专题7.6 三角函数应用（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题7.6 三角函数应用（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 2 【题型2 三角函数在生活中的应用】 3 【题型3 几何中的三角函数模型】 5 【题型4 用拟合法建立三角函数模型】 7 【题型5 三角函数新定义】 9 知识点1 三角函数的简单应用 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【变式1-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【变式1-2】（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【变式1-3】（24-25高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【题型2 三角函数在生活中的应用】 【例2】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【变式2-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【题型3 几何中的三角函数模型】 【例3】（24-25高三上·河北保定·期末）如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【变式3-2】（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【题型4 用拟合法建立三角函数模型】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【变式4-1】（24-25高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【变式4-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【变式4-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【题型5 三角函数新定义】 【例5】（24-25高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 三角函数应用（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 2 【题型2 三角函数在生活中的应用】 5 【题型3 几何中的三角函数模型】 8 【题型4 用拟合法建立三角函数模型】 11 【题型5 三角函数新定义】 17 知识点1 三角函数的简单应用 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题. 【题型1 三角函数在物理学中的应用】 【例1】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【解题思路】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【解答过程】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 【变式1-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【解题思路】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以 . 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 【变式1-2】（2025高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【解答过程】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解题思路】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【解答过程】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B. 【题型2 三角函数在生活中的应用】 【例2】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 【变式2-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解题思路】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的最小正周期，可求出的值，根据函数的最值可得出关于、的方程组，可解出这两个量的值，再由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式. 【解答过程】因为月份达到最高价千元，月份价格最低为千元， 所以函数的最小正周期为，则， 又，解得，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，则， 因此. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 【题型3 几何中的三角函数模型】 【例3】（24-25高三上·河北保定·期末）如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程的射线对应的角度为，得到答案. 【解答过程】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【解题思路】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【解答过程】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三上·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【解题思路】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【解答过程】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值 ，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【解题思路】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【解答过程】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 【题型4 用拟合法建立三角函数模型】 【例4】（24-25高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【答案】(1) (2)16小时. 【解题思路】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【解答过程】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 【变式4-1】（24-25高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①，模型② (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【解答过程】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 【变式4-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据： t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1 该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象． (1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议． 【答案】(1)； (2)请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的. 【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）画出散点图，连线如下图所示： 设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：， 再由，得， ； （2）． ∵， ∴， ∴，或 解得，或， 所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的． 【变式4-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【答案】(1) (2)应在时间段将该种商品放在室外销售 【解题思路】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）令，得到，解得，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：由的图象，可得，解得， 又由，解得，所以， 因为时，可得，即，解得， 即，所以， 又因为，解得，所以. （2）解：令，即，可得， 解得，解得， 又因为，所以当 时，可得， 所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售． 【题型5 三角函数新定义】 【例5】（24-25高一下·吉林·期末）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 【解答过程】由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以． 故选：A． 【变式5-1】（24-25高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【解答过程】由题意，得 . 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【解题思路】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【解题思路】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【解答过程】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $