第6章 01-6.1 幂函数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦幂函数核心内容，涵盖概念、图象及性质，通过典型例题导入，衔接函数基础概念，搭建从具体函数辨析到抽象性质探究的学习支架。 其亮点在于题组分层训练结合解题模板，以数学眼光抽象幂函数特征，用数学思维推理单调性与奇偶性，借数学语言规范表达。如通过图象判断指数大小培养几何直观，不等式求解中逻辑推理提升能力，助力学生高效掌握知识，方便教师教学实施。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 6.1　幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　幂函数的概念 1.[2026江苏五市十一校联考]下列函数中,既是偶函数又是幂函数的为 ( ) A.y=2x2　　    B.y=  C.y=x-2　　     D.y=x4+1     C     解析　　由幂函数的概念知,A,D中的函数不是幂函数,故排除A,D. 对于函数y= ,其定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数y= 既不是奇函数也不是偶函数,故B中 函数不符合题意. 对于函数y=x-2,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且(-x)-2= = =x-2,所以函数y=x-2为偶函数, 故C中函数符合题意. 知识总结　幂函数的特征:①xα的系数为1;②xα的底数是自变量;③xα的指数是常数. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏镇江实验高级中学调研]若幂函数f(x)=(m-1)xα(α为常数)的图象经过点P ,则不等式f (x)>m的解集是 ( ) A. 　　     B.  C. 　　    D.(-∞,0)∪      A     解析　　因为f(x)是幂函数,所以m-1=1,解得m=2,所以f(x)=xα. 因为f(x)的图象经过点P ,所以 =10,解得α=-1,所以f(x)= . 所以f(x)>m即 >2,即 >0,即(1-2x)x>0,解得0<x< ,所以不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏苏州大学附属中学期中]已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(f(16))=_____.     2 解析　设f(x)=xα,则9α=3,解得α= ,所以f(x)= , 所以f(16)= =4, 所以f(f(16))=f(4)= =2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　幂函数的图象及其应用 4.[2026河南安阳第一中学检测]如图,①②③④对应四个幂函数的图象,则①对应的幂函数是( )   A.y= 　　    B.y= 　　    C.y= 　　    D.y=      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题图可知,①对应的幂函数的定义域为[0,+∞),且单调递增,图象上凸,所以指数α满足0<α<1, 故排除A,D. 对于函数y= = ,其定义域为R,不符合,故排除C. 对于函数y= = ,其定义域为[0,+∞),满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板 解决幂函数图象问题的一般思路 (1)依据图象的高低判断幂指数的大小. ①在(0,1)上,指数越大,幂函数的图象越靠近x轴; ②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数的图象越远离x轴. (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象来判断. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏常州北郊高级中学期末]已知幂函数f(x)=(m3-4m+1)xm的图象与坐标轴没有公共点,则实数m 的取值为 ( ) A.2　　    B.-2　　    C.0或-2　　    D.0或2     C     解析　　由题意得  解得m=0或m=-2. 知识总结　幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的图象特征: (1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增; (2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增; (3)当α<0时,图象过点(1,1),下凸递减,且无限逼近坐标轴. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏太湖高级中学月考]“幂函数f(x)=(m2+m-5)xm的图象分布在第一、三象限”是“m=-3或m= 2”的 ( ) A.充要条件　　     B.必要不充分条件 C.充分不必要条件　　    D.既不充分也不必要条件     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(x)是幂函数,所以m2+m-5=1,解得m=2或m=-3. 当m=2时, f(x)=x2,其图象如图1所示,由图1可知, f(x)的图象分布在第一、二象限(含原点),与题意不符;     当m=-3时, f(x)=x-3,其图象如图2所示,由图2可知, f(x)的图象分布在第一、三象限,符合题意. 所以幂函数f(x)的图象分布在第一、三象限时,m=-3. 所以“幂函数f(x)=(m2+m-5)xm的图象分布在第一、三象限”是“m=-3或m=2”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　幂函数的性质及其应用 7.[2026江苏宿迁宿豫中学期中]幂函数f(x)=m2xm在定义域内是单调函数,则实数m= ( ) A.1　　    B.-1　　    C.0　　    D.±1     A     解析　　∵f(x)是幂函数,∴m2=1,∴m=±1. 当m=1时, f(x)=x,其在R上单调递增,符合题意. 当m=-1时, f(x)=x-1,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),但在定义域内不是单调函数,与题意不符. 综上,m=1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏常熟期中]幂函数f(x)=(2m2-3m-1)·x2m(m∈R)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则关于x的不等式f (x)>1的解集为 ( ) A.(0,1)　　     B.(1,+∞)　　     C.(-∞,0)∪(0,1)　　    D.(-∞,-1)∪(1,+∞)     A     解析　　因为f(x)是幂函数,所以2m2-3m-1=1,即2m2-3m-2=0,解得m=2或m=- . 当m=2时, f(x)=x4,其定义域为R,与题意不符. 当m=- 时, f(x)=x-1,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足题意. 所以f(x)>1即 >1,即 -1= >0,即x(x-1)<0,解得0<x<1, 所以不等式f(x)>1的解集为(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]已知a= ,b= ,c= ,d= ,则 ( ) A.a>b>c>d　　　    B.c>a>b>d C.a>c>b>d　　　    D.c>a>d>b     B     解析　　易得a6= ,b6= ,c6= ,d6= . 构造函数f(x)=x6,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且c6>a6>b6>d6,a>0,b>0,c>0,d>0,∴c>a>b>d. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏南通海安实验中学月考]已知幂函数f(x)=m ,则不等式f(3-a)>f(2a)的解集为_________.     (1,3) 解析　因为f(x)是幂函数,所以m=1,所以f(x)= . 易知函数f(x)= = 的定义域为(0,+∞),且- <0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以由f(3-a)>f(2a)得 解得1<a<3.故原不等式的解集为(1,3). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏百校联考]已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm是偶函数,m为实数. (1)求实数m的值; (2)若a>1, f(a)+f =7,求f(a)-f 的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由函数f(x)为幂函数, 得m2+m-1=1,解得m=1或m=-2. 当m=1时, f(x)=x,易知f(x)的定义域关于原点对称, f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,不合题意,舍去; 当m=-2时, f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,满足题意. 故m=-2. (2)由(1)可得f(x)=x-2. 因为f(a)+f =7,所以 +a2=7,即 =9. 因为a>1,所以 +a=3, -a<0, 所以 -a=- =- , 所以f(a)-f = -a2=  =-3 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 6.1　幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　幂函数的图象及其应用 1.[多选题]已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为  ( ) A. 　　    B.  C.3　　    D.9 BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B. 若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f (3)=3α, =3-1, = ,3=31,9=32, 所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3; 若f(x)的图象经过A,B,D三点,则f(4)=4α=2,得α= ,所以f(x)= ,则f(3)= ; 若f(x)的图象过点D(4,2),则α= ,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故f(x)的图象不可能同时经过B,C,D三点. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东青岛期中]用max{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的较大者,用min{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的较小 者.若函数h(x)=min 在(0,a)上有最大值,则 ( ) A.h(x)是奇函数 B.h(x)在(0,a)上的最大值为2 C.h(x)的值域是(-∞,-1)∪[0,1] D.实数a的取值范围是(1,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　作出函数h(x)的图象,如图所示.  在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=x2,y=x3,y= 的图象,取y=x2与y=x3的图象中较高的,再与y=  的图象对比取较低的,可得到函数h(x)的图象    由图可知,函数h(x)的图象不关于原点对称,所以h(x)不是奇函数,故A错误; 因为h(x)在(0,a)上有最大值,所以a>1,故D正确; h(x)在(0,a)上的最大值为1,故B错误; h(x)的值域是(-∞,0)∪(0,1],故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽宿州期中]设m,n是实数,集合A= ,B={(x,y)|y=xm,m∈A}∩{(x,y)|y=xn,n∈A},若B中有 且仅有两个元素,则m+n=_____. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知y=x-2= 的定义域为{x|x≠0},其图象在第一、二象限,关于y轴对称; y= = 的定义域为R,其图象过原点和第一、三象限,关于原点对称; y= = 的定义域为[0,+∞),其图象过原点和第一象限. 由题意得,幂函数y=xm与y=xn的图象有两个交点. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=x-2,y= ,y= 的图象,如图所示. 由图可知,y= 与y= 的图象有两个交点,所以m+n= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　幂函数的性质及其应用 4.[多选题][2026广东领航高中联盟检测]已知函数f(x)=(m2-2m-2)xm+n+n2是幂函数,则下列说法正确的有  ( ) A.若f(x)在x=n处有意义,则f(n)<m-2 B.对任意的非零实数x,y,有f(xy)=f(x)f(y) C.若f(x)是增函数,则f(m)<25 D.若f(x)的定义域不为R,点(p,q)在函数f(x)的图象上,则p2+q2≥2     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(x)是幂函数, 所以  解得n=0,m=3或m=-1. 对于A,若f(x)在x=0处有意义,则m=3,此时f(x)=x3,所以f(n)=f(0)=0<3-2=m-2,故A正确. 对于B, f(xy)=(xy)m=xmym=f(x)f(y),故B正确. 对于C,若f(x)是增函数,则m=3,此时f(x)=x3,所以f(m)=33=27>25,故C错误. 对于D,若f(x)的定义域不为R,则m=-1,此时f(x)=x-1,所以q=p-1,即pq=1,所以p2+q2≥2pq=2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京期中]已知a=30.5,b=0.70.5+0.4,c=1.5,则 ( ) A.b<a<c　　    B.c<b<a C.c<a<b　　    D.b<c<a     D     解析　　因为b=0.70.5+0.4<10.5+0.4=1.4= < =1.5=c< =30.5=a, 所以b<c<a. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026安徽合肥卓越中学质量检测]已知函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1≠ x2,都有  >0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值 ( ) A.恒大于0　　    B.恒小于0　　     C.等于0　　      D.无法判断     B     解析　　∵函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-1是幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1. ∵对任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有  >0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴m=4,∴f(x)=x7. 易知f(x)的定义域为R,关于原点对称, ∵f(-x)=(-x)7=-x7=-f(x), ∴f(x)为奇函数,且在R上单调递增. ∵a+b<0,∴a<-b,∴f(a)<f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)<0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏苏州星海实验高级中学调研]已知幂函数y= (m∈N*)的图象关于y轴对称,且该函数在 [0,+∞)上单调递增,则满足(2a+1)-m<(1-a)-m的实数a的取值范围为 ( ) A.(0,+∞)　　    B. ∪(1,+∞) C.(0,1)　　    D. ∪(0,1)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题得-m2+2m+3(m∈N*)为正偶数, 易得y=-m2+2m+3的值域为(-∞,4], 则-m2+2m+3可取2,4, 当-m2+2m+3=2时,m=1+ 或m=1- ,不符合m∈N*,舍去, 当-m2+2m+3=4时,m=1(二重根),符合题意, 故m=1,则不等式(2a+1)-m<(1-a)-m即(2a+1)-1<(1-a)-1,整理得 <0,即 或   解得0<a<1或a<- . 故实数a的取值范围为 ∪(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏南京励志高级中学检测]已知函数f(x)=(2m2+m)xm为幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,令g (x)=a[f(x)]2-(3a+1)·f(x)+3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当a=1时,求函数g(x)在区间[1,4]上的值域; (3)若g(x)≥0对任意的x∈[1,4]恒成立,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)为幂函数, 所以2m2+m=1,解得m=-1或m= . 又f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以m= ,所以f(x)= = . (2)当a=1时,g(x)=x-4 +3, 令s= ,则当x∈[1,4]时,s∈[1,2]. 令H(s)=s2-4s+3=(s-2)2-1,s∈[1,2],则H(s)在[1,2]上单调递减, 所以H(s)max=H(1)=0,H(s)min=H(2)=-1. 所以函数g(x)在区间[1,4]上的值域为[-1,0]. (3)由题意得ax-(3a+1) +3≥0对任意的x∈[1,4]恒成立. 第1讲　描述运动的基本概念 令t= ,则当x∈[1,4]时,t∈[1,2],所以at2-(3a+1)t+3≥0在t∈[1,2]上恒成立. 当a=0时,-t+3≥0在t∈[1,2]上恒成立,符合题意. 当a≠0时,令h(t)=at2-(3a+1)t+3,易知其图象的对称轴方程为t= = + . (i)当a>0时,t= + > , 若t= + ≥2,则0<a≤1, 所以h(t)min=h(2)=1-2a≥0,解得a≤ ,所以0<a≤ ; 若t= + <2,则a>1,所以h(t)min=h = ≥0,解得a<0,与a>1矛盾,舍去. (ii)当a<0时,t= + < ,所以h(t)min=h(2)=1-2a≥0,解得a≤ ,所以a<0. 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $