第7章 03-7.2-01-7.2.1 任意角的三角函数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“任意角的三角函数”核心内容，涵盖概念应用、符号判断及三角函数线应用。通过从锐角三角函数过渡，以坐标法定义任意角三角函数，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计题组，基础题如终边上点求三角函数值巩固概念，能力题如终边在直线上的分类讨论深化逻辑推理。结合单位圆图形分析三角函数线，培养几何直观，易错警示强调细节，提升数学思维严谨性。助力学生理解本质，帮助教师高效教学。

第7章 三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 7.2　三角函数概念 7.2.1　任意角的三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　三角函数的概念及其应用 1.[2026江苏淮安淮阴中学期中]已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点P(4,-3), 则cos θ-sin θ= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      C     解析　　由三角函数的概念,得cos θ= = ,sin θ= =- ,所以cos θ-sin θ= - = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(1,y),且sin α=- , 则tan α= ( ) A.-2　     B.- 　     C. 　     D.2     A     解析　　由三角函数的概念,得sin α=- = ,所以y=-2,所以tan α=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京大学附属中学阶段练习]已知角α的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的正半轴上,终边上 有一点(tan α,3),则sin α= ( ) A. 　　     B.- 　　     C. 　　    D.-      C     解析　　由三角函数的概念得tan α= ,即tan2α=3,所以sin α= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏南通天星湖中学检测]在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0,则cos θ=______.     ±  解析　由点P(3a,-4a),得|OP|= =5|a|, 当a>0时,cos θ= = = ; 当a<0时,cos θ= = =- . 所以cos θ=± . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三角函数值的符号 5.[多选题]下列三角函数值为负数的是 ( ) A.tan 　　    B.tan 505° C.sin 7.6π　　     D.sin 186°     BCD     解析　　对于A,由- 是第三象限角得tan >0,因此A不满足题意;对于B,由505°=360°+145°,得505 °角是第二象限角,所以tan 505°<0,因此B满足题意;对于C,由7.6π=8π-0.4π,得7.6π是第四象限角,所以sin 7.6π<0,因此C满足题意;对于D,由186°角是第三象限角得sin 186°<0,因此D满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏苏州吴江高级中学月考]“点P(sin θ,tan θ)在第二象限内”是“角θ为第三象限角”的  ( ) A.充分不必要条件　 　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件 C     解析　　因为点P(sin θ,tan θ)在第二象限内,所以sin θ<0,tan θ>0,所以角θ为第三象限角,充分性成立. 当角θ为第三象限角时,sin θ<0,tan θ>0,所以点P(sin θ,tan θ)在第二象限内,故必要性成立. 所以“点P(sin θ,tan θ)在第二象限内”是“角θ为第三象限角”的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港东海高级中学学分认定考试]若sin θcos θ<0,且sin θ-cos θ>0,则θ是 ( ) A.第一象限角　　     B.第二象限角 C.第三象限角　　     D.第四象限角     B     解析　　由 得  所以角θ是第二象限角. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题]若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则 的终边位于 ( ) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在x轴正半轴上 D.第二、四象限或在x轴上     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为|cos θ|=cos θ,所以cos θ≥0,则θ的终边位于第一、四象限或在x轴的正半轴上. 因为|tan θ|=-tan θ,所以tan θ≤0,则θ的终边位于第二、四象限或在x轴上. 所以θ的终边位于第四象限或在x轴的正半轴上, 所以k·360°+270°<θ≤k·360°+360°,k∈Z, 所以k·180°+135°< ≤k·180°+180°,k∈Z. 令k=2n,n∈Z,可得n·360°+135°< ≤n·360°+180°,n∈Z,则 的终边位于第二象限或在x轴的负半轴上; 令k=2n+1,n∈Z,可得n·360°+315°< ≤n·360°+360°,n∈Z,则 的终边位于第四象限或在x轴的正半轴上. 综上可得, 的终边位于第二、四象限或在x轴上. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解 题错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　三角函数线的简单应用 9.若- <α<- ,则sin α,cos α,tan α的大小关系是 ( ) A.sin α<tan α<cos α B.tan α<sin α<cos α C.cos α<sin α<tan α D.sin α<cos α<tan α     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,在单位圆中,作 内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线.   由图知,|OM|<|MP|<|AT|,又有向线段OM,MP分别与x轴,y轴的正方向相反,有向线段AT与y轴的正方向相 同,所以sin α<cos α<tan α. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西南昌第二中学月考]已知a=sin ,b=tan ,c=log162,则 ( ) A.a<b<c　　    B.b<a<c　　     C.c<a<b　　    D.a<c<b     D     解析　    c=log162=lo 2= log22= . 由三角函数线可得当x∈ 时,tan x>x>sin x, 所以tan > >sin ,即a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 11.使sin x≤cos x成立的x的一个取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.[0,π]     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,分别作出 ,- 的正弦线和余弦线.   由图可得,sin =cos ,sin =cos ,且当- <x<0时,cos x>sin x;当0≤x< 时,cos x>sin x,故当-  ≤x≤ 时,sin x≤cos x. 第1讲　描述运动的基本概念 12.函数y=lg(2sin x-1)+ 的定义域为_________________________.      (k∈Z) 第1讲　描述运动的基本概念 解析　要使原函数有意义,必须有 即  在[0,2π]内,当sin x= 时,x= 或x= ;当cos x= 时,x= 或x= . 作出图形,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 由图得  故2kπ+ ≤x<2kπ+ (k∈Z). 所以原函数的定义域为 2kπ+ ,2kπ+  (k∈Z). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 7.2　三角函数概念 7.2.1　任意角的三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　三角函数的概念及其应用 1.[2025广东茂名期末]已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+ =( ) A.-6 　　    B.6 　　     C.0　　     D.-3      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题知cos α≠0. 设角α的终边上一点为(a,-3a)(a≠0),则r= = |a|. 当a>0时,r= a,sin α= =- ,cos α= = , 所以10sin α+ =-3 +3 =0; 当a<0时,r=- a,sin α= = ,cos α= =- , 所以10sin α+ =3 -3 =0. 综上,10sin α+ =0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材深研拓展][多选题]一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设角α的终边上异于原点的任意一 点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值 , , 分别叫作角α的余切、余割、正割,分别记 作cot α,csc α,sec α.cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有 ( ) A.cot =1 B.sin α·sec α=1 C.sec α中α的范围是 α α≠kπ+ ,k∈Z  D.设角α的终边经过点P(2,4),则csc α+sec α=  ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    cot = =1,故A正确;sin α·sec α=sin α· =1不一定成立,故B不正确;y=sec x= ,则cos x≠0,即x≠kπ+ ,k∈Z,故C正确; ∵角α的终边经过点P(2,4), ∴r= =2 , ∴csc α= = ,sec α= = , ∴csc α+sec α= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京大学附属中学阶段练习]在平面直角坐标系xOy中,角α,β均以Ox为始边,它们的终边关于直 线y=x对称且sin α+cos α=- ,若角β的终边与单位圆交于点P(m,n),且n<0,则实数m= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      C     解析　　因为角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称, 所以角α的终边与单位圆交于点(n,m),记为P', 所以sin α+cos α=m+n=- ①. 因为点P(m,n)在单位圆上,所以m2+n2=1②. 联立①②,得 或 (舍去).所以m= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题]如图,角α,β(0<α<β<π)的始边与x轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于点A,B,M为线段AB 的中点,N为 的中点,则下列说法中正确的是 ( )   A.∠AOB=β-α B.点N的坐标为  C.|OM|=cos  D. (cos α+cos β)=cos cos      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为0<α<β<π,所以∠AOB=β-α,故A正确. 因为N为 的中点,所以∠BON=∠AON= ∠AOB= ,∠xON=α+ = ,所以点N的坐标为  ,故B错误. 由题知OM⊥AB,所以|OM|=|OA|cos =cos ,故C正确. 易得xM=|OM|cos∠xOM=cos ·cos ,A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),则M , 所以 (cos α+cos β)=cos cos ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒 转 弧度,点Q按顺时针方向每秒转 弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是___________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可知,点P,Q在第1 804次相遇的时间t=1 804×2π÷ =3 608(秒),故点P转过的角度为  ×3 608=300π+ , 故对应坐标为 ,即P . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三角函数值的符号 6.[多选题]已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(2-t,t),若t>0,则下列各式的 符号不能确定的是 ( ) A.cos α　　     B.sin α C.sin α-cos α　　    D.sin α+cos α     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由三角函数的概念知sin α= ,cos α= . (2-t的符号不确定,需要分类讨论) 当0<t<2时,2-t>0,cos α>0, 当t=2时,2-t=0,cos α=0, 当t>2时,2-t<0,cos α<0, 故cos α的符号不能确定; 因为t>0,所以sin α>0,故sin α的符号能确定; sin α-cos α= - = , (2t-2的符号不确定,需要分类讨论) 当0<t<1时,2t-2<0,sin α-cos α<0, 第1讲　描述运动的基本概念 当t=1时,2t-2=0,sin α-cos α=0, 当t>1时,2t-2>0,sin α-cos α>0, 故sin α-cos α的符号不能确定; sin α+cos α= + = >0, 故sin α+cos α的符号能确定. 解后反思　正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,余弦值的符号取决于横坐标x的符号. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江苏江阴高级中学检测]若角α是第二象限角,则下列说法正确的有( ) A.sin >0　　    B.tan >0 C.sin 2α<0　　  D.cos 2α<0     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为角α是第二象限角, 所以2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z, 所以kπ+ < <kπ+ ,k∈Z,4kπ+π<2α<4kπ+2π,k∈Z, 所以当k为偶数时, 是第一象限角;当k为奇数时, 是第三象限角; 2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴, 所以tan >0,sin 2α<0,故B,C正确. 当 是第三象限角时,sin <0,故A错误. 当2α是第四象限角时,cos 2α>0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026河北9+1联盟期中]从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数字,分别作为角α,β的弧度数,则满足 +  =0的不同取法种数为 ( ) A.13　　    B.14　　    C.15　　    D.16     B     解析　    易知1是第一象限角,2,3是第二象限角,4是第三象限角,5,6是第四象限角. 对于函数f(x)= ,当x是第一、二象限角时, f(x)=1;当x是第三、四象限角时, f(x)=-1. 对于函数g(x)= ,当x是第一、四象限角时,g(x)=1;当x是第二、三象限角时,g(x)=-1. 要使 + =0,则需f(α)=1且g(β)=-1或f(α)=-1且g(β)=1. 所以当α=1时,β=2,3,4;当α=2时,β=3,4;当α=3时,β=2,4;当α=4时,β=1,5,6;当α=5时,β=1,6;当α=6时,β=1,5,共1 4种不同取法. 第1讲　描述运动的基本概念 $