第7章 07-7.3-02-01-第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数的图象与性质，系统覆盖正余弦函数的图象、奇偶性、对称性、单调性及值域等核心知识点。通过基础过关练与能力提升练衔接三角函数定义，搭建从具体图象观察到抽象性质归纳的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于分层题组设计，结合图象分析培养数学眼光，如通过绘制正余弦函数图象解决不等式问题，借助逻辑推理探究对称性与单调性，规范的解析步骤强化数学语言表达。学生能提升性质应用能力，教师可利用分层资源实施精准教学，提高课堂效率。

第7章 三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 7.3　三角函数的图象和性质 7.3.2　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　正、余弦(型)函数的图象及简单应用 1.[2025江苏无锡辅仁高级中学质检]在(0,2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是 ( ) A. 　　    B. ∪  C. 　　     D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　画出y=sin x和y=|cos x|在(0,2π)上的图象,如图,由图可知,使sin x>|cos x|的x的取值范围是  .   方法总结　作正弦函数、余弦函数的图象时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量的值为实数.同时, 在连线时要用平滑的曲线连接,不能用线段连接. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏南通名校联盟月考]当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与y=2cos 的交点的个数为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     D     解析　　在同一平面直角坐标系中作出函数y=cos x与y=2cos 在[0,2π]上的图象,如图所示.   由图可知,两函数图象交点的个数为6. 第1讲　描述运动的基本概念 3.函数f(x)=ln(2sin2x-5sin x+2)的定义域是_________________________.      (k∈Z) 解析　令2sin2x-5sin x+2>0,整理得(2sin x-1)(sin x-2)>0,解得sin x< 或sin x>2. 又-1≤sin x≤1,因此-1≤sin x< . 由正弦函数的图象(图略)知2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z),因此f(x)的定义域为 (k∈Z). 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知函数f(x)=sin πx-lg 的图象与x轴所有交点的横坐标从小到大依次记为x1,x2,…,xn,则 xi=______.     10 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=0,得sin πx-lg =0,即sin πx=lg ,所以f(x)的图象与x轴的交点个数等价于函数y=sin πx和y=lg 的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin πx和y=lg 的图象,如图所示.   由图可知,两函数图象有20个交点,且y=lg 的图象关于直线x= 对称. 令πx= +kπ,k∈Z,得x= +k,k∈Z,所以y=sin πx的图象也关于直线x= 对称,所以x1+x20=x2+x19=…=x10+x11= 1,所以 =10. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性 5.[2025北京师范大学附属中学期中]下列函数中,最小正周期是π的奇函数为 ( ) A.y=sin 2x　　    B.y=cos 2x C.y=tan 2x　　    D.y=|sin x|     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　函数y=sin 2x的最小正周期为 =π,设f(x)=sin 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,又f (-x)=sin[2(-x)]=-sin 2x=-f(x),所以函数y=sin 2x为奇函数,故A符合题意; 函数y=cos 2x的最小正周期为 =π,设g(x)=cos 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,又g(-x)=cos [2(-x)]=cos 2x=g(x),所以函数y=cos 2x为偶函数,故B不符合题意; 函数y=tan 2x的最小正周期为 ,故C不符合题意; 设h(x)=|sin x|,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,又h(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=h(x),所以函数y=| sin x|为偶函数,故D不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏盐城五校联考]若函数f(x)=(3sin x+m)cos 为奇函数,则实数m= ( ) A.0　　    B.1　　    C.2　　    D.3     A     解析　　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即[3sin(-x)+m]cos =-(3sin x+m)cos ,所以m=-m,解得m=0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南通第一中学质量检测]若f(x)=sin(x+2φ)(0<φ<π)为偶函数,则f(φ)= ( ) A. 　　     B.- 　　     C.0或 　　     D.±      A     解析　　因为f(x)为偶函数,所以2φ= +kπ,k∈Z,解得φ= + ,k∈Z. 又0<φ<π,所以φ= 或φ= . 当φ= 时, f(φ)=f =sin = . 当φ= 时, f(φ)=f =sin = . 综上, f(φ)= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性 8.[多选题][2026江苏江阴第二中学月考]已知函数f(x)=sin ,则下列结论正确的有 ( ) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数 f 是偶函数 C.f(x)的图象关于点 对称 D.直线x= 是f(x)图象的一条对称轴     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A, f(x)的最小正周期T= =π,故A错误. 对于B, f =sin =sin =cos 2x,为偶函数,故B正确. 对于C, f =sin =sin =sin π=0,故 是f(x)图象的对称中心,故C正确. 对于D, f =sin =sin = ≠1或-1,故直线x= 不是f(x)图象的对称轴,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏徐州雎宁高级中学调研]已知函数f(x)=cos(x+φ),|φ|< ,∀x∈R, f + f =0,则f(x)=  ( ) A.cos 　　    B.sin 　　     C.cos 　　    D.sin      A     解析　　因为f +f =0, 所以f(x)的图象的对称中心为 , 所以 +φ= +kπ(k∈Z),解得φ=kπ+ (k∈Z),又|φ|< ,所以φ= , 所以f(x)=cos . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏常州西夏墅高级中学调研]函数f(x)=cos (ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称 中心,则ω的取值范围为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      C     解析　　当x∈(0,1)时, <ωx+ <ω+ (ω>0).又f(x)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心,所以 <ω+  ≤ ,解得 <ω≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏徐州第七中学开学考试]若方程sin =- 在(0,π)上的解为x1,x2,则sin(x1+x2)=_____. 解析　令2x- =kπ+ ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,所以函数y=sin 的图象的对称轴为直线x= + , k∈Z.当x∈(0,π)时,2x- ∈ ,所以x1,x2关于直线x= 对称,所以x1+x2= ,所以sin(x1+x2)=sin = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　正、余弦(型)函数的单调性及应用 12.[2026江苏常州第一中学调研]在下列区间中,是函数y=cos 的一个单调递增区间的是 ( ) A. 　　    B. 　　     C.[-π,0]　　    D.      B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　    y=cos =cos . 令-π+2kπ≤x- ≤2kπ,k∈Z, 得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 当k=0时,- ≤x≤ ,显然, ⫋ ,所以函数y=cos 的一个单调递增区间是 . 函数y=cos 在 , 上单调递减,在[-π,0]上不单调,均不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026福建厦门集美中学检测]若函数f(x)=sin 在区间 上单调递增,则ω的取值范围是  ( ) A.(0,1)　　    B. 　　     C.(0,1]　　    D.[1,+∞)     C     解析　　由于函数f(x)=sin 在区间 上单调递增,因此ω>0, 当x∈ 时,ωx+ ∈  , +  ,所以 + ≤ ,所以0<ω≤1,故ω的取值范围是(0,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025辽宁大连滨城高中联盟期中]“φ=- ”是“函数y=sin(2x+φ)在x∈ 上单调递减”的  ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当φ=- 时,y=sin(2x+φ)=sin =-cos 2x. 由x∈ ,得-π≤2x≤0,此时y=-cos 2x单调递减,充分性成立. 当φ= +2kπ,k∈Z时,y=sin(2x+φ)=-cos 2x在x∈ 上单调递减,推不出φ=- ,故必要性不成立. 综上,“φ=- ”是“函数y=sin(2x+φ)在x∈ 上单调递减”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏南通第一中学月考]已知0<α< ,a=sin(cos α),b=cos α,c=cos(sin α),则a,b,c的大小关系为  ( ) A.a<b<c　　    B.b<a<c　　     C.c<b<a　　    D.c<a<b     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,在单位圆中,DE⊥OF, 设∠DOE=α ,则sin α= =DE<DF<l  =α,所以0<sin α<α< .   易知0<cos α<1< , 所以sin(cos α)<cos α. 因为函数y=cos x在 上单调递减,所以cos(sin α)>cos α. 综上,sin(cos α)<cos α<cos(sin α),即a<b<c. 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值 16.[2026四川内江模拟]已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x= 处取得最大值,则φ的值可能为( ) A.- 　　    B.- 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得,2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,所以φ=2kπ- ,k∈Z. 当k=0时,φ=- . φ=- 或φ= 或φ= 时,k∉Z, 故φ的值可能为- . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025山东淄博期末]已知函数f(x)=cos +1(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在区间 上的最 大值为 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.2     C     解析　　由题意得 =π,解得ω=2, 所以f(x)=cos +1, 当x∈ 时,2x+ ∈ , 所以f(x)在区间 上的最大值为cos  +1= . 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2025江苏苏州期中]已知函数f(x)=2sin ωx+  (ω>0)在区间[0,1]上的值域为[m,n],且n-m=3,则ω= ___. 解析　因为ω>0,所以当x∈[0,1]时,ωx+ ∈ . 因为f(x)在区间[0,1]上的值域为[m,n],且n-m=3,所以n=2,m=-1, 作出y=f(x)的大致图象,   由图可知,ω+ = ,解得ω= . 第1讲　描述运动的基本概念 19.已知 f(x)=sin 在区间 上既有最大值又有最小值,则α的取值范围为________________.      ∪  解析　因为- ≤x<α, 所以- ≤x+ <α+ . 又函数f(x)=sin 在x∈ 上既有最大值又有最小值, 所以α+ > 或 ≥α+ > ,解得α> 或π≥α> ,故α的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 20.已知f(x)=cos2x+sin x+a-1. (1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围; (2)若对任意x∈R,恒有1≤f(x)≤ ,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)=cos2x+sin x+a-1=-sin2x+sin x+a. 由f(x)=0,得a=sin2x-sin x= - . 当sin x=-1时,amax=2; 当sin x= 时,amin=- . 故实数a的取值范围为 . (2)由1≤f(x)≤ ,得1≤-sin2x+sin x+a≤ ,则a≤sin2x-sin x+ ,且a≥sin2x-sin x+1对x∈R恒成立. 由sin2x-sin x+ = +4≥4,得a≤4. 由sin2x-sin x+1= + ≤3,得a≥3. 故3≤a≤4,即实数a的取值范围为[3,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 7.3　三角函数的图象和性质 7.3.2　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　正、余弦(型)函数的奇偶性、图象的对称性 1.[2025云南师范大学附属中学月考]已知函数f(x)=3sin ,ω>0,若f(x)≤f(2π)对x∈R恒成立,且f(x) 的图象在 上有3条对称轴,则ω= ( ) A. 　　     B. 　　     C. 　　    D. 或      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得,当x=2π时, f(x)取得最大值,所以f(2π)=3sin =3, 所以2ωπ+ = +2kπ,k∈Z, 所以ω= +k,k∈Z. 记f(x)的最小正周期为T. 因为f(x)的图象在 上有3条对称轴,所以T≤ - =2π<2T,所以π<T≤2π,所以1≤ω= <2,所以ω = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏徐州调研]已知函数f(x)=sin(2ax+φ) 的图象关于点 对称,且 f =-sin 3 φ,则a的最小值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(x)的图象关于点 对称,所以 a+φ=kπ,k∈Z,即 a=-φ+kπ,k∈Z①. 因为 f =-sin 3φ, 所以sin =-sin 3φ②. 联立①②,得sin 5φ=sin 3φ. 又0<φ< ,所以φ= 或φ= ,此时a=12k- 或a=12k- ,k∈N*, 所以当k=1时,amin= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025河南信阳等五市联考]已知定义在R上的函数f(x)=e|x-2|与函数g(x)=acos(2-x)的图象有唯一公共点, 则实数a的值为 ( ) A.-2　　    B.-1　　    C.1　　    D.2     C     解析　　易知f(x)=e|x-2|的图象关于直线x=2对称,且当x>2时, f(x)单调递增,当x<2时, f(x)单调递减. g(x)=acos(2-x)=acos(x-2). 令x-2=kπ,k∈Z,得x=2+kπ,k∈Z,当k=0时,x=2,所以g(x)的图象也关于直线x=2对称. 函数f(x)=e|x-2|与函数g(x)=acos(2-x)的图象有唯一公共点,即关于x的方程e|x-2|=acos(2-x)只有一个实数解. 因为两函数图象都关于直线x=2对称,所以方程的实数解为2,即e|2-2|=acos(2-2),解得a=1. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏苏州常熟期中]已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ,若f 为奇函数, f  为偶 函数,且f(x)= 在 上至少有2个实根,至多有3个实根,则函数f(x)的图象的对称轴方程可以为 _________________（写出一个即可),正整数ω的所有可能取值之和为______.     51  (答案不唯一)     x= 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f  为奇函数,所以f  的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点 对称, 所以f  =sin =0,所以 +φ=k1π,k1∈Z①. 因为f  为偶函数,所以f  的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x= 对称,即f(x)图象 的一个对称轴方程为x= ,所以f =sin =±1,所以 +φ= +k2π,k2∈Z②. 联立①②,得2φ= +(k1+k2)π,所以φ= + ,k1,k2∈Z. 又0<φ< ,所以φ= ,所以 + = +k2π,k2∈Z,所以ω=4k2+1,k2∈Z. 当x∈ 时,ωx+ ∈ . 作出函数y=sin x的图象,如图所示. 第1讲　描述运动的基本概念   因为f(x)= 在 上至少有2个实根,至多有3个实根,所以 < + ≤ ,所以12<ω≤24, 又ω=4k2+1,k2∈Z, 所以ω的可能取值为13,17,21, 所以正整数ω的所有可能取值之和为13+17+21=51. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏江阴高级中学检测]若不等式(x2-ax+b)cos ≤0对x∈[-1,1]恒成立,则a+b=_______. 　-  解析　令πx+ =kπ,k∈Z,得x=- +k,k∈Z,所以函数y=cos 图象的对称轴可以为直线x=- 或直线x = . 令cos =0,得πx+ = +kπ,k∈Z,所以x= +k,k∈Z,所以函数y=cos 的图象在[-1,1]上与x轴 交点的横坐标为- , . 作出函数y=cos 在[-1,1]上的图象,如图所示.   第1讲　描述运动的基本概念 由图可知,当x∈ 时,y<0,当x∈ 时,y>0,当x∈ 时,y<0. 易知函数y=x2-ax+b的图象开口向上,对称轴方程为x= ,所以其在 上单调递减,在 上单调 递增, 所以要使(x2-ax+b)cos ≤0对x∈[-1,1]恒成立,需满足 =- , - +b=0,解得a=- ,b=- ,故a+b=-  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　正、余弦(型)函数的单调性与最值 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025四川攀枝花第七高级中学月考]已知函数f(x)=sin (ω>0)在 上单调递增,在 上 单调递减,则ω的取值范围为 ( ) A.(0,1]　　    B.(0,2]　　     C.[1,2]　　    D.(1,2)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为ω>0,所以当x∈ 时,ωx+ ∈ . 因为函数f(x)在 上单调递增,所以 + ≤ ,解得ω≤2,所以0<ω≤2. 因为ω>0,所以当x∈ 时,ωx+ ∈ . 因为函数f(x)在 上单调递减,且 < + ≤ , < + ≤ , 所以只需 + ≥ ,解得ω≥1. 综上,ω的取值范围为[1,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏盐城中学质量检测]已知函数f(x)=sin (ω>0)在区间 内有最大值,但无最小值,则 ω的取值范围为( ) A. 　　     B.  C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x∈ ,ω>0时,ωx+ ∈ . 因为f(x)在区间 内有最大值,但无最小值, 所以 < ω+ ≤ ,解得 <ω≤ . 当ω> 时,令ωx+ = ,得x= ,此时 ∈ ,所以函数f(x)在 上单调递增,在 上单调递 减. 因为f(x)在区间 内无最小值, 所以 f(0)> f ,即sin >sin ,即 >sin , 所以 < ω+ < ,解得 <ω<4. 综上,ω的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏泰州口岸中学月考]已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,若函数f(x)在  上的图象与直线y=2有且仅有一个交点,则ω的取值范围为 ( ) A.[2,5)　　    B.[1,5)　　     C.[1,2]　　      D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　记f(x)的最小正周期为T.因为函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象关于原点对称,且在区间 上 单调递增,所以 ≤ ,所以T≥ ,即 ≥ ,所以0<ω≤ . 令f(x)=2sin ωx=2,得x= + (k∈Z),所以在(0,+∞)上, f(x)的图象与直线y=2的第一个交点的横坐标为  ,第二个交点的横坐标为 + ,所以 ≤ < + ,解得1≤ω<5. 综上,1≤ω≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏启东中学月考]已知函数f(x)=4sin2 +4sin x,x∈[0,a]的值域为[4,5],则实数a的取值范围 为 ( ) A. 　　     B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=4sin2 +4sin x=4cos2x+4sin x=4(1-sin2x)+4sin x=-4sin2x+4sin x+4. 令t=sin x,g(t)=-4t2+4t+4=-4 +5. 易知函数g(t)的图象开口向下,对称轴方程为t= ,所以g(t)max=g =5. 令g(t)=4,得-4t2+4t+4=4,解得t=0或t=1. 由题知a>0.要使g(t)的最小值为4,t的取值范围需包含t=0或t=1,且t不为负数(否则g(t)<4),所以0<a≤π(x> π时,sin x是负的). 又g(t)能取到最大值5,即t=sin x在[0,a]上能取得 ,所以 ≤a≤π. 故实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏南京励志高级中学月考]已知函数f(x)=2sin (ω>0)在 上存在最值,且在  上单调,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为ω>0,所以当0<x< 时,- <ωx- < - . 因为函数f(x)在 上存在最值,所以 - > ,解得ω>2. 因为ω>0,所以当 <x<π时, - <ωx- <πω- . 因为函数f(x)在 上单调, 所以 ⊆ kπ- ,kπ+  ,k∈Z, 所以 k∈Z, 解得 k- ≤ω≤k+ ,k∈Z, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 k- ≤k+ ,k∈Z, 解得k≤ ,k∈Z. 又因为ω>2,所以k=2, 此时 ≤ω≤ . 所以ω的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025陕西汉中质量检测]已知函数f(x)=cos ,记f(x)在 上的最大值为M(t),最小值为m(t), 若t∈ ,则m(t)-M(t)的取值范围是______________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当t∈ 时,2t+ ∈ ,t+ ∈ ,2 + ∈ . 易知函数y=cos x在 上单调递减,在 上单调递增, 所以f(x)min=-1, f(x)max= f =cos =-sin , 所以m(t)-M(t)=sin -1. 因为t∈ ,所以2t+ ∈ ,所以sin ∈ , 所以m(t)-M(t)=sin -1∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　正、余弦(型)函数性质的综合应用 12.[多选题][2025辽宁抚顺六校协作体期末]关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列选项正确的是( ) A. f(x)的最小正周期是2π B. f(x)在区间 上单调递减 C. f(x)的图象在[-π,π]上与x轴有4个交点 D. f(x)的最大值为2     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,易得f =sin + = + =1, f =sin + =- + = 0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误; 对于B,当x∈ 时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间 上单调递减,故B正确; 对于C,当x∈[-π,π]时, f(x)=sin|x|+|sin x|=  若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π, 若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π, 所以函数f(x)的图象在[-π,π]上与x轴有3个交点,故C错误; 对于D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2, 又f =sin + =2,所以f(x)的最大值为2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2026江苏南京师范大学附属中学月考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在区间 上 单调递增,且函数 f 是奇函数,则 ( ) A. f =0 B. f =0 C.关于x的方程f(x)=-1在区间[0,π)上不相等的实数解的个数不超过3 D.若 f =f(x),则函数f(x)的最小正周期为      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数 f 是奇函数,所以 f =- f ,令x=0,得 f =0,故B正确. 因为 f =0,所以 +φ=k1π,k1∈Z,所以φ=- +k1π,k1∈Z,所以f(x)=sin ,k1∈Z, 所以 f =sin  =sin - +k1π ,k1∈Z. 因为函数f(x)在区间 上单调递增,所以 - ≥ = (ω>0),所以0<ω≤6,但ω的具体数值不确定,故f  的具体数值不确定,故A错误. 当x∈[0,π)且ω>0时,ωx+φ∈[φ,ωπ+φ),因为0<ω≤6,所以ωπ+φ-φ=ωπ∈(0,6π],所以关于x的方程f(x)=-1在 区间[0,π)上不相等的实数解的个数不超过3,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 若 f =f(x),则f(x)的图象关于直线x= 对称,所以 +φ= +k2π,k2∈Z,又 +φ=k1π,k1∈Z,所以φ=π +(2k2-k1)π,k1,k2∈Z, 又|φ|<π,所以φ=0. 因为 = +k2π,k2∈Z, 所以ω= +3k2,k2∈Z①. 因为 =k1π,k1∈Z, 所以ω= k1,k1∈Z②. 由①②结合0<ω≤6,得ω= 或ω= . 当ω= 时, f(x)=sin x,当x∈ 时, < x< ,所以f(x)在区间 上单调递减,不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 当ω= 时, f(x)=sin x,当x∈ 时, < x< ,所以函数f(x)在区间 上单调递增,符合题意.所以函 数f(x)的最小正周期为 = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏宿迁宿豫中学期末]已知函数f(x)=-2sin2x+2cos x+3t,其中t为常数. (1)当t= ,x∈ 时,若f(x)=0,求x的值; (2)设函数f(x)的图象在 上与x轴交点的横坐标分别为m,n. ①求实数t的取值范围; ②证明:m+n>- . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当t= 时, f(x)=-(2-2cos2x)+2cos x+3× =2cos2x+2cos x. 令f(x)=2cos x(cos x+1)=0, 得cos x=-1或cos x=0. 因为x∈ ,所以cos x∈[-1,0),所以cos x=-1,所以x=π. (2)①令k=cos x,则y=-2sin2x+2cos x+3t=2cos2x+2cos x+3t-2=2k2+2k+3t-2. 因为x∈ ,所以cos x∈(-1,0),即k∈(-1,0). 易知函数y=cos x在 上单调递增,所以关于k的方程2k2+2k+3t-2=0在(-1,0)上有两个不相等的实数 根, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得 <t< ,故实数t的取值范围为 . ②证明:令k1=cos m,k2=cos n, 则k1,k2为关于k的方程2k2+2k+3t-2=0在(-1,0)上的两实数根, 则k1+k2=-1,k1k2= ,即cos m+cos n=-1,cos m·cos n= , 所以(cos m+cos n)2=(-1)2=1,即cos2m+cos2n=1-2cos m·cos n=1-2× =3-3t,即cos2m-sin2n=2-3t. 由①知2-3t∈ ,所以cos2m<sin2n,又m,n∈ ,所以cos m>sin n. 由于-π<n<- ,所以-π<- -n<- ,所以cos m>cos . 易知y=cos x在 上单调递增,所以m>- -n,即m+n>- . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义新曲线考查三角函数图象的对称性 15.[2025江苏徐州质量检测]如图所示的“心形”曲线C恰好是由半圆C1,半圆C2,曲线y=cos x+1(0≤x≤ π),y=-cos x-1(0≤x≤π)构成的,则“心形”曲线C所围成的区域的面积等于______.       3π 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设F(π,0),E(0,2),连接EF,取线段EF的中点G,则G 在曲线C上,如图,   易知曲线y=cos x+1(0≤x≤π)关于点G对称,所以可将曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域割 补为直角三角形OEF,于是曲线y=cos x+1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积就是直角三角形OEF 的面积,S△OEF= |OE|·|OF|= ×2×π=π. 根据对称性,可得曲线y=-cos x-1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域的面积为π,又“心形”曲线C所围成 的区域中,两个半圆的面积为 ×π×12+ ×π×12=π,所以“心形”曲线C所围成的区域的面积为π+π+π=3π. 第1讲　描述运动的基本概念 $