)当α=2时,求弧 的中点E到弦BC的距离; (2)当α为多少弧度时,扇环面积最大?并求出最大面积.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设内圆弧的半径为r,则AB=CD=OA=OD=r,所以 =rα, =2rα, (利用条件列出内圆弧半径r与周长2l的方程,进而用l表示r) 所以rα+2rα+2r=2l,则r= . 因为α=2,所以r= = = . 连接OE(图略),交BC于点F, 则OE⊥BC,∠BOE= ∠BOC=1,所以OF= ·cos 1,所以EF=OE-OF=2r- cos 1 = (1-cos 1),即点E到弦BC的距离为 (1-cos 1). (2)由(1)得r= , (构建面积S关于α的函数关系式,结合基本不等式求解函数的最值) 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD= ×2rα×2r- ×rα×r= αr2= ≤ = ,当且仅当9α= ,即α= 时 取等号,所以当α为 时,扇环面积最大,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在本章中,研究三角函数的有关问题时,将条件化为等式或者函数式,通过方程或函数的知 识求解,是一种常见的方法. 第1讲　描述运动的基本概念 二、数形结合思想在三角函数中的应用 3.[2025浙江浙南名校联盟联考]已知函数f(x)= sin(ωx+φ)-1(ω>0),若对于任意的实数φ, f(x)在区间  上的图象与x轴至少有2个交点,至多有3个交点,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　     B.[4,5)　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令f(x)=0,得sin(ωx+φ)= . 令t=ωx+φ,则sin t= ,当x∈  ,  ,ω>0时,t∈ , 所以原问题转化为sin t= 在区间 上至少有2个解,至多有3个解,即函数y=sin t的图象 与直线y= 在区间 上至少有2个交点,至多有3个交点.  作出函数y=sin t的图象及直线y= ,利用图象研究满足的条件  在同一平面直角坐标系中作出y=sin t的图象与直线y= ,如图所示. 第1讲　描述运动的基本概念   由图可知,2π≤ - < ,解得4≤ω<5. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025山东枣庄期末]已知函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|,下列说法正确的是( ) A.f(x)是以2π为周期的函数 B.当且仅当x=2kπ+ ,k∈Z时,函数取得最小值-  C. f(x)图象的对称轴为直线x= +2kπ,k∈Z D.当2kπ+π<x<2kπ+ ,k∈Z时,- ≤f(x)<0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x| =  =  f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+cos x+|sin x-cos x|=f(x),故A正确. 作出y=f(x)的图象,如图, 第1讲　描述运动的基本概念   (由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质) 由图可知,当且仅当x=2kπ+ ,k∈Z时, f(x)min=- ,故B正确. 由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x= +kπ,k∈Z,故C不正确. 由图可知,当2kπ+π<x<2kπ+ ,k∈Z时, f(x)单调递减,当2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z时, f(x)单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(x)min=f  =- , 又f(2kπ+π)=f  =0, 所以- ≤f(x)<0,故D正确. 思想方法　解决与三角函数有关的问题时,常通过数形结合实现函数图象与性质的结合,如利用图象解 三角不等式、解决方程的根的问题. 第1讲　描述运动的基本概念 三、分类讨论思想在三角函数中的应用 第1讲　描述运动的基本概念 5.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),设T为函数f(x)的最小正周期, f = ,且函数f(x)在(π,2π)上单调,则ω 的取值范围为___________________.      ∪  第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为ω>0,所以T= , f =f =sin =cos φ= ,又0<φ<π,所以φ= ,所以f(x)=sin . 若f(x)=sin 在(π,2π)上单调递增,则 k∈Z,即2k- ≤ω≤k+ ,k∈Z,需满足2k-  ≤k+ ,k∈Z,所以k≤ ,k∈Z,而ω>0,故k=0,则0<ω≤ ; 若f(x)=sin 在(π,2π)上单调递减,则 k∈Z,即2k+ ≤ω≤k+ ,k∈Z,需满足2k+  ≤k+ ,k∈Z,所以k≤ ,k∈Z,而ω>0,故k=0,则 ≤ω≤ . 综上所述,ω的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山东菏泽期中]已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与y轴的交点为(0,- ),它在y轴 右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和 . (1)求函数y=f(x)的表达式及x0的值; (2)已知a,b∈R,若函数y=af(x)+b,x∈ 的值域为[0,3],求a,b的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设f(x)的最小正周期为T. 由题意得,A=2, = = ,所以ω=2. 又 f(0)=Acos φ=2cos φ=- , 所以cos φ=- , 因为|φ|<π,所以φ= 或φ=- . 当φ=- 时, f(x)=2cos , 由2cos =2,得cos =1,得x=kπ+ (k∈Z), 当k=0时,x= ,即x0= . 第1讲　描述运动的基本概念 同理,当φ= 时, f(x)=2cos ,此时函数图象在y轴右侧的第一个最低点的坐标为 ,第一个 最高点的坐标为 ,不合题意. 综上, f(x)=2cos ,x0= . (2)当x∈ 时,2x- ∈ ,所以-2≤2cos ≤1,即-2≤f(x)≤1.  函数y=af(x)+b,x∈ 的值域与a的取值有关,所以需对a分小于0、等于0、大于0三种情况进行讨 论  当a=0时,y=b,与题意不符,舍去. 当a>0时,y∈[-2a+b,a+b], 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得  当a<0时,y∈[a+b,-2a+b], 所以 解得  综上,a=1,b=2或a=-1,b=1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏徐州检测]已知函数f(x)=(ex+ke-x)·sin x,x∈R. (1)若函数f(x)为偶函数,求实数k的值; (2)当k=0且x∈[-2π,2π]时,解不等式f(x)+f(-x)>0. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)为偶函数, 所以f(-x)=(e-x+kex)sin(-x)=-(e-x+kex)sin x=f(x),即(ex+ke-x+e-x+kex)·sin x=0对任意的x∈R恒成立, 所以(k+1)(ex+e-x)=0, 所以k+1=0,解得k=-1. (2)当k=0时, f(x)=exsin x,则f(x)+f(-x)=exsin x+e-xsin(-x)=exsin x-e-xsin x=(ex-e-x)sin x>0. (对x的取值分段讨论,从而确定sin x的符号,进而简化不等式) 当x=-2π,-π,0,π,2π时,sin x=0,原不等式的解集为⌀; 当x∈(0,π)时,sin x>0,所以由(ex-e-x)·sin x>0得ex-e-x>0,所以x>-x,所以x>0,所以此时不等式的解集为(0,π); 当x∈(π,2π)时,sin x<0,所以由(ex-e-x)sin x>0得ex-e-x<0,所以x<-x,所以x<0,所以此时不等式的解集为⌀; 当x∈(-π,0)时,sin x<0,所以由(ex-e-x)sin x>0得ex-e-x<0,所以x<-x,所以x<0,所以此时不等式的解集为(-π,0); 当x∈(-2π,-π)时,sin x>0,所以由(ex-e-x)sin x>0得ex-e-x>0,所以x>-x,所以x>0,所以此时不等式的解集为⌀. 综上,不等式的解集为(-π,0)∪(0,π). 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可进行 分类讨论.三角函数的问题经常受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 四、转化与化归思想在三角函数中的应用 8.[2025江苏南京励志高级中学调研]已知θ∈ ,sin = ,则tan =____. 　-2  第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为θ∈ , 所以θ- ∈ - ,  , 所以cos =  = , 所以tan = = = . (将未知角的三角函数转化为已知角的三角函数) 所以tan = = = =- =- =-2 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏南通第一中学月考]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象的相邻对称轴之间的距离是  ,将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数,且当x= 时, f(x)取得最 大值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数h(x)=f(x)- 的图象与x轴交点的横坐标为x0,求sin2 +cos ; (3)方程[f(x)]2+(2-a)f(x)+1=0在 上有4个不相等的实数根,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设f(x)的最小正周期为T. 由题意得 = ,∴T=π.又T= , ∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ). 设函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的图象对应的函数为g(x),则g(x)= f =2sin  =2sin . ∵g(x)为偶函数,∴2×0- +φ= +kπ,k∈Z,解得φ= +kπ,k∈Z. 又|φ|<π,∴φ= 或φ=- . ∵当x= 时, f(x)取得最大值,∴2× +φ= +2kπ,k∈Z,∴φ= +2kπ,k∈Z.∴φ= ,∴f(x)=2sin . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)结合(1)得h(x)=f(x)- =2sin - . 由题意得h(x0)=2sin - =0, ∴sin = ,cos2 =1-sin2 =1- = . ∴sin2 +cos =sin2  -  +cos  -  =cos2 +sin = + =  . (3)当x∈ 时,2x+ ∈ . 令t=f(x),则t∈[-2,2],则方程[f(x)]2+(2-a)f(x)+1=0在 上有4个不相等的实数根等价于关于t的方程t2 +(2-a)t+1=0在(-2,0]上有2个不相等的实数根, 第1讲　描述运动的基本概念 (将复杂函数的有解问题转化为简单函数的有解问题) ∴  解得- <a<0,故实数a的取值范围为 . 思想方法　转化与化归思想在三角函数中常见的应用:将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数进 行求值;将y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0,A,ω,φ为常数)的图象转化为y=Asin t的图象来研究;进行恒等变形或 者条件的等价转化等. 第1讲　描述运动的基本概念 五、数学建模思想在三角函数中的应用 10.[2025江苏盐城五校联盟期末]放假期间,小王去某游乐园玩,该游乐园内竖立着一摩天轮,半径为20 米,购票后可以乘坐一圈,每逆时针匀速旋转一圈要12分钟,摩天轮的最低点与地面相距1米,供游客上、 下摩天轮轿厢.从小王进入摩天轮轿厢开始计时,在运行过程中,轿厢与其中的游客看作摩天圆环上一 个点.   (1)求小王距离地面的高度H(单位:米)关于时间t(单位:分钟)的函数; (2)当小王距离地面的高度为11米时,突然发现同学小李在摩天轮的另一个轿厢里,此时正和他处于同 一高度,小王记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的,按此推算,小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的? 第1讲　描述运动的基本概念 (3)当游客距离地面的高度达到31米及以上时,可以俯看到游乐园的全景,这段时间称为“美景期”,求 摩天轮在旋转一周的过程中,小王处于“美景期”的时长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设H(t)=Asin(ωt+φ)+B(ω>0), 由题意得 解得  因为摩天轮转一圈需要12分钟,所以最小正周期T=12,所以ω= = . 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时,即t=0时H=1,所以1=20sin φ+21,得sin φ=-1,不妨取φ=- , 所以H(t)=20sin +21=21-20cos t. (2)令H(t)=21-20cos t=11, 得cos t= . 又t∈[0,12],所以t=2或t=10. 所以两人进入摩天轮轿厢的时间相差8分钟,即小李大概是下午5:52或6:08进入摩天轮轿厢的. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)令H(t)=21-20cos t≥31, 即cos t≤- ,又0≤t≤12,所以4≤t≤8,所以小王处于“美景期”的时长为4分钟. 思想方法　现实生活中与周期相关的问题,常建立三角函数模型进行解决. 第1讲　描述运动的基本概念 $