第6章 09-单元整合练3 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦幂函数、指数函数和对数函数的综合应用，通过单元整合练习串联函数性质判断、反函数、不等式恒成立等知识点，从基础图象辨析到复杂问题转化，搭建递进式学习支架。 其特色是精选各地期末、月考真题，以构造函数、换元转化、数形结合等方法培养数学思维，如通过直线与对数曲线交点比较参数大小发展几何直观，方法总结系统归纳不等式问题转化规则强化应用意识，助力学生提升综合解题能力，为教师提供丰富教学案例与策略。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 单元整合练3　幂函数、指数函数、 对数函数的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025江苏无锡运河实验中学月考]已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )   A.f(x)=xln x　　    B.f(x)=x-  C.f(x)= 　　    D.f(x)=ex+e-x     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题图可知, f(x)是定义域为R的奇函数. 对于A,其定义域为(0,+∞),故A不符合题意. 对于B,其定义域为{x|x≠0},故B不符合题意. 对于C,其定义域为R,又f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数,且当x→∞时, f(x)→0,x>0时, f(x)>0,x<0时, f(x)< 0,故C符合题意. 对于D,其定义域为R,又f(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)是偶函数,故D不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏徐州期末]已知函数f(x)的定义域为(e,+∞), f(3)=ln 3,对任意的x1,x2∈(e,+∞),当x1<x2时,有  < - ,若f(ea)<4ln 3-aea,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,ln 3)　　    B.(1,ln 3) C.(ln 3,e)　　      D.(ln 3,3)     B     解析　　由 < - ,x1,x2∈(e,+∞),得f(x1)-f(x2)<x2ln x2-x1ln x1,即f(x1)+x1ln x1<f(x2)+x2ln x2. 构造函数g(x)=f(x)+xln x,x∈(e,+∞),则g(x1)<g(x2),所以g(x)在(e,+∞)上单调递增. 由f(ea)<4ln 3-aea,得f(ea)+aea<4ln 3,即f(ea)+ealn ea<ln 3+3ln 3=f(3)+3ln 3,所以g(ea)<g(3),所以e<ea<3,解得1 <a<ln 3,故实数a的取值范围是(1,ln 3). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025陕西榆林期末]已知正数a,b,c满足a+log4a=3,3b+log2b=8,5c+lo c=14,则( ) A.a>b>c　　    B.c>b>a　　     C.c>a>b　　    D.a>c>b     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由a+log4a=3,得log2a=6-2a,所以a是直线y=6-2x与曲线y=log2x交点的横坐标. 同理,b是直线y=8-3x与曲线y=log2x交点的横坐标,c是直线y=7- x与曲线y=log2x交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出直线y=6-2x,y=8-3x,y=7- x与曲线y=log2x,如图所示.   由图可知,a>c>b. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏盐城期末]已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f (x)[f(x)+f(2)-1],若y=g(x)在区间 上单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) A.[2,+∞)　　    B.(0,1)∪(1,2) C. 　　     D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,∴y=f(x)与y=ax互为反函 数,∴f(x)=logax, ∴g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(logax)2+(loga2-1)·logax. 令t=logax,h(t)=t2+(loga2-1)t,h(t)的图象的对称轴为直线t= . 当a>1,x∈ 时,t∈ loga ,loga2 , f(x)=logax单调递增,要使y=g(x)在区间 上单调递增,则需h(t)在  上单调递增, ∴ ≤loga ,解得 ≤a<1,与a>1矛盾,故舍去. 当0<a<1,x∈ 时,t∈ loga2,loga  , f(x)=logax单调递减,要使y=g(x)在区间 上单调递增,则需h(t) 第1讲　描述运动的基本概念 在 上单调递减, ∴ ≥loga ,解得0<a≤ 或a>1,又0<a<1,∴0<a≤ . 综上,实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏江阴高级中学月考]已知函数f(x)=x3- +3,且f(a2)+f(3a-4)>4,则实数a的取值范围是  ( ) A.(-∞,-4)∪(1,+∞) B.(-4,1) C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-1,4) A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=x3- +3=x3- + +2=x3+ +2. 令g(x)=x3+ ,则f(x)=g(x)+2, 所以由f(a2)+f(3a-4)>4得g(a2)+2+g(3a-4)+2>4,所以g(a2)+g(3a-4)>0,即g(a2)>-g(3a-4). 易知g(x)的定义域为R,关于原点对称,且g(-x)=(-x)3+ =-x3+ =-g(x),所以g(x)是R上的奇函数, 所以-g(3a-4)=g(4-3a). 易知g(x)=x3+ =x3- +1,y=x3在R上单调递增,y= 在R上单调递减,所以g(x)在R上单调递增,所 以a2>4-3a,解得a>1或a<-4,所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025河北部分学校期末]已知a=log0.32,b=log0.22,c=log25,则以下结论正确的是 ( ) A.bc<- 　　     B.ac<-  C.(a+1)(b+1)>1　　     D.(b+1)(2a-1)>-1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    bc=log0.22×log25= ×log25=-1>- ,故A错误. ac=log0.32×log25=log0.32× =log0.35,- =log0.3 . ∵53×34=125×81>125×80=104,∴53> ,即5> ,∴log0.35<- ,故B正确. 由(a+1)(b+1)>1,得ab+a+b>0,易知a<0,b<0,∴ + >-1, 而 + =log20.3+log20.2=log20.06<log20.5=-1,故C错误. 由(b+1)(2a-1)>-1,得2ab+2a-b>0, ∴ - <2,而 - =log20.3-2log20.2=log2 =log27.5>log24=2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026黑龙江大庆实验中学期末]已知函数f(x)= g(x)=|x(x-2)|,若方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有实 数根之和为4,则实数a的取值范围是 ( ) A.(1,+∞)　　     B.[1,+∞)　　     C.(-∞,1)　　    D.(-∞,1]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令g(x)=t,则f(t)+t-a=0. 易知f(t)+t-a=0的实数根的个数即为函数y=f(t)与函数y=a-t的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(t)与函数y=a-t的图象,如图1所示.   在同一平面直角坐标系中作出函数y=g(x)与y=t的图象,如图2所示. 第1讲　描述运动的基本概念   当a>1时,函数y=f(t)与函数y=a-t的图象有1个交点,且交点的横坐标大于1,所以g(x)=t>1,此时函数y=g(x) 与y=t(t>1)的图象有2个交点,且这2个交点关于直线x=1对称,所以方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有实数根之 和为2,与题意不符. 当a=1时,函数y=f(t)与函数y=a-t的图象有2个交点,且交点的横坐标分别为0,1. 令g(x)=0,得x=0或x=2, 令g(x)=1,即|x(x-2)|=1,得x=1或x=1+ 或x=1- ,此时函数y=g(x)与y=t的图象有5个交点, 又0+2+1+1+ +1- =5,所以方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有实数根之和为5,与题意不符. 当a<1时,函数y=f(t)与函数y=a-t的图象有2个交点,且一个交点的横坐标小于0,另一个交点的横坐标在 第1讲　描述运动的基本概念 (0,1)内. 令g(x)<0,无解; 令0<g(x)<1,由图2可知有4个解,且这4个解之和为4, 所以方程f(g(x))+g(x)-a=0的所有实数根之和为4,符合题意. 综上,实数a的取值范围是(-∞,1). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南多校联考]已知函数f(x)= 若f(x)在(0,+∞)上存在最小值,则实数a的取值范围 是_______. 解析　当0<x<a时, f(x)单调递减,此时没有最小值; 当x≥a时, f(x)单调递增,其最小值为4a. 因为f(x)在(0,+∞)上存在最小值, 所以4a≤-2log2a,即4a+2log2a≤0. 令g(a)=4a+2log2a, 易知g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g = +2log2 =0,所以0<a≤ . 故实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏苏州星海实验高级中学调研]已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,若f(x1)=g(x2)=t,则x1+x2+2-t2的最 大值为_____. 解析　易知函数y=ex,y=x均为R上的增函数,所以函数f(x)=ex+x为R上的增函数. g(x)=ln x+x=eln x+ln x=f(ln x). 因为f(x1)=g(x2)=f(ln x2)=t,其中t∈R,所以x1=ln x2,所以x1+x2+2-t2=ln x2+x2+2-t2=t+2-t2=- + ≤ ,当且 仅当t= 时,等号成立,所以x1+x2+2-t2的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏徐州调研]已知∀x∈[-2,0],∀t∈[-2,0],不等式|log2(4x-a·2x+5)-2-t|≤2恒成立,则实数a的取值 范围是__________.     [-2,2] 第1讲　描述运动的基本概念 解析　|log2(4x-a·2x+5)-2-t|≤2⇔-2≤log2(4x-a·2x+5)-2-t≤2⇔2-t-2≤log2(4x-a·2x+5)≤2-t+2. 易知函数y=2-t在[-2,0]上单调递减,所以1≤2-t≤4. 因为∀t∈[-2,0],不等式2-t-2≤log2(4x-a·2x+5)≤2-t+2恒成立,所以2≤log2(4x-a·2x+5)≤3,所以4≤4x-a·2x+5≤ 8⇔2x- ≤a≤2x+ . 令2x=u,u∈ ,则∀u∈ ,不等式u- ≤a≤u+ 恒成立. 易知函数y=u- 在 上单调递增,所以 =-2,函数y=u+ 在 上单调递减,所以 =2, 所以-2≤a≤2,即实数a的取值范围是[-2,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏南京第一中学月考]已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(x∈R)是偶函数,其中k为实数.　     (1)求k的值; (2)若函数g(x)=9f(x)·3x-2m·3x+1(0≤x≤2),是否存在实数m,使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不 存在,请说明理由.　     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)是偶函数, 所以f(-x)-f(x)=[log9(9-x+1)-kx]-[log9(9x+1)+kx]=log9 -2kx=log99-x-2kx=-(2k+1)x=0, 所以2k+1=0,解得k=- . (2)由(1)得f(x)=log9(9x+1)- x=log9(3x+3-x),所以g(x)=9f(x)·3x-2m·3x+1=(3x+3-x)·3x-2m·3x+1=32x-2m·3x+2. 设t=3x,x∈[0,2],则t∈[1,9], 令h(t)=t2-2mt+2. 当m≥9时,h(t)在[1,9]上单调递减,所以h(t)min=h(9)=83-18m=0,解得m= <9,不符合题意,舍去; 当1<m<9时,h(t)在[1,m]上单调递减,在[m,9]上单调递增,所以h(t)min=h(m)=-m2+2=0,解得m=± ,所以m=  ; 第1讲　描述运动的基本概念 当m≤1时,h(t)在[1,9]上单调递增,所以h(t)min=h(1)=3-2m=0,解得m= >1,不符合题意,舍去. 综上,存在m= ,使得g(x)的最小值为0. 第1讲　描述运动的基本概念 12.已知函数f(x)=2-log2x,g(x)=  (1)求g(x)的最大值; (2)若对任意的x1∈[4,16],x2∈R,不等式f(2kx1)·f( )>g(x2)恒成立,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x≤1时,g(x)=|2x-1|,此时0<2x≤2,-1<2x-1≤1,则0≤g(x)=|2x-1|≤1; 当x>1时,g(x)=f(x)-1=1-log2x,单调递减,此时g(x)<g(1)=1. 综上所述,当x=1时,g(x)取最大值,且最大值为1. (2)由(1)得g(x)≤1,所以对任意的x1∈[4,16], f(2kx1)·f( )>1恒成立, 由题意得, f(2kx1)·f( )=[2-log2(2kx1)](2-log2 )=2(2-k-log2x1)·(1-log2x1), 令m=log2x1,2≤m≤4, 则对任意的x1∈[4,16], f(2kx1)·f( )>1恒成立等价于对任意的m∈[2,4],2(2-k-m)(1-m)>1恒成立, 即2m2+2(k-3)m-2k+3>0对任意的m∈[2,4]恒成立. 令h(m)=2m2+2(k-3)m-2k+3,m∈[2,4], 易知h(m)=2m2+2(k-3)m-2k+3的图象开口向上,对称轴为直线m=- = . 第1讲　描述运动的基本概念 当 ≤2,即k≥-1时,h(m)min=h(2)=8+4(k-3)-2k+3>0,解得k> ,符合题意; 当2< <4,即-5<k<-1时,h(m)min=h = >0,即k2-2k+3<0,无解,舍去; 当 ≥4,即k≤-5时,h(m)min=h(4)=32+8(k-3)-2k+3=6k+11>0,解得k>- ,不符合题意,舍去. 综上所述,实数k的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈ [c,d],(1)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d], f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)min; (2)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d], f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)max; (3)若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d], f(x1)<g(x2),则f(x)min<g(x)min; (4)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d], f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)max; (5)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d], f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)的值域的子集. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025山东淄博实验中学期中]已知函数f(x)=log2(2x+t)-x. (1)若f(2)<0,求实数t的取值范围; (2)若f(x)=x有两个不相等的实根x1,x2,且x1<x2. ①求实数t的取值范围; ②证明:f(x1+1)+f(x2-1)<-1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由f(2)<0得log2(4+t)-2<0,所以log2(4+t)<log24,所以 解得-4<t<0.故实数t的取值范围是(- 4,0). (2)①由题意得,log2(2x+t)=2x,即log2(2x+t)=log222x,即 -2x=t有两个不相等的实根. 设m=2x,m∈(0,+∞),则函数y=t与y=m2-m,m∈(0,+∞)的图象有两个不同的交点. 作出函数y=m2-m在(0,+∞)上的图象,如图所示.   由图可知,t∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 ②证明:由①知 -2x-t=0,t∈ ,所以 + =1, · = =-t,且满足0< < < <1,即x1<-1<x2<0. f(x1+1)+f(x2-1)=log2( +t)-(x1+1)+log2( +t)-(x2-1)=log2 -(x1+x2)=log2  × +t  +t2 -log2(-t)=log2 -log2(-t)=log2 , 又 - =t, 所以f(x1+1)+f(x2-1) =log2  =log2  =log2 . 第1讲　描述运动的基本概念 因为 < <1, 所以- < - <- , 所以 < < , 所以log2 <log2 =-1,即f(x1+1)+f(x2-1)<-1. 第1讲　描述运动的基本概念 $