第6章 02-6.2 指数函数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数函数，涵盖概念、图象、性质及实际应用，从幂函数过渡导入，通过题组一概念辨析夯实基础，再到图象识别、性质应用，构建递进式学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是分层设计（基础与提升练）和实例丰富（如牛顿冷却规律、化学分解），以数学眼光观察现实问题，数学思维进行分类讨论与推理（如奇偶性证明、单调性分析），数学语言表达函数关系。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可利用题组梯度实施精准教学。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 6.2　指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数函数的概念及其应用 1.若函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab= ( ) A. 　　    B.1　　    C.9　　    D.8     D     解析　　由题意得2a=1,-(b+3)=0,解得a= ,b=-3,所以ab= =8. 解题模板　判定一个函数是指数函数的依据:①形如y=ax的函数,ax的系数必须是1;②底数a满足a>0,且a ≠1;③自变量是x,而不是a,且自变量的取值范围为R. 第1讲　描述运动的基本概念 2.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为_____.     8 解析　设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 由函数y=f(x)的图象过点(2,4),得a2=4,所以a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,所以f(3)=23=8. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025浙江9+1高中联盟期中]已知y=f(x),x∈R,且f(0)=3, =2,n∈N*,请写出f(x)的一个解析式: ___________________.     f(x)=3·  (答案不唯一) 解析　根据 =2可考虑指数型函数,所以设f(x)=a·bx(a≠0,b>0,b≠1). 所以 =2,所以 =2,所以b= .又f(0)=3,所以a· =3,所以a=3,所以f(x)=3· (答案不唯一). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的图象 4.已知函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx(a,b,c,d均大于0且不为1)的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的 是( )   A.b+d>a+c　　    B.b+d<a+c C.a+d>b+c　　    D.a+d<b+c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,   故c>d>a>b,所以b+d<a+c. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东潮州检测]已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象 不经过 ( ) A.第一象限　　    B.第二象限 C.第三象限　　    D.第四象限     C     解析　　易知f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(2,2),∴m=n=2, ∴g(x)=2-2x,∴g(x)为减函数,且其图象过点(0,1),(1,0),如图所示:   ∴函数g(x)的图象不经过第三象限. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知a,b∈R,函数y=a-|x|与y=xb的图象如图所示,则( )   A.0<a<1<b　　　　　    B.a>1且b>1 C.0<a<1且0<b<1　　     D.0<b<1<a     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题图知,幂函数y=xb在[0,+∞)上单调递增,且图象是下凸的,所以b>1. y=a-|x|=  由题图知,y=a-|x|的图象连续,且函数值不恒等于1,所以a>0且a≠1. 当a>1时,0< <1,y=a-|x|的图象如图1所示,符合题意.   当0<a<1时, >1,y=a-|x|的图象如图2所示,与题意不符. 第1讲　描述运动的基本概念   综上,a>1且b>1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025辽宁重点中学协作校期末]当x>0时,函数f(x)=(3α-1)-x的值恒小于1的一个充分不必要条件是  ( ) A.α>1　　    B.α> 　　    C.α< 　　    D.α<      A     解析　    f(x)=(3α-1)-x= . 当x>0时,函数f(x)=(3α-1)-x的值恒小于1,则0< <1,即3α-1>1,解得α> .结合选项,可知一个充分不必要 条件是α>1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南长沙部分高中期末]若直线y=3a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是 _____. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得y=|2x-1|=  在同一平面直角坐标系中作出直线y=3a与函数y=|2x-1|的图象,如图所示.   由图可知,当直线y=3a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点时,0<3a<1,解得0<a< .故实数a的取值范围是  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数(型)函数的性质 9.[2025江苏南通调研]已知a,b∈R,则“a3=(b+1)3”是“3a>3b”的 ( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件     C     解析　　易知y=x3在R上单调递增,所以由a3=(b+1)3得a=b+1,所以a>b. 又y=3x在R上单调递增,所以3a>3b,故充分性成立. 因为y=3x在R上单调递增,所以由3a>3b得a>b,但a=b+1不一定成立,故必要性不成立. 所以“a3=(b+1)3”是“3a>3b”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏南菁高级中学期中]已知函数f(x)= 是R上的单调递减函数,则实数a的取值 范围是 ( ) A.(0,1)　　    B.  C. 　　    D.(2,+∞)     B     解析　　由题意得  所以实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏宿迁宿豫中学调研]已知a= ,b= ,c= ,则 ( ) A.a<b<c　　    B.b<c<a C.c<b<a　　    D.b<a<c     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    a= = . 因为函数y= 在R上单调递增,所以 < ,即a<c. b= = = . 因为函数y= 在R上单调递增, 所以 < ,即b<a. 综上,b<a<c. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[易错题][2026江苏无锡锡东高级中学期中]已知函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值为M,最 小值为N,且M-N= ,则实数a的值为 ( ) A. 　　    B.2或 　　     C. 　　    D. 或      D     解析　　当a>1时, f(x)在[0,1]上单调递增,所以M=a2,N=a,所以M-N=a2-a= ,解得a= 或a=0(舍去). 当0<a<1时, f(x)在[0,1]上单调递减,所以M=a,N=a2,所以M-N=a-a2= ,解得a= 或a=0(舍去). 综上,实数a的值为 或 . 易错警示　解决与指数函数单调性、最大(小)值有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含 有参数时,要对参数进行分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏镇江期中]已知函数f(x)=2x,定义域为[1,4],则y=3f(x)-f(2x)的值域为 ( ) A.[-4,2]　　    B.[-208,2]　　     C. 　　    D.      A     解析　　因为函数f(x)的定义域为[1,4],所以 解得1≤x≤2,所以y=3f(x)-f(2x)的定义域为[1,2]. y=3f(x)-f(2x)=3×2x-(2x)2=- + . 由x∈[1,2]得2x∈[2,4], 所以当2x=2,即x=1时,ymax=- + =2;当2x=4,即x=2时,ymin=- + =-4. 所以y=3f(x)-f(2x)的值域为[-4,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏启东中学期中]已知函数f(x)= 在(0,1)上单调递增,则实数a的取值范围是___________.     (-∞,-2] 解析　设μ=x2+ax. 易知y= 在定义域内单调递减,又函数f(x)在(0,1)上单调递增, 所以μ=x2+ax在(0,1)上单调递减. 易知μ=x2+ax的图象开口向上,对称轴方程为x=- ,所以- ≥1,解得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2]. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏盐城期末]已知函数f(x)=a·3x+b·3-x(a,b∈R)为偶函数. (1)证明:f(a-b)=a+b; (2)当f(0)>0时,判断f(x)的单调性; (3)在(2)的条件下,解关于x的不等式f(2x)>f  . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即a·3-x+b·3x=a·3x+b·3-x,即(a-b)(3x-3-x)=0,所以a=b,所 以f(a-b)=f(0)=a·30+b·3-0=a+b. (2)由f(0)>0得a+b>0. 又由(1)知a=b, 所以f(x)=a(3x+3-x)(a>0). 设x1,x2为区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a( + )-a( + )=a( - )+a( - )=a ( - )-a· =a( - ) . 因为x2>x1>0,所以x1+x2>0, - <0, 所以  >1,所以1- >0, 又a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又因为函数f(x)为偶函数, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减. (3)因为偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2x)>f  , 所以|2x|> . 又2x>0,所以 <2x,即-2x< -2x<2x,解得x>- ,故原不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　指数(型)函数的实际应用 16.[2025江苏南京、镇江、徐州等十校联盟检测]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描 述:设物体的初始温度是T0    ℃,经过一段时间t min后的温度是T ℃,则T-Tα=(T0-Tα)· ,其中Tα(单位:℃) 表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到4 0 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃需要的时长为 ( ) A.25 min　　    B.30 min C.35 min　　    D.40 min     B     解析　　由题意得40-24=(88-24)× ,解得h=10,令32-24=64× ,解得t=30. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026四川部分学校联考]一种质量为1 kg的物质,在化学分解中,经过时间t(单位:min)后,所剩的质量 m(单位:kg)与时间t的函数关系为m=akt(a,k均为参数,a>0且a≠1).已知1 kg的该物质,在化学分解中,经过t 1 min后,所剩的质量为0.5 kg,再经过t2 min后,所剩的质量为0.25 kg,则 ( ) A.t1=t2　　    B.t1=2t2　　     C.t1=4t2　　    D.t1= t2     A     解析　　由题意可得  则 = =0.5, 所以 = ,解得t1=t2. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026广东中山期末]德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时 间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=Ip·t,其中p为Peukert常数,不同材料的Peukert常 数不一样.有两块不同材料的蓄电池,第一块蓄电池的容量为C1,Peukert常数为p1;第二块蓄电池的容量 为C2,Peukert常数为p2.测试第一块电池:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电 时间t=10 h;测试第二块电池:当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h,当放电电流I=30 A时,放电时间t=  h,则 ( ) A.p1>p2,C1>C2　　    B.p1<p2,C1>C2 C.p1>p2,C1<C2　　    D.p1<p2,C1<C2     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得C1= ×20= ×10,所以 = ,C2= ×20= × ,所以 = . 因为指数函数y= 在R上单调递减,且 > ,所以p1<p2. 因为指数函数y=20x在R上单调递增,所以 < ,所以 ×20< ×20,即C1<C2. 第1讲　描述运动的基本概念 19.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足f(x)=  《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 毫克/毫升,则该驾驶员至少要过_____小时才能开车.(精确到1小时)     4 解析　当0≤x≤1时, ≤5x-2≤ ,与题意不符. 当x>1时,令f(x)≤0.02,得 × ≤0.02,即31-x≤0.1,当x=3时,3-2= >0.1,当x=4时,3-3= <0.1,所以该驾驶员 至少要过4小时才能开车. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 6.2　指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数(型)函数的图象及应用 1.[2026江苏江阴六校联考]函数y= 的图象大致为 ( )  　　       　　          A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设f(x)= . 易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)= = =-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对 称,故排除B. 当x≥0时, f(x)= =1-e-2x=1- . 因为x≥0,所以e2x≥e0=1,所以0< ≤1,所以0≤1- <1,故排除C,D. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025四川内江第六中学月考]已知e=2.718 28…,函数f(x)=a +b的图象经过原点,且无限接 近直线y=e又不与该直线相交,则( ) A.a=e B.f(x)的值域为[0,e) C.f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 D.f(ln 3)=f      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(x)的图象经过原点, 所以f(x)=a+b=0,即b=-a, 所以f(x)=a -a. 又函数f(x)的图象无限接近直线y=e但又不与该直线相交,所以-a=e,所以a=-e,故A错误. 易得f(x)=-e +e,其定义域为R,关于原点对称, f(-x)=-e +e=-e +e=f(x),所以f(x)为偶函数. 当x≥0时, f(x)=-e +e∈[0,e),所以函数f(x)的值域为[0,e),故B正确. 因为函数y= 为减函数,所以函数f(x)=-e +e在(0,+∞)上单调递增,故C错误. 因为ln =-ln 3, f(x)为偶函数,所以f(ln 3)=f  ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025河北保定部分地区统考]设函数f(x)=x2-2x+a,g(x)=2x-2a,若当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有 一个交点,则实数a的取值范围是     ( ) A.(-1,0)　　    B. 　　     C.(1,2)　　     D.(2,3)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    解法一:易知函数f(x)在(-1,1)上单调递减,函数g(x)在(-1,1)上单调递增,所以需满足  即 解得- <a<1. 故实数a的取值范围是 . 解法二:因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以关于x的方程x2-2x+a=2x-2a在(-1,1)上 有一个根,即3a=2x-(x2-2x)在x∈(-1,1)上有一个根,即直线y=3a与函数y=2x-(x2-2x)的图象在x∈(-1,1)上有 一个交点. 易知函数y=2x在(-1,1)上单调递增,y=x2-2x在(-1,1)上单调递减,所以y=2x-(x2-2x)在(-1,1)上单调递增,所以 当x∈(-1,1)时,y=2x-(x2-2x)∈ ,所以a∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏盐城检测]若实数x1,x2,x3满足x1· =x1· =5,则下列不等关系中不可能成立的是( ) A.x1<x2<x3　　    B.x2<x3<x1 C.x1<x3<x2　　    D.x3<x1<x2     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得x1>0,所以 = = . 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y= (x>0)的图象,如图所示.   由图可得x1,x2,x3的大小关系可能为x2<x3<x1,x2=x3<x1,x3<x2<x1,x3<x2=x1,x3<x1<x2,x3=x1<x2,x1<x3<x2,故不可能 成立的是x1<x2<x3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025江苏百校大联考]已知函数f(x)= 若a<b<c<d且f(a)=f(b)=f(d)<f(c),则下列说 法正确的是 ( ) A.a<0　　     B.c≥1 C.2a·d<5　　    D.2a+2b+2d∈(18,34)     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　作出函数f(x)的图象,如图所示. (作y=|2x-1|的图象时,先作y=2x-1的图象,再将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方,其余不变, 即可得到y=|2x-1|的图象)   因为a<b<c<d且f(a)=f(b)=f(d)<f(c),所以a<0,0<b<1,4<d<5,b<c,但得不出c≥1,故A正确,B错误. 因为f(a)=f(d),所以|2a-1|=5-d,所以1-2a=5-d,所以2a=d-4,所以2a·d=d(d-4)=d2-4d,又4<d<5,y=d2-4d在(4,5)上 单调递增,所以d2-4d<5,即2a·d<5,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 因为f(b)=f(d),所以|2b-1|=5-d,所以2b-1=5-d,所以2b=6-d,所以2a+2b+2d=d-4+6-d+2d=2+2d. 易知y=2+2d在(4,5)上单调递增,所以2+2d∈(18,34),即2a+2b+2d∈(18,34),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数(型)函数的性质及应用 6.[2026湖北部分学校联考]若2m+3-n≥2n+3-m,其中m,n均为实数,则 ( ) A.m+n≤0　　    B.m-n≤0 C.m-n≥0　　    D.m+n≥0     C     解析　　由2m+3-n≥2n+3-m得2m-3-m≥2n-3-n.(将参数m,n分开,以便构造函数) 设函数f(x)=2x-3-x=2x- , 则f(m)≥f(n). 因为函数y=2x在R上单调递增,y= 在R上单调递减,所以f(x)在R上单调递增, 所以由f(m)≥f(n)得m≥n,即m-n≥0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏苏州星海实验高级中学调研]已知f(x)= 的最小值为2,则实数m的取值范围 为 ( ) A.(-∞,3]　　     B.(-∞,5)　　     C.[3,+∞)　　    D.[5,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x>0时, f(x)=x+ ≥2× =2,当且仅当x= ,即x=1时,等号成立,所以f(x)的最小值为2. 当x≤0时, f(x)=4x-2x+2+m=(2x)2-4×2x+m, 令t=2x,t∈(0,1],h(t)=t2-4t+m=(t-2)2+m-4, 易知h(t)在(0,1]上单调递减, 所以当t=1时,h(t)取得最小值m-3, 由题意得m-3≥2,解得m≥5, 所以m的取值范围为[5,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏苏州部分校期末]已知e=2.718 28…,若f(x)=a- 为奇函数,且当x>0时,不等式(ax-x2)(ex-b) ≤0恒成立,则实数b的所有取值构成的集合是 ( ) A.{b|b>1}　　    B.{b|b≥1} C.{0}　　    D.{e}     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知函数f(x)的定义域为R,又函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以a=1,经检验,满足题意,所以 当x>0时,不等式即(x-x2)(ex-b)≤0,即(x-1)(ex-b)≥0恒成立. 令g(x)=x-1,x>0,h(x)=ex-b,x>0, 因为(x-1)(ex-b)≥0,且g(x)与h(x)在定义域上均单调递增, 所以g(x)和h(x)在相同区间内的函数值同正、同负或同为零,如图,   则g(x)与h(x)有相同的零点, 令g(x)=0,得x=1,所以h(1)=e-b=0, 故b=e. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点津　函数f(x),g(x)在公共定义域上的单调性相同时,由f(x)g(x)≥0,可得到两函数零点相同,在解答 小题时利用此结论可快速得解. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏无锡天一中学月考]已知函数f(x)=ex-3-e3-x+x,则满足f(2m-2)+f(m-1)>6的实数m的取值范围是 __________.     (3,+∞) 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令g(x)=f(x+3)-3=ex-e-x+x, g(x)的定义域为R,∀x∈R,-x∈R, g(-x)=e-x-ex-x=-g(x), 所以g(x)为奇函数, 因为函数y=ex,y=-e-x,y=x在R上均为增函数,所以函数g(x)在R上为增函数, 因为f(2m-2)=g(2m-5)+3, f(m-1)=g(m-4)+3, 所以原不等式可转化为g(2m-5)+g(m-4)>0, 即g(2m-5)>-g(m-4)=g(4-m), 所以2m-5>4-m,解得m>3, 所以实数m的取值范围是(3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏南京第二十九中学阶段检测]已知函数f(x)= ,若对任意的实数a,b,c,都有f(a)+f(b)>f(c), 则实数m的取值范围为________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)= =1+ . 易知ex>0,所以ex+1∈(1,+∞),所以 ∈(0,1). 当m=1时, f(x)=1,所以f(a)+f(b)=2, f(c)=1,满足f(a)+f(b)>f(c). 当m>1时,m-1>0,所以 ∈(0,m-1),所以f(x)的值域为(1,m),所以f(a)+f(b)的最小值趋近于1+1=2, f(c)的 最大值趋近于m,所以要满足f(a)+f(b)>f(c)对任意的a,b,c成立,需满足2≥m,所以1<m≤2. 当m<1时,m-1<0,所以 ∈(m-1,0),所以f(x)的值域为(m,1),所以f(a)+f(b)的最小值趋近于m+m=2m, f(c) 的最大值趋近于1,所以要满足f(a)+f(b)>f(c)对任意的a,b,c成立,需满足2m≥1,所以 ≤m<1. 综上,实数m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏淮阴中学期中]已知函数f(x),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x,若对任意的x 1∈[0,1],x2∈[0,1], f(x1)≥ag(x2),则实数a的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(x)+g(x)=2x①,得f(-x)+g(-x)=2-x, 又函数f(x),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数,所以f(x)-g(x)=2-x②. ①+②,得2f(x)=2x+2-x, 所以f(x)= (2x+2-x). ①-②,得2g(x)=2x-2-x, 所以g(x)= (2x-2-x). 当x∈[0,1]时, f(x)= (2x+2-x)≥ ×2 =1,当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立. 易知y=2x在[0,1]上单调递增,y=-2-x在[0,1]上单调递增,所以g(x)= (2x-2-x)在[0,1]上单调递增, 所以当x∈[0,1]时,g(x)max=g(1)= × = ,g(x)min=g(0)=0,所以g(x)∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 当a≤0时,ag(x)≤0,满足题意. 当a>0时,需满足f(x)min≥ag(x)max, 即1≥ a,解得a≤ ,所以0<a≤ . 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏常熟中学调研]已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性; (2)当k>0时,关于x的不等式 -1≤ 2-x+2x在(2,+∞)上有解,求实数k的取值范围; (3)若f(x)是奇函数,对任意的x1,x2∈ ,不等式|f(2x1)|-|f(x2)|≤ 恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=2-x+k·2x. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即2-x+k·2x=2x+k·2-x,所以(k-1)·(2x-2-x)=0,所以k-1=0,解得k=1. 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),所以(k+1)·(2x+2-x)=0,所以k+1=0,解得k=-1. 所以当k=1时, f(x)为偶函数;当k=-1时, f(x)为奇函数;当k∈R且k≠±1时, f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)由 -1≤ 2-x+2x得k≥ ,所以当x>2时,k≥ 能成立. 令g(x)= (x>2),则k≥g(x)min. 令t=2x,t∈(4,+∞),y= =1- , 易知y=1- 在t∈(4,+∞)上单调递增,所以当t∈(4,+∞)时,y∈ ,所以g(x)在(2,+∞)上的值域是 ,所 第1讲　描述运动的基本概念 以实数k的取值范围为 . (3)由题意得, ≥(|f(2x1)|-|f(x2)|)max,x1,x2∈ . 由f(x)是奇函数及(1)可知, f(x)=2x-2-x. 易知y=2x在R上单调递增,y=-2-x在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增. 当x∈ 时,2x∈[-2,1], 所以f(2x)∈ , 所以|f(2x)|∈ . 当x∈ 时, f(x)∈ - ,  , 第1讲　描述运动的基本概念 所以|f(x)|∈ . 所以(|f(2x1)|-|f(x2)|)max= , 所以 ≥ 恒成立. 当m>0时, + ≥ 恒成立,化简得m2-15m+36≥0,所以m≥12或0<m≤3. 当m<0时,- ≥ 恒成立,化简得m2+15m+36≥0,所以m≤-12或-3≤m<0. 综上,实数m的取值范围是(-∞,-12]∪[-3,0)∪(0,3]∪[12,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏宿迁一高检测]已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),若f(x)=2x+2-ax,g(x)=2x-b·2-x,a,b ∈R. (1)求a,b的值; (2)若函数h(x)=[f(x)]2-2mg(x)(m∈R). (i)当x∈[-1,1]时,求函数h(x)的最小值; (ii)是否存在实数m,n,使得关于x的不等式0≤h(x)≤n的解集为[-1,2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请 说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)=2x+2-ax为偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即2-x+2ax=2x+2-ax,即 +2ax-2x- =2ax-2x+ = (2ax-2x) =0. 易知1+ >0,所以2ax-2x=0,即2ax=2x,所以ax=x. 因为对所有的x都成立,所以a=1. 因为函数g(x)=2x-b·2-x为奇函数,且g(x)的定义域为R,所以g(0)=0,即1-b=0,所以b=1. 经检验,b=1符合题意. (2)由(1)得f(x)=2x+2-x,g(x)=2x-2-x,所以h(x)=[f(x)]2-2mg(x)= -2m(2x-2-x)= -2m(2x-2-x)+4. 令t=2x-2-x,φ(t)=t2-2mt+4. (i)易知t=2x-2-x在R上单调递增,所以当x∈[-1,1]时,t∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 函数φ(t)=t2-2mt+4图象的对称轴为直线t=m. 当m≤- 时,φ(t)=t2-2mt+4在t∈ 上单调递增,所以φ(t)min=φ =3m+ . 当- <m< 时,φ(t)=t2-2mt+4在 上单调递减,在 上单调递增,所以φ(t)min=φ(m)=4-m2. 当m≥ 时,φ(t)=t2-2mt+4在t∈ 上单调递减,所以φ(t)min=φ =-3m+ . 综上,当m≤- 时,h(x)的最小值为3m+ ;当- <m< 时,h(x)的最小值为4-m2;当m≥ 时,h(x)的最小值为-3 m+ . (ii)结合(i)可知,当x∈[-1,2]时,t=2x-2-x∈ , 所以若0≤h(x)≤n的解集为[-1,2],则关于t的不等式0≤t2-2mt+4≤n的解集为 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以- , 是关于t的方程t2-2mt+4-n=0的两根,且(-2m)2-4×4≤0, 所以 且-2≤m≤2,解得m= ,n= . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　创设新情境考查指数函数的性质 14.[多选题][2025江苏常州北郊高级中学月考]对于函数f(x)和f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相 同,则把区间[m,n]叫作f(x)的“稳定区间”.已知区间[1,2 020]为函数f(x)= 的“稳定区间”,则实 数a的取值可能是 ( ) A.- 　     B.- 　     C.0　     D.      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由f(x)= 得f(-x)=|2x+a|. 由已知得f(x)与f(-x)在区间[1,2 020]上同时单调递增或同时单调递减. 若同时单调递增,则 在x∈[1,2 020]上恒成立,可得 所以-2≤a≤- . 若同时单调递减,则 在x∈[1,2 020]上恒成立,可得 该不等式组无解. 综上,-2≤a≤- . 结合选项,实数a的取值可能是- ,- . 第1讲　描述运动的基本概念 $