7.2.1任意角的三角函数第2课时课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7.2.1 任意角的三角函数 第2课时 三角函数线 1 【学习目标】 1.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2 知识点一 有向线段 规定了______（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段. 类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段在有向直线 上或与有向直线平行,根据有向线段与有向直线 的方向相同或相反,分别把它 的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为 . 方向 课 前 预 习 3 知识点二 三角函数线 1.已知角 的终边位置（图中圆为单位圆），则角 的三条三角函数线如图所示. 有向线段，,分别叫作角 的正弦线、余弦线、正切线，则 _____，_____， ____. 课 前 预 习 4 2.三角函数线的方向 正弦线由垂足指向角 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切 线由切点指向切线与角 的终边或其反向延长线的交点． 课 前 预 习 5 知识点三 三角函数的定义域 三角函数 解析式 定义域 正弦函数 ___ 余弦函数 ___ 正切函数 ____________________ 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）三角函数线的长度等于三角函数值． ( ) × （2）三角函数线的方向表示三角函数值的正负． ( ) √ （3）角 与角 的正切线相同. ( ) × 课 前 预 习 7 探究点一 作三角函数线 例1 分别作出角 和 的正弦线、余弦线和正切线． 解：①在直角坐标系中作单位圆，如图， 以轴为始边作 角，角的终边与单位圆交于点， 作轴，垂足为， 由单位圆与轴正方向的交点 作轴的垂线，与的 反向延长线交于点，则， ，， 即 的正弦线为有向线段，余弦线为有向线段 ，正切线为有向线段 . 课 中 探 究 8 ②同理可作出 的正弦线、余弦线和正切线，如图． ， ， ， 即 的正弦线为有向线段 ， 余弦线为有向线段 ， 正切线为有向线段 . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点 作 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. （2）作正切线时，应从点引单位圆的切线交角的终边于一点 ，即可得 到正切线 ，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反 向延长，再按上述作法来作正切线. 课 中 探 究 10 探究点二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1） 与 ； 解：如图所示，在单位圆中，角 的终边为，角 的终边为,作出角 与 的正弦线、余弦线、正切线， 由图观察可得，， ， 又，， ， ，， . 则 . 课 中 探 究 11 （2） 与 ； 解： . （3） 与 . 解： . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： （1）关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线． （2）注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 课 中 探 究 13 探究点三 利用三角函数线解不等式 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边范围，并由此写出角 的集合． （1） ； 解：作直线，交单位圆于，两点，连接， ， 则与围成的区域（图①中阴影部分）即为角 的终边 的范围. 故满足条件的角 的集合为 . 课 中 探 究 14 （2） . 解：作直线，交单位圆于，两点，连接与 ， 则与围成的区域（图②中的阴影部分）即为角 的终 边的范围. 故满足条件的角 的集合为 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 1.利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤： （1）作出取等号的角的终边； （2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； （3）将图中的范围用不等式表示出来． 2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式（组），然后借助三角 函数线解此不等式（组）即可得函数的定义域． 课 中 探 究 16 变式 求函数 的定义域． 解：， . 作直线,交单位圆于,两点，连接与，则 与（不包括， ）围成的区域（图中的阴影部分） 即为角 的终边的范围， , ， 函数的定义域为 . 课 中 探 究 17 $$