第7章 04-7.2-02-7.2.2 同角三角函数关系(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“7.2.2 同角三角函数关系”，系统覆盖平方关系、商数关系的应用，通过题组衔接三角函数概念与实际解题，构建从定义理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于分层设计题组（基础过关到能力提升），结合具体实例（如已知sinα求tanα、利用sin±cos与sin cos关系求值），培养数学思维中的推理能力和运算能力，强化数学语言的符号表达与模型应用。学生能循序渐进巩固知识，教师可依托详细解析提升教学效率。

第7章 三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 7.2　三角函数概念 7.2.2　同角三角函数关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　同角三角函数关系的简单应用 1.[2025江苏无锡市北高级中学月考]已知sin α= ,α∈ ,则tan α= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      B     解析　　∵sin α= ,α∈ ,∴cos α=- =- ,∴tan α= =- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东菏泽第一中学质量检测]已知tan α=-2,且0<α<π,则cos α-sin α的值为( ) A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      A     解析　　因为tan α=-2,且0<α<π, 所以α∈ . 又tan α= =-2,sin2α+cos2α=1, 所以sin α= ,cos α=- . 则cos α-sin α=- - =- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知sin α= ,cos α=- ,且α为第二象限角,则tan α=___. 　-  解析　∵α为第二象限角, ∴  解得m<-1或m> . ∵sin2α+cos2α= =1,即(2m-5)2+m2=(m+1)2,∴2m2-11m+12=0,解得m= (舍去)或m=4,∴sin α= , cos α=- , ∴tan α= =- . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 4.[2026江苏无锡第一中学质量检测]已知sin x·cos x= 且 <x< ,则cos x-sin x= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      B     解析　　因为 <x< ,所以cos x<sin x,所以cos x-sin x<0. 因为sin x·cos x= ,所以(cos x-sin x)2=cos2x-2sin xcos x+sin2x=1-2× = ,所以cos x-sin x=- . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏苏州中学质量评估]已知α∈(0,π),且sin α-cos α= ,则tan α= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      C     解析　　因为sin α-cos α= ①,所以(sin α-cos α)2= ,即1-2sin αcos α= , 所以2sin αcos α= >0.又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α= = ②. 联立①②,得sin α= ,cos α= ,所以tan α= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025广东汕头期末]已知sin α+cos α= ,α∈ ,则 = ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      A     解析　　由sin α+cos α= 两边平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α= ,即sin αcos α=- <0,又α∈ ,故 sin α>0,cos α<0.所以cos α-sin α<0,而(cos α+sin α)2+(cos α-sin α)2=2,解得cos α-sin α=- ,所以 =  = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　齐次式的求值问题 7.[2025湖南岳阳第一中学月考]已知2sin θ-cos θ=0,则 = ( ) A.1　　    B. 　　    C.2　　    D.3     D     解析　　由题意可得tan θ= , 则 = =3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏扬州大学附属中学月考]已知tan α= ,且α为第三象限角,则tan α= ( ) A.2　　    B.3　　    C.-2或3　　    D.2或-3     A     解析　    易知tan α= = = ,整理,得tan2α+tan α-6=0,解得tan α=2或tan α=-3. 因为α为第三象限角,所以tan α>0, 所以tan α=2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.已知cos α-sin α=2sin αtan α,其中α为第一象限角,则tan α= ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.2     B     解析　　由α为第一象限角得,cos α>0,tan α>0, 因为cos α-sin α=2sin αtan α,所以1-tan α=2tan2α,即2tan2α+tan α-1=0,解得tan α= 或tan α=-1(舍去). 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏盐城中学质量检测]已知sin α-3cos α=0,则 =_____.     2 解析　因为sin α-3cos α=0, 所以tan α=3, 所以  = = = =2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用同角三角函数关系式化简与证明 11.[2026江苏苏州星海实验高级中学调研]已知sin θ+sin2θ=1,则cos2θ+cos4θ的值是 ( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　　由sin θ+sin2θ=1得sin θ=1-sin2θ=cos2θ,所以cos2θ+cos4θ=sin θ+sin2θ=1. 第1讲　描述运动的基本概念 12.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ = + . 证明　左边=sin θ +cos θ· =sin θ+ +cos θ+ = + = +  =右边,所以原等式成立. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 7.2　三角函数概念 7.2.2　同角三角函数关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用同角三角函数关系式求值 1.[2025江苏盐城射阳中学检测]已知 =- ,则 = ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      A     解析　　易得 · = = =-1.又 =- ,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州高级中学检测]若钝角α满足 =2,则cos α= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.-      C     解析　　因为 =2,所以1+sin α-cos α=2(1+sin α+cos α), 所以sin α=-1-3cos α,所以sin2α=(-1-3cos α)2,即1-cos2α=9cos2α+6cos α+1, 所以2cos α(5cos α+3)=0,解得cos α=0或cos α=- . 又α为钝角,所以cos α=- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏连云港期中]已知α,β∈ ,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β=( ) A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.-      D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两个根,所以sin α+sin β=- <0,sin αsin β=- <0. 又α,β∈ , 所以cos α>0,cos β>0, 所以cos αcos β=  =  =  = = , 所以tan αtan β= = =- . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[创新题　新考法][2026江苏南京调研]数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,如星形线等.某星形 线如图所示,已知该曲线上一点P(x0,y0)的坐标可以表示为(acos3θ,asin3θ)(a>0),若x0y0= ,且x0+y0= ,则 实数a= ( )   A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵x0y0= ,x0+y0= ,∴x0>0,y0>0. 由题知x0=acos3θ,y0=asin3θ, 又a>0,∴cos θ>0,sin θ>0. ∵x0y0= ,∴acos3θ·asin3θ= ,∴sin θcos θ= ,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+ = , ∴sin θ+cos θ= , ∴x0+y0=acos3θ+asin3θ=a(sin θ+cos θ)·(1-sin θcos θ)=a× × = , 解得a= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏宿迁检测]已知θ∈ ,sin θ-cos θ= ,则sin3θ+cos3θ=_______. 　-  解析　因为sin θ-cos θ= ,所以(sin θ-cos θ)2= ,即1-2sin θcos θ= ,所以 sin θcos θ=- ,所以(sin θ+cos θ)2= . 结合单位圆和三角函数线可知,当θ∈ 时,sin θ>0,cos θ<0,且|cos θ|>|sin θ|,所以sin θ+cos θ<0,所以 sin θ+cos θ=- ,所以sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=- × =- . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　齐次式的求值问题 6.[2026江苏南通海门中学月考]已知 =3,则sin2α-3sin αcos α= ( ) A.-2　　    B.2　　    C.0　　    D.-      D     解析　　由 =3,得 =3, 解得tan α=2, 所以sin2α-3sin αcos α = =  = =- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知sin α+2cos α= ,则 = ( ) A.-3　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为sin α+2cos α= , 所以(sin α+2cos α)2= , 即sin2α+4sin αcos α+4cos2α= , 即 = , 所以 = , 即3tan2α-8tan α-3=0, 解得tan α=3或tan α=- . 因为 = , 第1讲　描述运动的基本概念 所以当tan α=3时,原式=- ; 当tan α=- 时,原式=- . 综上, =- . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026江苏常州前黄高级中学期中]已知θ为△ABC的一个内角,若 = ,则tan θ= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由 = ,得1-tan θ= sin θ, 所以(1-tan θ)2=3sin2θ= = ,整理得tan4θ-2tan3θ-tan2θ-2tan θ+1=0,即tan2θ+ -2  -1=0,所以 -2 -3=0,解得tan θ+ =3或tan θ+ =-1(无解,舍去), 所以tan2θ-3tan θ+1=0,解得tan θ= 或tan θ= . 因为θ为△ABC的一个内角, 所以sin θ>0. 又 = ,所以tan θ<1,(易错点:不要忽略隐含的三角函数的范围) 所以tan θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用同角三角函数关系式化简与证明 9.若π<α< ,则 + 的化简结果是 ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　     +  =  +  = + , 因为π<α< , 所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0, 故原式= +  =- - =- . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025湖北荆州中学月考]化简: =_____. 解析　原式=  =  =  =  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.(1)证明: - = ; (2)已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)左边 =  =  =  =  = =右边, 所以原等式成立. (2)因为tan2α=2tan2β+1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以tan2α+1=2tan2β+2, 所以 +1=2 , 所以 +1=2 , 所以 = ,所以cos2β=2cos2α, 所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1. 第1讲　描述运动的基本概念 $