第6章 03-6.3 对数函数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数函数，从指数函数反函数引入，系统覆盖概念、图象、性质及应用，通过题组衔接幂函数、指数函数知识，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于分层设计练习，结合图象分析与逻辑推理，培养几何直观、推理能力和模型意识。如比较底数大小用“上下比较”法，恒成立问题构建函数模型，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 6.3　对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数函数的概念及其应用 1.若函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f = ( ) A.3　　    B.-3　　  C.-log36　　    D.-log38     B     解析　　∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,∴ 解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f =log2 =-3. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏淮安马坝高级中学期中]若对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f  =_______. 　-2 解析　设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则loga8=3,解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f  =log2 =-2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏无锡宜兴期中]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)>0,请写出一个满足 条件的f(x)的解析式:_____________________.     f(x)=log2x(答案不唯一) 解析　由对数的运算法则知logaMN=logaM+logaN(a>0且a≠1,M,N>0), 所以f(x)可以是对数函数. 又f(2)>0,所以f(x)的解析式可以为f(x)=log2x. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的图象及其应用 4.[2025广东深圳实验学校月考]若函数f(x)=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),函数g(x)=loga(x+1)+ 2(a>0且a≠1)的图象恒过点B(p,q),则mn+pq= ( ) A.-5　　    B.-3　　    C.-2　　    D.-1     B     解析　　对于f(x)=ax+1+2,令x+1=0,得x=-1,此时f(x)=3,故A(-1,3);对于g(x)=loga(x+1)+2,令x+1=1,得x=0,此 时g(x)=2,故B(0,2),所以mn+pq=-3+0=-3. 解题模板　解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1(a≠0),logb1=0(b>0且b≠1),由此确定定点 坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编]当a取4个不同的值时,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图中曲线所示,已知a的 值分别为 , , , ,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a的值依次是 ( )   A. , , , 　　    B. , , ,  C. , , , 　　    D. , , ,      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    解法一:C1,C2对应的底数一定大于1,C3,C4对应的底数一定大于0且小于1,故排除C,D;对数函数 的底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴,可得C1,C2,C3, C4对应的a的值依次为 , , , . 解法二:过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),记其与C1,C2,C3,C4交点的坐标分别为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1), 易知a1,a2,a3,a4分别为各对数函数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底数分别为 , , , . 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结 比较不同对数函数的底数大小的方法 (1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴. (2)左右比较:比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏常州西夏墅高级中学调研]已知ab=1,a>0且a≠1,则函数y=loga(-x)与y=bx的图象可 能是 ( )             BC     解析　　由ab=1,a>0且a≠1,得b= ,所以y=bx= , 若0<a<1,则 >1,则y= 为增函数,y=logax为减函数,又y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以y= loga(-x)为增函数,选项B符合条件; 若a>1,则0< <1,则y= 为减函数,y=logax为增函数,又y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,所以y= loga(-x)为减函数,选项C符合条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江苏高邮调研]已知实数a,b满足等式log2a=log3b,则下列式子可以成立的是( ) A.0<a<b<1　　    B.1<a<b C.a=b=1　 　    D.0<b<a<1     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　在同一平面直角坐标系中作出y=log2x和y=log3x的图象,如图所示.   当a=b=1时,log2a=log3b=0,满足题意. 作直线y=m(m>0),则结合图可得1<a<b. 作直线y=n(n<0),则结合图可得0<b<a<1. 综上,B,C,D中的式子均可能成立,A中的式子不可能成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025吉林四平实验中学月考]若函数f(x)=log8(x-a+2)的图象经过第一、二、三象限,则实数a的取值范 围为__________.     (-∞,1) 解析　要使函数f(x)的图象经过第一、二、三象限,则f(0)=log8(0-a+2)>0, 即-a+2>1,所以a<1,所以实数a的取值范围为(-∞,1). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025浙江金华十校期末调研]如图,平行于y轴的直线分别与函数f(x)=log2x及g(x)=log2x+2的图象交于 点B,C,点A(m,n)为函数g(x)图象上一点,若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,则m=_____.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,BC=2,又△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,所以AB=2,则B(m+2,n). 因为点A,B分别在g(x), f(x)的图象上,所以 所以  解得m= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对数(型)函数的性质及其应用 10.[2025江苏南通调研]已知函数f(x)=ln|x-1|,则f(x+1)是 ( ) A.奇函数且在(0,+∞)上单调递减 B.奇函数且在(0,+∞)上单调递增 C.偶函数且在(0,+∞)上单调递减 D.偶函数且在(0,+∞)上单调递增     D     解析　　因为f(x)=ln|x-1|,所以f(x+1)=ln|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又f(-x+1)=ln|-x|=ln|x|=f(x+1), 所以f(x+1)是偶函数. 当x>0时, f(x+1)=ln x,在(0,+∞)上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2025江苏南京六校联合调研]函数f(x)=lo (-x2-x+2)的单调递减区间为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令-x2-x+2>0,得-2<x<1, 所以函数f(x)的定义域为(-2,1). (易错点:单调区间应在定义域内) 令t(x)=-x2-x+2,x∈(-2,1), 易知t(x)在 上单调递增,在 上单调递减, 又y=lo x在定义域内单调递减,所以f(x)的单调递减区间为 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏盐城期中]设a=log23,b=log46,c= ,则 ( ) A.a>b>c　　    B.c>a>b C.c>b>a　　    D.b>c>a     B     解析　    b=log46=lo 6= log26=log2 . 易知函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,3> ,所以log23>log2 ,即a>b. c= = > =2,a=log23<log222=2,所以c>a. 综上,c>a>b. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏西安交通大学苏州附属中学月考]已知函数f(x)=-log2(x2+3),且f(log2m)<f(2),则实数m的取值 范围为 ( ) A. ∪(4,+∞)　　　　　    B.(0,4)　　     C. 　　　　 　    D.(4,+∞)     A     解析　　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以由f(log2m)<f(2)得f(|log 2m|)<f(2). 令u=x2+3. 当x≥0时,u=x2+3单调递增,y=-log2u单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|log2m|>2,即log2m>2或 log2m<-2,解得m>4或0<m< , 所以实数m的取值范围为 ∪(4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏盐城七校联盟联考]已知函数f(x)=log2(kx2+kx+1)的值域为R,则实数k的最小值为_____.     4 解析　由题意得,y=kx2+kx+1的值域包含(0,+∞). 当k=0时,y=1,与题意不符. 当k≠0时,需满足 解得k≥4. 综上,实数k的取值范围为[4,+∞), 所以实数k的最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025山西长治期末]已知函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)的最大值为2,则实数a=_____.     6 解析　令t=-x2+4x+a-1. 易知y=log3t在定义域内单调递增,所以当t=-x2+4x+a-1取得最大值时,函数y=log3t取得最大值. 由二次函数的性质知,当x=2时,tmax=a+3,则f(x)max=log3(a+3), 所以log3(a+3)=2,解得a=6. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏南通期中]已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1). (1)若f(x)在区间 上的最大值是2,求实数a的值; (2)若函数g(x)= 在R上是增函数,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a>1时, f(x)=logax在 上单调递增,所以loga16=2,所以a2=16,解得a=4或a=-4(舍去); 当0<a<1时, f(x)=logax在  ,16 上单调递减,所以loga =2,所以a2= ,解得a= 或a=- (舍去). 综上,a=4或a= . (2)由题意得 解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围为[2,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026江苏盐城五校联盟月考]已知函数f(x)=  . (1)当x∈[1,8]时,求函数f(x)的值域; (2)若f(x)>mlog2x在x∈[1,8]上恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)= log2 -3 ·  = (log2x-4)(log2x-1) = [(log2x)2-5log2x+4] =  . 当x∈[1,8]时,log2x∈[0,3], 所以当log2x= 时, f(x)有最小值- ;当log2x=0时, f(x)有最大值2. 所以当x∈[1,8]时,函数f(x)的值域为 . (2)令t=log2x. 第1讲　描述运动的基本概念 因为x∈[1,8],所以t∈[0,3]. 所以f(x)>mlog2x在x∈[1,8]上恒成立等价于 (t2-5t+4)>mt在t∈[0,3]上恒成立. 当t=0时,2>0,恒成立. 当0<t≤3时,m< · = · t+ -5 恒成立. 因为t+ -5≥2 -5=-1,当且仅当t= ,即t=2时,等号成立,所以m<- . 综上,实数m的取值范围为 -∞,-  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　反函数 18.[2025广东潮州饶平第二中学期中]已知函数f(x)与g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且f(x)的图象过点 (10,1),则f(100)= ( ) A.-1　　    B.2　　    C. 　　    D.3     B     解析　　易得f(x)=logax. 因为f(x)的图象过点(10,1),所以1=loga10,解得a=10,所以f(x)=log10x, 所以f(100)=log10100=2. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2025福建莆田第二中学月考]若x1满足2x=5-x,x2满足x+log2x=5,则x1+x2等于_____.     5 解析　由题意知5-x1= ,5-x2=log2x2,所以x1和x2是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log2x交点的横坐标. 易知函数y=2x和函数y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称. 又直线y=5-x也关于直线y=x对称,所以点(x1,5-x1)和点(x2,5-x2)所连线段的中点在直线y=x上,所以 =  ,解得x1+x2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 6.3　对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数(型)函数的图象及其应用 1.[2025江苏盐城射阳中学月考]若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=lo  的图象大 致为 ( )             B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,所以0<a<1,所以0<a4<1. 作出函数y=lo |x|的图象,如图中实线所示,又y=lo  =-lo |x|,所以y=lo  的图象与y=lo |x|的图 象关于x轴对称,如图中虚线所示.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏南通栟茶高级中学月考]已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=log2x的图象上的两个不同点,则( ) A. > 　　    B. <  C. > 　　    D. <      B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M,则M , 设点N在函数y=log2x的图象上,且MN∥x轴,则N , 如图,   由图可知点N在M的左侧,即 < . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025浙江台金七校联盟期中]已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),m+n= ,则f(x)在区 间[m2,n]上的最大值为 ( ) A.2　　    B. 　　    C.1　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　作出函数f(x)的图象,如图所示.   因为f(m)=f(n),0<m<n,所以结合图可得-log2m=log2n,所以 =n,所以m+n= +n= ,所以 所以[m2,n]=  . 易知函数f(x)在 上单调递减,在(1,2)上单调递增,又f = =2, f(2)=|log22|=1,所以函数f(x)在  上的最大值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏常州检测]若不等式x2-loga(x+1)<2x-1在x∈ 上恒成立,则实数a的取值范围为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为x2-loga(x+1)<2x-1在x∈ 上恒成立,所以(x-1)2<loga(x+1)在x∈ 上恒成立. 令g(x)=(x-1)2, f(x)=loga(x+1), 若0<a<1,则f(x)=loga(x+1)在 上单调递减, f(x)=loga(x+1)<loga <0,而当x∈ 时,g(x)=(x-1)2> 0,显然不合题意; 当a>1时,画出函数f(x)与g(x)的大致图象,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 由图可知,要想满足(x-1)2<loga(x+1)在x∈  ,1 上恒成立,只需f ≥g ,即loga ≥ ,解得a ≤ ,所以1<a≤ . 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025黑龙江新时代高中教育联合体期末]已知2a=lo a, =lo b,则下列结论正确的是  ( ) A.a<b　　     B.a<  C.b< 　　    D.b-a<      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令y1=2x,y2=lo x,在同一平面直角坐标系中作出y1,y2的图象,如图1,   易知当x= 时,y1= <2,y2=lo  =2,此时y2>y1; 当x= 时,y1= >1,y2=lo  =1,此时y1>y2,所以当2a=lo a时, <a< ,故B错误. 令y3= ,在同一平面直角坐标系中作出y2,y3的图象,如图2, 第1讲　描述运动的基本概念   易知当x= 时,y3= = ,此时y2>y3;当x= 时,y2=lo  =lo  = ,y3= > ,此时y3>y2,所以当  =lo b时, <b< ,故A正确,C正确. 易得- <-a<- ,所以0<b-a< - < - = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025辽宁省重点高中协作校期末]已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=ln x的图象交于A(x1,y 1),B(x2,y2),则下列说法正确的是 ( ) A.x1+x2=2　　     B. + >2e C. +ln(2x2)<2　　     D.x1-ln x1=ln x2-ln(ln x2)     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,易知函数y=ex与y=ln x互为反函数,所以y=ex与y=ln x的图象关于直线y=x对称,又直线y=- x+2关于直线y=x对称,所以点A,B也关于直线y=x对称,所以x1=y2,x2=y1,因为A(x1,y1)在直线y=-x+2上,所以x1 +y1=2,即x1+x2=2,故A正确; 对于B, + >2 =2 =2 =2e,故B正确; 对于C,因为-x1+2= ,-x2+2=ln x2, 所以ln(2x2)=ln 2+ln x2=ln 2-x2+2, 所以 +ln(2x2)=2-x1+(ln 2-x2+2)=4+ln 2-(x1+x2)=2+ln 2>2,故C错误; 对于D,因为y1= ,所以x1=ln y1, 由A可知x2=y1,所以x1=ln x2, 所以x1-ln x1=ln x2-ln(ln x2),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的性质及其应用 7.[2026天津南开中学质量检测]设a=log54-log52,b=ln +ln 3,c= ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　　    B.c<a<b C.a<c<b　　    D.b<a<c     C     解析　    a=log54-log52=log52>0,b=ln +ln 3=ln 2>0,c= = . 易知 =log25> =log2e,所以a<b. 因为23=8< =25,所以2< ,所以a=log52<log5 =c. 因为23=8> =e2,所以2> ,所以b=ln 2>ln  = =c. 综上,a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏淮阴中学期中]已知函数f(x)=ln(ex+a-1),若对任意的0<x1<x2,都有f(x1+1)-f(x2+1)<x1-x2成立,则 实数a的取值范围为 ( ) A.(1,+∞)　　     B.(-∞,1) C.[1-e,1)　　    D.(1-e,1)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由f(x1+1)-f(x2+1)<x1-x2, 得f(x1+1)-f(x2+1)<(x1+1)-(x2+1), 即f(x1+1)-(x1+1)<f(x2+1)-(x2+1). 令t1=x1+1,t2=x2+1, 则1<t1<t2, f(t1)-t1<f(t2)-t2. 构造函数g(t)=f(t)-t=ln(et+a-1)-t=ln (t>1). 因为1<t1<t2, f(t1)-t1<f(t2)-t2,所以g(t)=ln 在(1,+∞)上单调递增. 令u= =1+ =1+(a-1) , 则函数u=1+(a-1) 在(1,+∞)上单调递增,且u=1+(a-1) >0恒成立,所以 解得1-e≤a< 1,故实数a的取值范围为[1-e,1). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏南京田家炳高级中学月考]若函数f(x)= 的值域为(-∞,0],则实数a的取值范 围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(x)的值域为(-∞,0],所以当x≥1时, f(x)=log2ax单调递减,所以0<2a<1,解得0<a< ,此 时f(x)≤f(1)=0,即f(x)在[1,+∞)上的值域为(-∞,0],符合题意. 当x<1时,若f(x)=(3a-1)x-2单调递增,则3a-1>0,所以 <a< ,此时f(x)<f(1)=3a-3<0,符合题意; 若f(x)=(3a-1)x-2是常数函数,则3a-1=0,解得a= ,此时f(x)=-2<0,符合题意. 综上,实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2025湖北武汉三校联考]若8a+log3a+1=43b+2log9(3b),则( ) A.a<b　　    B.a<2b　　     C.a>b　　    D.a>2b     BC     解析　　由题意得a>0,b>0,原式可变形为8a-43b=log9(3b)2-log9a2-log99,即23a-26b=log9 . 当a=b时,23a-26b=log912=0,所以3a=6b,即a=2b,与a=b相矛盾,故不符合题意; 当a>b时,23a-26b=log9 <log91=0,所以23a<26b,所以3a<6b,即b<a<2b; 当a<b时,23a-26b=log9 >log91=0,所以23a>26b,所以3a>6b,即a>2b,与a<b相矛盾,故不符合题意. 综上,b<a<2b. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏启东中学月考]设函数f(x)=(2x+a)·ln(x-b),若对任意的x>b,都有f(x)≥0,则ab的最大值为  ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知函数f(x)的定义域为(b,+∞). 令2x+a=0,得x=- ;令ln(x-b)=0,得x=b+1. 当x∈(b,b+1)时,ln(x-b)<0,所以要使对任意的x>b,都有f(x)≥0,需满足2x+a≤0在x∈(b,b+1)上恒成立. 易知y=2x+a在x∈(b,b+1)上单调递增,所以2(b+1)+a≤0. 当x∈(b+1,+∞)时,ln(x-b)>0,所以要使对任意的x>b,都有f(x)≥0,需满足2x+a≥0在x∈(b+1,+∞)上恒成 立. 易知y=2x+a在x∈(b+1,+∞)上单调递增,所以2(b+1)+a≥0. 当x=b+1时, f(x)=0恒成立. 综上,2(b+1)+a=0,即a=-2(b+1). 所以ab=-2b(b+1)=-2(b2+b)=-2 + ≤ ,当且仅当b=- ,a=-1时,等号成立,所以ab的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 考场速解　因为对任意的x>b,都有f(x)≥0,所以2x+a和ln(x-b)同正负,结合函数的单调性,必有- =b+1. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026安徽合肥第八中学月考]若函数f(x)=loga(5-2x)(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,则f(x)+f(-x) 的最大值为_____.     4 解析　令5-2x=1,得x=2,所以f(x)=loga(5-2x)(a>0且a≠1)的图象过定点(2,0). 又因为f(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)的图象也过点(0,2),故loga4=2,所以a=2, 所以f(x)=log2(5-2x). 所以f(x)+f(-x)=log2(5-2x)+log2(5-2-x)=log2(5-2x)(5-2-x)=log2[26-5(2x+2-x)]≤log2[26-10 ]=log216=4,当 且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)+f(-x)的最大值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏南京金陵中学月考]已知实数x,y满足ex-1+x=6, y2+ln y= ,则 =_____.     e 解析　由ex-1+x=6,得ex-1+x-1=5,即ex-1+ln ex-1-5=0. 由 y2+ln y= ,得y2+2ln y=5,即y2+ln y2-5=0. 因此ex-1,y2是方程t+ln t-5=0的解, 易知函数y=t-5,y=ln t都是增函数, 则函数f(t)=t+ln t-5是增函数, 则ex-1=y2,所以 =e. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江苏盐城射阳中学月考]已知函数f(x)=loga(9-ax),g(x)=loga(x2-ax)(a>0且a≠1),若对任意的x1∈[1, 2],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数a的取值范围为_______________.     (0,1)∪(1,3) 解析　记f(x)在[1,2]上的最小值为f(x)min,g(x)在[3,4]上的最小值为g(x)min.由题意得f(x)min≥g(x)min. 由题意得a>0,且a≠1,9-a2>0,所以0<a<1或1<a<3. 当0<a<1时,由复合函数的单调性可知f(x)在[1,2]上单调递减,g(x)在[3,4]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=loga (9-a2),g(x)min=g(4)=loga(16-4a),所以loga(9-a2)≥loga(16-4a),所以9-a2≤16-4a,即a2-4a+7≥0,所以0<a<1; 当1<a<3时,由复合函数的单调性可知f(x)在[1,2]上单调递减,g(x)在[3,4]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=loga (9-a2),g(x)min=g(3)=loga(9-3a),所以loga(9-a2)≥loga(9-3a),所以9-a2≥9-3a,即a2-3a≤0,所以1<a<3. 综上,实数a的取值范围为(0,1)∪(1,3). 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏宜兴丁蜀高级中学期末]已知t为实数,函数f(x)=2loga(2x-t-2),g(x)=logax,其中0<a<1. (1)若函数φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,求实数k的值; (2)当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围; (3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n-m的最小值为 ,求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)φ(x)=g(ax+1)-kx=loga(ax+1)-kx, 因为φ(x)=g(ax+1)-kx是偶函数,所以φ(-x)=φ(x)对任意x∈R恒成立,即loga(a-x+1)+kx=loga(ax+1)-kx对任意x ∈R恒成立,所以2kx=loga(ax+1)-loga(a-x+1)=loga =x,所以k= . (2)设h(x)=f(x)-g(x)=2loga(2x-t-2)-logax. 因为当x∈[1,4]时, f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,所以h(x)=2loga(2x-t-2)-logax<0在x∈[1,4]上恒成 立,即2loga(2x-t-2)<logax在x∈[1,4]上恒成立. 因为0<a<1,且x∈[1,4],所以2x-t-2> ,即t<2x- -2在x∈[1,4]上恒成立. 设y=2x- -2=2 - ,x∈[1,4],所以当x=1时,ymin=-1,所以t<-1,即实数t的取值范围为(-∞,-1). (3)因为t=4,所以y=|f(x)|=|2loga(2x-6)|,令2x-6>0,得x>3, 又0<a<1,且f =0,所以函数y=|f(x)|在 上单调递减,在 上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 因为当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],所以3<m≤ ≤n(等号不能同时取得). 令|2loga(2x-6)|=2,可得loga(2x-6)=±1,解得x= 或x= , 因为 - = >0,所以 - > - , 所以n-m的最小值为 - = , 解得a= . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026江西多校联考]已知函数f(x)=log2 (a≠-1)是奇函数. (1)求不等式f(x)>0的解集; (2)若函数g(x)=f(x2-2bx+b)在(2,+∞)上单调递增,求实数b的取值范围; (3)是否存在正实数m,α,β∈(1,+∞),使得f(x)在[α,β]上的值域为[m+log2α,m+log2β]?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即log2 +log2 =0,所以log2 =0,所以a2=1, 又a≠-1,所以a=1, 所以f(x)=log2 . 经检验,满足题意. 由f(x)>0,得log2 >0,所以 >1,即 >0,解得x<-1, 所以不等式的解集为(-∞,-1). (2)由(1)得f(x)=log2 =log2 . 易知函数y=1- 在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增. 因为g(x)在(2,+∞)上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得b≤1, 所以实数b的取值范围为(-∞,1]. (3)假设存在正实数m,α,β∈(1,+∞),使得f(x)在[α,β]上的值域为[m+log2α,m+log2β]. 由(2)知, f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以  即  整理得  第1讲　描述运动的基本概念 所以α,β是关于x的方程2mx2+(2m-1)x+1=0的两个不等的正实数根. 因为α,β∈(1,+∞), 所以  即  所以2m<3-2 , 所以m<log2(3-2 )<0. 故不存在正实数m,α,β∈(1,+∞),使得f(x)在[α,β]上的值域为[m+log2α,m+log2β]. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　思维创新 17.[2026江苏无锡市北高级中学月考]函数int(x)是计算机程序中的一个重要函数,它表示不超过x的最 大整数,例如int(-3.9)=-4,int(2.4)=2.已知函数f(x)= (a>0,且a≠1),若f(x)的图象上恰有3对点 关于原点对称,则实数a的取值范围是________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(x)的图象上恰有3对点关于原点对称,所以函数y=loga(-x),x<0的图象关于原点对称的图象 与y=x-int(x),x≥0的图象有3个交点. 易知函数y=loga(-x)的图象关于原点对称的图象对应的函数为y=-logax=lo x,所以函数y=lo x与y=x-int (x)的图象有3个交点. 作出函数y=x-int(x)在[0,+∞)上的部分图象,如图所示.   要使函数y=lo x与y=x-int(x)的图象有3个交点, 第1讲　描述运动的基本概念 则 所以 ≤a< . 综上,实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 $