专题28 正切函数的图象与性质（十类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题28 正切函数的图象与性质 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正切函数图象的识别及应用 类型二、正切函数的定义域、值域（最值）及其应用 类型三、正切函数的周期性及应用 类型四、求正切函数的单调区间 类型五、根据正切函数的单调性求参数 类型六、比较大小问题 类型七、正切函数的奇偶性及应用 类型八、正切函数的对称性及应用 类型九、正切函数的零点问题 类型十、正切函数的图象与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 【技巧方法】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 常见正切函数图像的应用： 1.两个函数图象的交点问题． 2.方程的根的问题，借助图象求解． 例1．（1）函数（）的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合. 故选：B. （2）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的最小正周期为，则， 所以，所以， 由图可知， 所以． 故选：D. 变式1-1．函数在区间内的大致图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】当时， 即， 所以在区间上的图象与的图象相同， 当时， 即， 所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形. 故选：B. 变式1-2．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据的图象逐个分析即可. 【解析】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，取，则是的一个周期，故A正确； 对B，是偶函数，则，故B正确； 对C，易得的定义域是，故C正确； 对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：ABC 变式1-3．已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为点在函数图象上，所以，所以，， 函数零点的个数转化为方程即的解的个数， 也可转化为函数的图象与函数图象交点的个数， 因为的取值会改变的表达式，所以需要分类讨论， （1）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点； （2）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点； 综上，零点个数为个. 故选：C. 变式1-4．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8,则的值为____________ 【答案】 【解析】如图，阴影部分的面积等价于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 所以过点C垂直于x轴的直线为，又， 则，解得. 故答案为: 变式1-5．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【解析】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 类型二、由正切函数的定义域、值域（最值）及其应用 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 例2.（1）函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【解析】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. （2）函数在上的最大值为，最小值为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 因为函数在上的最大值为，最小值为， 所以，即，所以 令，，因为在上单调递增， 在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知， 函数在上单调递增， 所以，解得：， ， 解得：，因为，则， 所以，解得：. 故. 故选：D. 变式2-1．函数的定义域为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域. 【解析】令，解得：，， 定义域为，. 故选：C. 变式2-2．若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意即可，所以. 故选：D. 变式2-3．若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 所以， 于是有，因为，所以，要想 在时恒成立，一定有. 故选：D 变式2-4．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案． 【解析】由，得，， 在数轴上表示如图所示， 所以， 故答案为：． 变式2-5．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为=___________- 【答案】 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【解析】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故答案为： 类型三、正切函数的周期性及应用 【技巧方法】 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Atan (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例3．已知函数，且经过点，则函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，，解得，又，则有，，所以，进一步可得最小正周期. 【解析】由题意，，所以，即，又， 所以，即，故，所以，其最小正周期为. 故选：C 变式3-1．以下函数中最小正周期为的个数是（  ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可. 【解析】画出函数的图象如图所示：    由图可知函数的最小正周期为，满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意； 综上所述，满足题意的函数的个数有1个. 故选：A. 变式3-2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【解析】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以是周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B. 变式3-3．已知函数的最小正周期为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：，且，解得， 对于函数，令， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式3-4．已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，得． 所以， 由，得， 解得． 故选：A． 类型四、求正切函数的单调区间 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正切函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Atan z的单调区间而求出原函数的单调区间． 【技巧方法】 求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧： 求形如y＝Asin(tanωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝tanx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝tanx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 例4．函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 变式4-1．函数的单调区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单调区间满足，解得答案. 【解析】函数的单调区间满足：， 解得. 故选：D 变式4-2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【解析】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 变式4-3．函数的单调减区间为 . 【答案】 【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【解析】因为， 由可得， 所以，函数的单调递减区间为，无增区间. 故答案为：. 类型五、根据正切函数的单调性求参数 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 例5．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 依题意得，， 所以，， 所以，， 由得，由得， 所以且， 所以或， 当时，，又，所以， 当时，. 综上所述：. 故选：C. 变式5-1．若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题意，函数在上为减函数， 可得且，解得， 当时，解得， 故选A． 变式5-2．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点和是函数图像的相邻的两个对称中心 且正切函数图像相邻两个对称中心的距离， 函数的最小正周期， 即，解得. 又在区间内单调递减， ， . 由，， 得，. ， 当时，； 当时，. ①当时，， 由，， 得，， 即函数的单调递减区间为，. 当时，函数的单调递减区间为，满足条件. ②当时，. 由，， 得，， 即函数的单调递减区间为，， 当，时，函数单调递减区间分别为，， 不符合题意，故舍去. 综上所述，. 故选：A. 变式5-3．已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于甲：因为的单调递增区间为，关于单调递增， 所以不存在任何区间使得单调递减，故甲错误； 对于乙：因为的图象不存在对称轴， 而函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的， 所以函数的图象也不存在对称轴，故乙错误； 由题意甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确， 故只能丙丁论述正确， 若丙论述正确，即当时，函数单调递增， 则当时，关于单调递增， 由复合函数单调性可知此时应该有 ，解得， 所以此时满足题意， 当时，关于单调递增， 但，即存在使得，无意义， 所以此时不满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围为， 若丁论述正确，则，解得， 结合的取值范围为可知，只能. 综上所述，实数的值为. 故选：B 类型六、比较大小问题 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例6．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【解析】因为，所以，，， 由正切函数性质得在上单调递增， 所以，故，即. 故答案为： 变式6-1．下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象与性质，结合正切函数的单调性和诱导公式，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质， 可得，且， 所以，所以，所以A不正确； 对于B中，由， 由正切函数单调性可得，即，所以B错误； 对于C中，由正切函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，由正切函数的单调性，可得， 即，所以D错误. 故选：C. 变式6-2．已知偶函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得，，，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案． 【解析】因为，，， 又由为偶函数，则，，， 又函数在上单调递增，所以，又 在上单调递减，则有， 故选：D． 变式6-3．已知函数满足，且当时，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 变式6-4．（多选）下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正切函数的单调性及诱导公式即可求解. 【解析】对于A，因为，函数在上单调递增，所以．故A正确； 对于B, ．故B不正确； 对于C，，．又，函数在上单调递增，所以，即．故C不正确； 对于D，，． 又，函数在上单调递增， 所以，即．故D正确. 故选：AD. 类型七、正切函数的奇偶性及应用 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例7．已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】先求函数的最小正周期，再判断函数的奇偶性得解. 【解析】解：的最小正周期为, 令， 所以函数的定义域关于原点对称. 又， 所以函数是奇函数. 故选：C 变式7-1．已知函数，若，则（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】将代入可推导出，再将代入，利用整体代换思想即可得最后结果. 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C. 变式7-2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当时，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的周期以及奇偶性可求得时的值. 【解析】由已知可得. 故选：B. 变式7-3．若函数在区间[－1,1]上的值域为[m，n]，则m＋n等于（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】构造函数，分析其奇偶性，再从最值入手可求解. 【解析】设，则， ∴，故， 所以函数为奇函数． 设在区间上的最大值为，则最小值为，则． 由题意得， ∴． ∴，， ∴． 故选：C． 变式7-4．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________ 【答案】2 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【解析】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 故答案为：2 类型八、正切函数的对称性及应用 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例8．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 变式8-1．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式. 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为， 则函数的图象再关于轴对称得函数. 故选：D. 变式8-2．已知函数，则下列结论不正确的是（  ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 对于A选项，，， ，故A正确； 对于B选项，要使有意义，则有， 的定义域是，故B正确； 对于C选项，， 是的一个周期，故C正确； 对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误. 故选：D. 变式8-3．已知函数关于点中心对称，则 ． 【答案】 【解析】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 变式8-4．已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)1;(2) 【解析】（1）令， 依题意可得，， 所以， ， 又因为，所以当且仅当时符合题意，此时， 所以. 故的最大值为1. （2）令， 由在区间上的对称中心依次为：,,, 所以依题意只需， 此时可得，即， 又由第一问可知. 故的取值范围为：. 类型九、正切函数的零点问题 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例9．在区间内，函数与图象的交点个数为 ． 【答案】2 【分析】在同一直角坐标系中，作出函与在内的图象，根据图像即可得出答案. 【解析】解：如图，在同一直角坐标系中，作出函与在内的图象， 可得函数与的图象有2个交点． 故答案为：2. 变式9-1．函数的零点是 ． 【答案】， 【分析】利用方程法与正切函数的性质即可得解. 【解析】令，得，即， 所以的零点是. 故答案为：， 变式9-2．（多选）与函数的图象相交的直线是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的图象与性质，即可判断选项中的直线是否与函数的图象有交点 【解析】对于A，当时，，所以直线与函数交于点， 对于B，由正切函数的图象可知直线与函数的图象相交， 对于C，当时，，所以直线与函数交于点， 对于D，当时，无意义，所以直线 与函数的图象无交点， 故选：ABC 变式9-3．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 【答案】3 【分析】将方程变形为令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根据个数 【解析】将方程变形为令 在同一平面直角坐标系中， 首先作出与在内的图像， 当时，有 然后利用对称性作出时的两个函数的图像， 如图所示，由图像可知它们有三个交点. 所以方程有三个根. 故答案为:3 类型十、正切函数的图象与性质的综合应用 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例10．已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【解析】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 变式10-1．已知函数，则（  ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 【答案】D 【解析】对于A，函数的最小正周期是，A错误； 对于B，由，得， 所以函数定义域为，B错误； 对于C，当时，函数无意义，又，则在上不单调递增，C错误； 对于D，不等式，则， 解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：D 变式10-2．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】设，，定义域为关于原点对称， 所以为奇函数． 因为，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增． 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以，又函数在区间上单调递增， 由得，，解得 故答案为：. 变式10-3．已知函数的最小正周期为， (1)求图象的对称中心； (2)求不等式在上的解集． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由，得．由，得， 所以图象的对称中心为． （2）由，得, 由，得， 所以，得， 故不等式在上的解集为． 变式10-4．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 【答案】（1）f(x)＝tan；（2）单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间；（3）. 【解析】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝， 即， 因为ω>0，所以ω＝2， 从而f(x)＝tan(2x＋φ)． 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ＝， 故f(x)＝tan. （2）令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得， 即 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． （3）由（1）知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤， 得 即 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为. 1.若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设，且，由和在上单调递增，可判断. 【解析】因为α，β都是第一象限角， 设，且， 因为和在上单调递增， 当时，即， 所以，则， 所以； 反之，当时，即， 所以，则，即, 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：C 2.设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的单调性可得，即可得解. 【解析】因为，， ， 所以. 故选：A. 3.已知函数，下列说法正确的是（  ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】D 【解析】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 4.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 令，且，解得，， 令，则，则在上单调递增， ，则， 则当时，，，则满足，即， 当时，，且单调递减，，且单调递增， 则时，，即；时，，即； 综上所述：的解集为， 故选；C. 5.已知在区间上的最大值为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据解方程即可. 【解析】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 6.（多选）已知函数，则（   ） A． B．为奇函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 【答案】ABD 【分析】利用正切函数的图象与性质逐项判断即可. 【解析】因为函数， 所以，故A正确； 由得，， 对于函数，令，得， 可知定义域为关于原点对称，又， 所以函数为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由，得到， 所以的对称中心为，故C错误； 令，得， 所以的定义域为，故D正确； 故选：ABD 7.（多选）已知函数，则（  ） A．函数的最小正周期为π B．函数的图像关于点中心对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项. 【解析】的最小正周期为,A选项错误; 的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确; ,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误; 当,则,可得,D选项正确;. 故选：BD. 8.（多选）已知函数，则（  ） A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称 C．有最小值 D．在上为增函数 【答案】BD 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【解析】由函数， 对于A中，由，所以的最小正周期为，所以A错误； 对于B中，由的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，所以B正确； 对于C中，由函数的值域为，可得，所以C错误； 对于D中，由，可得，可得函数单调递增， 所以在上也单调递增，所以D正确. 故选：BD. 9.与的大小关系是 （填：“或=”中的一个）. 【答案】 【解析】因为， ， 又， 所以， 故， 故答案为：. 10.若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【解析】因为函数，的图象都在轴上方， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 11.函数的值域为___________. 【答案】 【分析】结合复合函数的性质，令，函数变化成，的二次函数问题，从而求得函数的值域； 【解析】因为，所以 令则 当即时， 当即时， 故所求函数的值域为 . 故答案为： 12.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【解析】依题意，因为函数的相邻两个对称中心的距离为， 则函数的最小正周期为，即，得， 则， 又，即， 所以， 因为，所以， 故， 又因为，所以关于中心对称， 而也关于中心对称， 作出两个函数在原点附近的部分图象， 在且内，函数的最小正周期为， 又和也关于对称，， 因为在的右边从第一个周期起两个函数的图象交点都在前半个周期内， 则函数的图像与函数的图象的交点有对， 设两图象的交点的横坐标由小到大为：， 若是交点，则也是交点，则， 所以，所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 13.已知函数． (1)求的定义域和值域． (2)讨论的最小正周期和单调区间． (3)求的对称中心． 【答案】(1)定义域为，，值域为 ； (2)最小正周期是；单调增区间为，，；无减区间； (3)，， ． 【解析】（1）函数， ，， 即，； 的定义域为，，值域为； （2），的最小正周期是； 又令，， ，， 的单调增区间为，，，无减区间； （3）令，， 解得，， 此时； 函数的对称中心为，， 14.已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论． （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围． （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围． 【解析】解：（1）由于，，， 的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在，上严格递增，则，求得， 即的范围为． （3）方程在，上至少存在2021个根， 故当，时，至少有2021个根， 即，，至少有2021个根， 即当，时， 至少有2021个根． 且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021， 故至少包含2020个周期，即， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 正切函数的图象与性质 （十类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正切函数图象的识别及应用 类型二、正切函数的定义域、值域（最值）及其应用 类型三、正切函数的周期性及应用 类型四、求正切函数的单调区间 类型五、根据正切函数的单调性求参数 类型六、比较大小问题 类型七、正切函数的奇偶性及应用 类型八、正切函数的对称性及应用 类型九、正切函数的零点问题 类型十、正切函数的图象与性质的综合应用 压轴专练 类型一、正、余弦函数图象的识别及应用 【技巧方法】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 常见正切函数图像的应用： 1.两个函数图象的交点问题． 2.方程的根的问题，借助图象求解． 例1．（1）函数（）的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   （2）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ） A． B． C． D． 变式1-1．函数在区间内的大致图象是（  ） A．   B．   C．   D．   变式1-2．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是的一个周期 B． C．的定义域是 D．的图象关于点对称 变式1-3．已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-4．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8,则的值为____________ 变式1-5．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 类型二、由正切函数的定义域、值域（最值）及其应用 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性． 例2.（1）函数的定义域是（  ） A． B． C． D．且 （2）函数在上的最大值为，最小值为，则（  ） A． B． C． D． 变式2-1．函数的定义域为（  ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2．若对，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．若不等式在恒成立，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-4．函数的定义域为 ． 变式2-5．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为=___________- 类型三、正切函数的周期性及应用 【技巧方法】 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Atan (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例3．已知函数，且经过点，则函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 变式3-1．以下函数中最小正周期为的个数是（  ）                          A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数的最小正周期为，则函数的定义域为 ． 变式3-4．已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 类型四、求正切函数的单调区间 求正、余弦函数以及正切函数的单调区间的策略: (1)结合正切函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Atan z的单调区间而求出原函数的单调区间． 【技巧方法】 求正弦型、余弦型函数单调区间的技巧： 求形如y＝Asin(tanωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数． 当ω>0，A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝tanx的单调递增区间内，求得的x的范围即函数的单调递增区间；整体放入y＝tanx的单调递减区间内，可求得函数的单调递减区间． 当ω>0，A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式． 例4．函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．函数的单调区间是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．函数的单调减区间为 . 类型五、根据正切函数的单调性求参数 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 例5．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为（  ） A． B． C． D．1 变式5-2．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 类型六、比较大小问题 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例6．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 变式6-1．下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式6-2．已知偶函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数满足，且当时，，则（  ） A． B． C． D． 变式6-4．（多选）下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 类型七、正切函数的奇偶性及应用 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例7．已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 变式7-1．已知函数，若，则（  ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 变式7-2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当时，，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数在区间[－1,1]上的值域为[m，n]，则m＋n等于（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式7-4．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________ 类型八、正切函数的对称性及应用 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例8．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 变式8-1．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数，则下列结论不正确的是（  ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 变式8-3．已知函数关于点中心对称，则 ． 变式8-4．已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 类型九、正切函数的零点问题 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例9．在区间内，函数与图象的交点个数为 ． 变式9-1．函数的零点是 ． 变式9-2．（多选）与函数的图象相交的直线是（  ） A． B． C． D． 变式9-3．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 类型十、正切函数的图象与性质的综合应用 将恒成立问题通过构造函数，然后画出函数图像研究函数最值从而求解。 【技巧方法】 先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围． 例10．已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 变式10-1．已知函数，则（  ） A．的最小正周期是 B．的定义域是 C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是， 变式10-2．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ． 变式10-3．已知函数的最小正周期为， (1)求图象的对称中心； (2)求不等式在上的解集． 变式10-4．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． （1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)的单调区间； （3）求不等式－1≤f(x)≤的解集． 1.若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设，，，则（  ） A． B． C． D． 3.已知函数，下列说法正确的是（  ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 4.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 5.已知在区间上的最大值为，则（  ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数，则（   ） A． B．为奇函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 7.（多选）已知函数，则（  ） A．函数的最小正周期为π B．函数的图像关于点中心对称 C．函数在定义域上单调递增 D．若，则 8.（多选）已知函数，则（  ） A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称 C．有最小值 D．在上为增函数 9.与的大小关系是 （填：“或=”中的一个）. 10.若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为 . 11.函数的值域为___________. 12.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为 ． 13.已知函数． (1)求的定义域和值域． (2)讨论的最小正周期和单调区间． (3)求的对称中心． 14.已知函数，其中， （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若函数在上严格递增，求的取值范围； （3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $