第5章 02-5.2 函数的表示方法(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数的表示方法，涵盖表格、图像、解析式及分段函数等核心内容，通过实例（如表格对应关系、图像曲线ABC）导入，衔接函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以多样化题目（如出租车收费、学生代表推选）培养数学眼光，通过换元法、方程组法等逻辑推理发展数学思维，用分段函数、狄利克雷函数等强化数学语言表达。例如用分段函数解决乘车方案问题，提升学生应用意识，为教师提供丰富例题与解析，助力高效教学。

第5章 函数概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 5.2　函数的表示方法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的表示方法 1.[多选题][2026辽宁名校联盟联考]已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是下图中 的曲线ABC,若g(f(x)+2)=2,则x的值可能为 ( )     BD     x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 0 2 1 2 0 3 1 A.-2　　    B.0　　    C.2　　    D.4 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,当x=-2时, f(-2)=0,g(f(-2)+2)=g(2)=1; 对于B,当x=0时, f(0)=1,g(f(0)+2)=g(3)=2; 对于C,当x=2时, f(2)=0,g(f(2)+2)=g(2)=1; 对于D,当x=4时, f(4)=1,g(f(4)+2)=g(3)=2. 故x的值可能为0或4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025北京八一学校期中]某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除 以10的余数大于6时再增选一名代表,则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y= [x]([x]表示不大于x的最大整数,如[π]=3,[4]=4)可表示为 ( ) A.y= 　　    B.y=  C.y= 　　    D.y=      B     解析　    因为各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,所以当余 数为7,8,9时可增选一名代表,因此利用取整函数可表示为y= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏苏州期中]如图,无盖正方体容器内放了一个圆柱形杯子,向放在容器底部的杯子注水(流量 一定),注满杯子后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数图象可能是 ( )               D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　开始注水时,水注入杯子中,正方体容器中无水,故水面高度为0;杯子内注满水后,继续注水,正 方体容器中水面开始上升,且上升速度较快;当正方体容器中水面和杯子水面持平以后,继续注水,正方 体容器中水面继续上升,且上升速度减慢. 故正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是D. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数解析式的求法 4.[2026江苏无锡外国语学校月考]若函数f(x)是二次函数,且f(0)=2, f(x+2)-f(x)=4x,则f(x)=　 ( ) A.x2+x+2　　    B.x2-2x+2 C.x2-x+2　 　    D.x2+2x+2     B     解析　　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 因为f(0)=2,所以c=2,所以f(x)=ax2+bx+2. 又f(x+2)-f(x)=4x, 所以a(x+2)2+b(x+2)+2-(ax2+bx+2)=4x,整理得4ax+4a+2b=4x, 所以 解得  所以f(x)=x2-2x+2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[易错题][2026浙江五湖联盟联考]已知函数f( +1)=x-1,则函数f(x)的解析式为 ( ) A. f(x)=x2-2x B. f(x)=x2-1(x≥1) C. f(x)=x2-2x+2(x≥1) D. f(x)=x2-2x(x≥1)     D     解析　    解法一(配凑法):f( +1)=x-1=( +1)( -1)=( +1)( +1-2), 所以f(x)=x(x-2),x≥1, 所以f(x)=x2-2x(x≥1). 解法二(换元法):令t= +1,则t≥1,x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, 所以f(x)=x2-2x(x≥1). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　用换元法求函数的解析式时,要先求出中间变量的取值范围,由此确定所求函数的定义域. 解题时防止漏求函数的定义域导致解题不完整. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026陕西韩城象山中学月考]已知f(x)是一次函数,f(f(x))=9x-4,且f(0)>0,函数g(x)满足g(f(x))= 9x2,则 ( ) A.f(x)=-3x+2　　     B.f(x)=3x+1 C.g(x)=x2-4x+4　　     D.g(x)=x2-2x+1     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    设f(x)=kx+b(k≠0),则由f(f(x))=9x-4得k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x-4, 所以 解得 或  又因为f(0)=b>0,所以  所以f(x)=-3x+2,故A正确,B错误. 因为g(f(x))=9x2,所以g(-3x+2)=9x2.令-3x+2=t,则x= ,所以g(t)=9× =t2-4t+4,所以g(x)=x2-4x+4,故C 正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025黑龙江大庆中学月考]若g(x)=1-2x, f(g(x))= (x≠0),则f  等于 ( ) A.1　　     B.2　　     C.15　　    D.30     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    解法一:易知f(1-2x)= (x≠0), 令t=1-2x(x≠0),则t≠1,x= , 所以f(t)= = (t≠1), 所以f  = =15. 解法二:易知f(1-2x)= (x≠0), 令1-2x= ,则x= , 所以f  = =15. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡大桥实验学校期中]已知函数f(x)满足f(x)+3f(1-x)=2x+3,则f(x)= ( ) A. + 　　    B.-x+ 　　     C.-x+ 　　    D.-x+      D     解析　　对于f(x)+3f(1-x)=2x+3①,用1-x代替x,得f(1-x)+3f(x)=2(1-x)+3=5-2x②.②×3-①,得8f(x)=12-8x,所 以f(x)= -x. 解题模板　若已知条件等式是由f(x)与f(-x)或f(x)与f  或f(x)与f(a-x)构成的,则可根据已知等式再构造 其他等式 一般是用-x或 或a-x替换x 组成方程组,通过解方程组求出f(x)的解析式. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　分段函数 9.[2025江苏南京师范大学附属中学期中]已知函数f(x)= 则f(-4)= ( ) A.-4　　    B.-2　　    C.0　　    D.2     B     解析　    f(-4)=f(-2)=f(0)=f(2)=22-3×2=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026安徽池州期中]已知函数f(x)= 若f(a)<3,则实数a的取值范围是　     ( ) A.(-∞,-1)　　    B.(3,+∞)　　     C.(-1,3)　　     D.(-∞,-1)∪(3,+∞)     C     解析　　由题意得 或  解得-1<a≤1或1<a<3, 所以实数a的取值范围是(-1,3). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编]学校宿舍与办公室相距a m.某同学有重要材料要交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步 3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)(单 位:m/min)和行走的路程s(t)(单位:m)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四 个图象中的 ( ) A.①和②　　　    B.③和④ C.①和③　　　    D.②和④     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　根据题意得, v(t)=  s(t)=  故由速度函数及路程函数的解析式可知,其图象分别为①和②. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题][2026江苏淮安调研]函数f(x)= 称为狄利克雷函数,下列关于f(x)的说法正确的是  ( ) A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R, f(f(x))=1 D.对任意的x∈R,都有f(x+π)=f(x)恒成立     BC     解析　　由题意得, f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确. 因为f(x)的值域为{0,1},且0和1均为有理数,所以f(f(x))=1,故C正确. 若x∈Q,则x+π是无理数,所以f(x)=1, f(x+π)=0,此时f(x+π)≠f(x),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏南京金陵中学期中]若函数f(x)= 的值域为R,则实数a的取值范围是( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.(-∞,2)     A 解析　　当x≥1时, f(x)=x2-2, 此时f(x)∈[-1,+∞). 当x<1时, f(x)=(2-a)x+3a,所以要使得f(x)的值域为R,需满足 解得- ≤a<2, 所以实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026河北保定爱和城高级中学调研]某小组4位同学准备从学校打车到距离学校30千米的地方参加 社会实践活动.已知出租车的收费标准是起步价为11元(乘车不超过3千米);行驶超过3千米且不超过10 千米时,每千米车费为2.2元;行驶超过10千米时,每千米车费为2.8元. (1)写出车费f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式; (2)为了节省开支,他们设计了三种乘车方案: ①不换车:乘一辆出租车行驶30千米; ②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米; ③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一辆车. 问:哪一种乘车方案最省钱? 第1讲　描述运动的基本概念 解析     (1)由题意得,当0<x≤3时, f(x)=11;当3<x≤10时, f(x)=11+(x-3)×2.2=2.2x+4.4;当x>10时, f (x)=11+(10-3)×2.2+(x-10)×2.8=2.8x-1.6. 所以f(x)=  (2)方案①: f(30)=2.8×30-1.6=82.4(元);方案②:2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8(元);方案③:3f(10)=3×(2.2×10 +4.4)=79.2(元). 因为82.4>80.8>79.2, 所以方案③最省钱. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 5.2　函数的表示方法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的表示方法及其应用 1.[教材习题改编]函数f(x):{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),且f(1)=1,则这样的函数有 ( ) A.2个　　　　　    B.4个 C.6个　　　　　    D.10个     C     解析　　因为f(1)=1,所以f(x)的值域中必包含1. 当值域中仅有一个元素时,值域为{1},此时f(1)=f(2)=f(3)=1,仅有1个函数满足题意. 当值域中有两个元素时,值域为{1,2}或{1,3}, 若值域为{1,2},则f(1)=f(3)=1, f(2)=2或f(1)=1, f(2)=f(3)=2, 若值域为{1,3},则f(1)=f(2)=1, f(3)=3或f(1)=1, f(2)=f(3)=3,此时有4个函数满足题意. 当值域中有三个元素时,值域为{1,2,3},此时只能为f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3,仅有1个函数满足题意. 综上,满足题意的函数有6个. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州高级中学期中]若函数f(x)= 的部分图象如图所示,则f(5)=( )   A.- 　　    B.- 　　     C.- 　　    D.-      D     解析　　由题图知,2和4不在函数f(x)的定义域内,所以2和4为方程ax2+bx+c=0的两根,所以f(x)=  ,又由题图知, f(3)=1,即 =1,所以a=-1,所以f(x)=- ,所以f(5)=- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北邯郸开学考试]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P是斜边AB上的任意一点 (不与点A,B重合),过点P作PQ⊥AB,垂足为P,交边AC(或边CB)于点Q,设AP=x(0<x<16),△APQ的面积 为y,则y与x之间的函数图象大致是 ( )     D      A      B      C      D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　过点C作CD⊥AB交AB于点D, 因为∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16, 所以∠B=60°,BC=8, 所以BD= BC=4,AD=AB-BD=12. 如图1,当0<x≤12时,因为AP=x,所以PQ=AP·tan 30°= x,所以y= x· x= x2.  图1 如图2,当12<x<16时,因为AP=x,所以BP=AB-AP=16-x,所以PQ=BP·tan 60°= (16-x),所以y= x· (16-x)= 第1讲　描述运动的基本概念 - x2+8 x.  图2 故y与x之间的函数图象大致是D. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数解析式的求法 4.[多选题]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且-3<f(-1)=f(1)=f(2)≤0,则( ) A.a=-2　　     B.b=1 C.0<c≤3　　     D.-1<c≤2     AD     解析　　设f(-1)=f(1)=f(2)=m,则-1,1,2是关于x的方程f(x)-m=0的3个根, 又f(x)=x3+ax2+bx+c, 所以f(x)-m=(x+1)(x-1)(x-2), 即f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+m,且-3<m≤0,所以f(x)=x3-2x2-x+m+2, 故a=-2,b=-1,c=m+2,故A正确,B错误; 由-3<m≤0,得-1<m+2≤2,即-1<c≤2,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025广东中山实验中学期中]已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=x3f  ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 若f(x)+f(y)+xy=f(x+y),则下列结论正确的是 ( ) A.f(0)=0　　     B.f(3)=3 C.f(x)-f(-x)=x　　    D.f(x)=      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　在f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中,令x=y=0,则f(0)=0,故A正确; 令y=-x,则f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0,即f(x)+f(-x)=x2①,所以f  +f  = ,即f  = -f  ,又f(x)=x3f  , 所以f(x)=x3 =x-x3f  =x+f(-x),即f(x)-f(-x)=x(x≠0)②, 又f(0)=0也符合②, 所以f(x)-f(-x)=x③,故C正确; 联立①③,解得f(x)= ,故D错误; 将x=3代入f(x)= ,得f(3)=6,故B错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025江苏南京外国语学校期中]已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=1,对任意的x∈R,满足f(x+ 1)-f(x-1)≥x, f(x+3)-f(x-3)≤3x,则下列说法正确的有 ( ) A.f(x+3)-f(x+1)≥x+2 B.若f(x)为一次函数,则f(x)存在且不唯一 C.若f(x)为二次函数,则f(x)存在且唯一 D.f(11)=30     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(x+1)-f(x-1)≥x, f(x+3)-f(x-3)≤3x, 所以3x≥f(x+3)-f(x-3)=f(x+3)-f(x+1)+f(x+1)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-3)≥(x+2)+x+(x-2)≥3x, 所以f(x+1)-f(x-1)=x, 所以f(x+2)-f(x)=x+1. 对于A,由f(x+2)-f(x)=x+1,得f(x+3)-f(x+1)=x+2,满足f(x+3)-f(x+1)≥x+2,故A正确. 对于B,设f(x)=kx+b,k≠0,则[k(x+2)+b]-(kx+b)=2k=x+1,不恒成立,所以f(x)不存在,故B错误. 对于C,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+c]-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b=x+1, 所以 解得  所以f(x)= x2+c, 第1讲　描述运动的基本概念 又f(1)=1,所以c= , 所以f(x)= x2+ ,故f(x)存在且唯一,故C正确. 对于D,因为f(x+2)-f(x)=x+1,所以f(3)-f(1)=2, f(5)-f(3)=4, f(7)-f(5)=6, f(9)-f(7)=8, f(11)-f(9)=10,所以f(11)-f (1)=2+4+6+8+10=30,所以f(11)=f(1)+30=31,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025福建泉州第七中学期中]已知函数f(x)满足2f +f =1+x,其中x∈R且x≠0,则函数f(x)的 解析式为____________.     f(x)= -  解析　对于2f +f =1+x①,用-x替换x,得2f +f =1-x,即2f +f =1-x②. ①②联立消去f ,得f = -x. 令 =t,则x= ,t≠1,所以f(t)= - ,即f(x)= - . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西多校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的m,n∈R,2f(m+2n+100)=f(f(m))+8n+300恒 成立,且f(0)=100,则f(55)=_______.     210 解析　令m=0,得2f(2n+100)=f(f(0))+8n+300=f(100)+8n+300,所以f(2n+100)=2(2n+100)-50+ f(100). 设x=2n+100, 则f(x)=2x-50+ f(100). 令x=100,得f(100)=2×100-50+ f(100),解得f(100)=300, 所以f(x)=2x+100. 所以f(55)=55×2+100=210. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　分段函数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏靖江高级中学期中]若在函数定义域的某个区间上定义运算a􀱋b= 则函数f(x)=(-2x+ 1)􀱋(x2-3x+1),x∈[0,2]的值域是　     ( ) A. 　　    B.  C.[-1,1]　　     D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得, f(x)=(-2x+1)􀱋(x2-3x+1)=  即f(x)=  当x∈(1,2]时, f(x)=x2-3x+1,此时f ≤f(x)≤f(2),所以值域为 . 当x∈[0,1]时, f(x)=-2x+1,此时f(1)≤f(x)≤f(0),所以值域为[-1,1]. 综上,所求值域为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏盐城五校联考]已知实数t≠0,函数f(x)= 若f(1+3t)=f(1-2t),则实数t的值为  ( ) A.- 　　    B.- 　　     C. 　　     D.1 A     解析　　当t<0时,1-2t>1,1+3t<1,所以由f(1+3t)=f(1-2t)得2(1+3t)+t=-(1-2t)-2t,解得t=- . 当t>0时,1-2t<1,1+3t>1,所以由f(1+3t)=f(1-2t)得-(1+3t)-2t=2(1-2t)+t,解得t=- ,与t>0矛盾,舍去. 综上,t=- . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏无锡辅仁高级中学期中]已知函数f(x)= 当-5≤x≤2时,函数y=f(f(x)+a)的值域 为[-4,32],则实数a的取值集合为( ) A.{-4,-3}　　     B.{-4,3} C.{2,-3,-4}　　    D.{2,3}     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　作出函数f(x)的图象,如图所示.   由图可知,当-5≤x≤2时, f(x)∈[-4,5],所以f(x)+a∈[a-4,a+5]. 令f(x)=32,得x=8或x=-8; 令f(x)=-4,得x=-2或x=2. 当-4+a=-8,即a=-4时,需满足-2≤5+a≤8,此时a=-4满足不等式. 当5+a=8,即a=3时,需满足-8≤-4+a≤2,此时a=3满足不等式. 综上,实数a的取值集合为{-4,3}. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏连云港赣榆期中]已知函数f(x)=|3x+2|-|3x-1|,g(x)=|x-a|,若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值 范围为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=|3x+2|-|3x-1| =  g(x)=|x-a|=  在同一平面直角坐标系中作出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示.   第1讲　描述运动的基本概念 若f(x)≤g(x)恒成立, 则 解得a≤- , 故实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏徐州期中]已知函数f(x)= 若f(f(2m))≥0,则实数m的取值范围是 ( ) A. ∪[3,+∞) B.  C.  D. ∪[2,+∞)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　若f(2m)≤1,则由f(f(2m))≥0得1-[f(2m)]2≥0,所以-1≤f(2m)≤1. 当2m≤1,即m≤ 时,由-1≤f(2m)≤1得-1≤1-4m2≤1,即0≤m2≤ , 所以- ≤m≤ . 当2m>1,即m> 时,由-1≤f(2m)≤1得-1≤|2m-2|-1≤1,即0≤|m-1|≤1,所以 <m≤2. 故当f(2m)≤1时,m的取值范围是 . 若f(2m)>1,则由f(f(2m))≥0得|f(2m)-2|-1≥0, 所以f(2m)≥3或f(2m)≤1(舍去). 当2m≤1,即m≤ 时,由f(2m)≥3得1-4m2≥3,即m2≤- ,显然无解. 当2m>1,即m> 时,由f(2m)≥3得|2m-2|-1≥3,所以m≥3. 第1讲　描述运动的基本概念 故当f(2m)>1时,m的取值范围是[3,+∞). 综上,实数m的取值范围是 ∪[3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏无锡锡山高级中学阶段测试]已知函数f(x)= 若f(x)的值域为[2,6],则实数 c的取值范围是________. 解析　易知- ≠0,所以当x<c时,- +2≠2. 对于函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2,当x=3时,y=6,当x=1时,y=2,所以1∈[c,3],所以c≤1,又c2-2c+3≤6,所以-1≤c ≤1. 当0≤c≤1时,函数f(x)在(-∞,0)上的取值集合为(2,+∞),在(0,c)上f(x)<2,与题意不符. 当-1≤c<0时,2<- +2<- +2, 所以- +2≤6,所以-1≤c≤- . 综上,实数c的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　借助新定义考查函数的解析式 15.[2026福建厦门外国语学校月考]设y=f(x)是一个定义域为R的函数.若S是R的一个非空子集,且对任意 的s∈S,都有f(x+s)-f(x)=s,则称y=f(x)是S-关联的. (1)判断函数y=x2和函数y=[x]是不是{1}-关联的;([x]表示不超过x的最大整数) (2)若函数y=f(x)是{2}-关联的,且在[0,2)上, f(x)=x2,解不等式组  (3)已知正实数a,b满足a<b,函数y=f(x)是[a,b]-关联的,且f(0)=1,求f(x)的解析式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若函数y=f(x)是{1}-关联的,则f(x+1)-f(x)=1恒成立. 对于函数y=f(x)=x2, f(x+1)-f(x)=(x+1)2-x2=2x+1,不恒等于1,所以y=x2不是{1}-关联的. 对于函数y=f(x)=[x], f(x+1)-f(x)=[x+1]-[x]=1恒成立,故y=[x]是{1}-关联的. (2)因为函数y=f(x)是{2}-关联的, 所以f(x+2)-f(x)=2恒成立. 当x∈[0,2)时, f(x)=x2∈[0,4). 当x∈[2,4)时,x-2∈[0,2),所以f(x)=f(x-2)+2=(x-2)2+2∈[2,6). 当x∈[2k,2k+2)(k≥2)时,x-2k∈[0,2),所以f(x)=f(x-2)+2=f(x-4)+4=…=f(x-2k)+2k≥2k≥4, 所以1<f(x)<4在[4,+∞)上无解. 所以由1<f(x)<4得 或 解得1<x<2或2≤x<2+ ,所以所求解集为(1,2+ ). 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意知,对任意的s∈[a,b], f(x+s)-f(x)=s=(x+s)-x,即f(x+s)-(x+s)=f(x)-x,令g(x)=f(x)-x,则对任意的x∈R, s∈[a,b],g(x+s)=g(x). 任取t∈[0,b-a],则b-t∈[a,b],所以g(x+t)=g(x+t+b-t)=g(x+b)=g(x). 易知对任意x1,x2,且x1≤x2,一定存在正整数k,使得 ∈[0,b-a],所以g(x2)=g x1+k·  =g  =…=g(x1),所以存在实常数C,使得g(x)=C,又f(0)=1,所以g(0)=1,所以g(x)=1,所以f(x)=x+ 1. 第1讲　描述运动的基本概念 $