第7章 10-7.4 三角函数应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数模型的应用，通过物理（降噪声波、弹簧运动）和生活（港口水深、摩天轮高度）实例导入，衔接三角函数的振幅、周期、初相等性质，以问题情境为支架，引导学生从知识理解过渡到实际应用。 其亮点在于情境真实多元，涵盖多领域实际问题，通过建立三角函数模型（如噪音声波解析式、摩天轮高度函数），培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言表达模型的核心素养。例如阻尼器问题通过周期计算和不等式求解位移时长，学生提升应用能力，教师可借助分层题组优化教学。

第7章 三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 7.4　三角函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　三角函数模型在物理中的应用 1.[2026江苏高邮三垛中学检测]某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的 声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音.已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅 为1,周期为2,初相位为 ,则用来降噪的声波曲线对应的解析式是( ) A.y=sin πx　　     B.y=cos πx C.y=-sin πx　　    D.y=-cos πx     D     解析　　由题意得A=1,φ= ,T= =2,所以ω=π,所以噪音的声波曲线对应的解析式为y=sin =cos πx,所以用来降噪的声波曲线对应的解析式为y=-cos πx. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]如图,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如 下关系式确定:h=2sin ,t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,则 当t=0时h的值为 ( )   A.-2　    B.2　    C.- 　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,所以 ×2+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ= +2kπ,k ∈Z, 又φ∈(-π,π),所以φ= , 故h=2sin , 故当t=0时,h=2sin = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025广东东莞外国语学校月考]阻尼器是一种通过提供运动的阻力达到减振效果的专业工程装置. 已知某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移s(m)和时间t(s)的函数关系式为s= sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且 t1+t2=2,t2+t3=6,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时长为( ) A.  s　　    B.  s　　    C.1 s　　    D.  s     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为t1+t2=2,t2+t3=6,所以函数s=sin(ωt+φ)的最小正周期T=6-2=4,又T= ,所以ω= ,所以s=sin  . 由s>0.5得sin >0.5,所以2kπ+ < t+φ< +2kπ,k∈Z,解得4k+ - φ<t< - φ+4k,k∈Z. 因为 - = ,所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时长 为  s. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三角函数模型在实际生活中的应用 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025天津南开中学滨海生态城学校月考]如图,某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位:m)与时间x(单 位:h)之间的关系可用y=Asin(ωx+φ)+5 近似刻画,据此可估计当天12 h的水深为  ( ) A.  m　　     B.4 m　　     A     C. m　　    D. m 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题图得,-A+5=2,最小正周期T= =18-6=12,所以A=3,ω= , 所以y=3sin +5. 又点 在图象上, 所以3sin  ×6+φ +5= , 所以sin φ=- ,又|φ|< , 所以φ=- ,所以y=3sin +5. 当x=12时,y=3sin +5=- +5= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025湖南长沙长郡中学期末]某地区2024年全年月平均温度y(单位:℃)与月份t之间近似满足y=Asin  +k(A>0,-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃,全年月平均温度最高的月份为6月份, 且月平均温度为32 ℃,则该地区12月份的月平均温度为     ( ) A.-12 ℃　　    B.-10 ℃　　     C.-9 ℃　　     D.-6 ℃     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意可知,当t=6时,y=Asin +k取得最大值,所以6× +φ=2kπ+ ,k∈Z,即φ=2kπ- ,k ∈Z.又-π<φ<0,所以φ=- , 所以y=Asin +k=-Acos  t+k. 因为全年月平均温度的最大值为32 ℃,所以A+k=32①. 又当t=2时,y=-1,所以-Acos +k=-1,所以A-2k=2②. 由①②解得A=22,k=10, 所以y=-22cos  t+10, 则当t=12时,y=-22cos +10=-12,故该地区12月份的平均温度为-12 ℃. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称 为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为 126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期约为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数 关系式p(t)=b+asin ωt(a>0,ω>0),则当t∈[0,0.75]时,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为  ( ) A.0.125 s　　    B.0.25 s　　     C.0.375 s　　    D.0.5 s     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意可知  解得  由题知心动周期T=0.75= , 故ω= =2π× = , 则p(t)=24sin  t+102, 令90≤24sin  t+102≤114,得- ≤sin  t≤ , 令x= t,由t∈[0,0.75]得x∈[0,2π],则- ≤sin x≤ ,x∈[0,2π], 画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   由图可知,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为  + +  × =0.25(s). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏西安交通大学苏州附属中学月考]如图,摩天轮的半径为R,其圆心为坐标原点O,一个座舱从 点A(80 ,-80)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,已知旋转一周用时60分钟,经过t分钟后,座舱旋转到 点P(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ) t≥0,ω>0,|φ|<  .   (1)求函数f(t)的解析式; (2)若摩天轮最低点到地面的距离为2米,则在摩天轮转动的一圈内,有多长时间,座舱距离地面的高度不 低于242米? (3)若摩天轮旋转一周的时长变为T分钟(T>0),且f(t)在[0,20]上单调递增,求T的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题图得,R=OA= =160. 由题意得60= ,所以ω= , 所以f(t)=160sin  , 所以f(0)=160sin φ=-80,即sin φ=- ,又|φ|< ,所以φ=- , 所以f(t)=160sin . (2)因为摩天轮最低点到地面的距离为2米,所以座舱到地面的距离h=f(t)+162=160sin +162. 令h≥242,得160sin +162≥242,所以sin ≥ , 所以 +2kπ≤ t- ≤ +2kπ,k∈Z,解得10+60k≤t≤30+60k,k∈Z. 第1讲　描述运动的基本概念 在[0,60]内,当k=0时,10≤t≤30, 所以座舱距离地面的高度不低于242米的时长为30-10=20(分钟). (3)因为T= ,所以ω= ,所以f(t)=160sin . 令- +2kπ≤ t- ≤ +2kπ,k∈Z, 得- +Tk≤t≤ +Tk,k∈Z, 所以f(t)的单调递增区间为 ,k∈Z. 因为f(t)在[0,20]上单调递增,且T>0, 所以[0,20]⊆ ,所以 ≥20,所以T≥60,所以T的取值范围为[60,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　三角函数模型的建立及应用 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南京励志高级中学调研]已知动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,1 2秒旋转一周,当时间(单位:秒)t=0时,点A的坐标是 ,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t的函 数解析式是 ( ) A.y=sin 　　    B.y=sin  C.y=sin 　　    D.y=sin      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设y=sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π). 由题意得,函数的最小正周期T=12, 所以 =12,解得ω= , 所以y=sin . 因为当t=0时,点A的坐标是 ,所以 =sin φ,所以φ= 或φ= . 又cos φ= ,所以φ= , 所以y=sin . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025山东聊城第二中学开学考试]如图,一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的 轴心O距离水面的高度为2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(P在水面以下时d为 负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为( ) A.d=4sin +2 B.d=4sin +2     A     C.d=4sin +2 D.d=4sin +2 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设d=Asin(ωt+φ)+B A>0,ω>0,- <φ<  , 由题意可知,dmax=A+B=6,dmin=-A+B=-2,解得A=4,B=2, 所以d=4sin(ωt+φ)+2. 由题可知,最小正周期T= =40, 则ω= = = , 则d=4sin +2. 当t=0时,d=4sin φ+2=0, 解得sin φ=- , 又- <φ< ,所以φ=- , 故d=4sin +2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东济宁检测]某摩天轮示意图如图所示,其半径为100 m,最低点A到地面的距离为8 m,该摩天 轮上一吊箱B(视为质点)从A点出发,按顺时针方向匀速旋转,且每24 min转动一圈,则吊箱B第4次距离地 面158 m时,所经历的时长为______min.       40 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图,   设吊箱B离地面的高度为h m,转动的时间为t min. 由已知得h=100sin +108=-100cos  t+108, 令h=158,得cos  t=- ,∴ t= +2kπ,k∈Z或 t= +2kπ,k∈Z, ∴t=8+24k,k∈Z或t=16+24k,k∈Z, 当k=0时,t=8或t=16,当k=1时,t=32或t=40, ∴当t=40时,吊箱B第4次距离地面158 m. 第1讲　描述运动的基本概念 $