第4章 03-高考真题练(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数与对数核心内容，涵盖指数式与对数式恒等变形及实际应用，通过高考真题（如2021天津题）导入基础变形，再延伸至视力表、AI训练时间等现实问题，构建从理论到实践的学习支架。 其亮点是融合高考、竞赛及强基题目，以声压级计算等实例引导学生用数学眼光观察现实世界，解析中强调换底公式推理培养数学思维。分层设计助力学生巩固知识，也为教师提供丰富资源，提升教学效率。

第4章 指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　指数式与对数式的恒等变形 1.[2021天津,7]若2a=5b=10,则 + =( ) A.-1　　    B.lg 7　　     C.1　　    D.log710     C     解析　　∵2a=10,∴a=log210,则 =lg 2,同理可得 =lg 5,∴ + =lg 2+lg 5=1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2022天津,6]化简(2log43+log83)·(log32+log92)= ( ) A.1　　    B.  C.2　　    D.      C     解析　　原式= · = log23× log32=2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2022浙江,7]已知2a=5,log83=b,则4a-3b= ( ) A.25　　    B.5　　     C. 　　    D.      C     解析　　由log83=b,得8b=23b=3, 所以4a-3b= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2024全国甲理,15]已知a>1且 - =- ,则a=______. ①心中有“数”　换底公式,对数的运算性质     64 思路点拨 注意4和8都是与2有关的数,且8在底数的位置,4在真数的位置,所以考虑利用公式logaMn=nlogaM和logab = 将等式转化为关于log2a的方程,进而求解. 解析　易得 - = - log2a=- ,整理,得(log2a)2-5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a=6.因为a>1,所 以log2a=6=log226,所以a=26=64. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　指数、对数的实际应用 5.[2021全国甲理,4]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录 法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视 力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为( ≈1.259) ( ) A.1.5　　    B.1.2　　    C.0.8　　    D.0.6     C     解析　　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,即lg V=-0.1=- =lg 1 , ∴V=1 = ≈ ≈0.8, ∴其视力的小数记录法的数据约为0.8. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025北京,9]一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位: h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 ( ) A.2 h　　     B.4 h　　     C.20 h　　    D.40 h     B     解析　　设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h. 由题意得T1=klog2106,T2=klog21.024×109=k(log21 024+log2106)=k(log2106+10),两式相减得T2-T1=10k=20,解 得k=2,则T3-T2=2log24.096×109-2(log2106+10)=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2023新课标Ⅰ,10]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp =20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 第1讲　描述运动的基本概念 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( ) A.p1≥p2　　     B.p2>10p3 C.p3=100p0　　    D.p1≤100p2     ACD     解析　    p0,p1,p2,p3均大于0,∵ - =20×lg  -20×lg  =20×lg  ≥0, ∴ ≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵ - =20×lg  ≥10,∴lg  ≥ ,∴ ≥ ,∴p2≥ p3,故B错误; ∵ =20×lg  =40,∴ =100,∴p3=100p0,故C正确; ∵ - =20×lg ≤90-50=40, ∴lg ≤2,∴ ≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 8.[2025全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛暨全国高中数学联合竞赛]若log3(9x)+log27(3x)=2log9(27x), 则正数 x 的值为_____.     9 解析　设k=log3x, 则log3(9x)=log39+log3x=2+k, log27(3x)= = = . log9(27x)= = =  . 因为log3(9x)+log27(3x)=2log9(27x), 所以2+k+ =2× ,解得k=2,所以k=log3x=2,所以x=9. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛]方程 = 的解集为_________.     {2,8} 解析　因为 = , 所以log4x=logx , 所以由换底公式得 = = = , 整理,得(ln x)2-4ln 2ln x+3(ln 2)2=0, 所以(ln x-ln 2)(ln x-3ln 2)=0, 解得ln x=ln 2或ln x=3ln 2=ln 8, 所以x=2或x=8, 所以原方程的解集为{2,8}. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 10.[2025山东大学强基计划]已知a,b,c,d∈N*,logab= ,logcd= ,a-c=9,则b-d=______.     93 解析　因为logab= ,logcd= , 所以b= =( )3,d= =( )5. 设a=m2,c=n4(m,n∈N*),则a-c=m2-n4=9,即(m+n2)(m-n2)=9. 因为a,b,c,d∈N*,所以有以下两种可能: ①m+n2=3,m-n2=3,此时m=3,n=0(舍去); ②m+n2=9,m-n2=1,此时m=5,n=2. 所以b=( )3=125,d=( )5=32,所以b-d=93. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2024福建厦门大学强基计划][x]表示不超过x的最大整数,则 [lg k]+  =_______. 　-2 020 解析　若x是整数,则[x]+[-x]=x+(-x)=0; 若x不是整数,则x-[x]∈(0,1),所以1-x+[x]∈(0,1). 易知-[x]-1是整数,-x=-[x]-1+(1-x+[x]),所以由1-x+[x]∈(0,1),知[-x]=-[x]-1,即[x]+[-x]=-1. 记ak=[lg k]+ =[lg k]+[-lg k]. 对于1≤k≤ 2 024,当k∈{1,10,100,1 000}时,lg k是整数,所以ak=0. 当k∉{1,10,100,1 000}时,lg k不是整数,所以ak=-1. 所以 [lg k]+   = ([lg k]+[-lg k])= ak=-1×(2 024-4)=-2 020. 第1讲　描述运动的基本概念 $