第4章 02-4.2.1 对数的概念 4.2.2 对数的运算性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、运算性质、换底公式及实际应用，通过指数式与对数式互化衔接指数知识，搭建从概念理解到性质运用再到实际问题解决的学习支架。 其亮点在于结合易错点解析和解题模板，通过声强级计算、垃圾分解率等实例，培养学生数学思维（运算推理）和数学语言（模型表达）能力。学生能深化知识理解，教师可提升教学针对性与效率。

第4章 指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　对数 4.2.1　对数的概念　4.2.2　对数的运算性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数的概念与性质 1.[多选题]下列指数式与对数式互化正确的是( ) A. =m与log m=e(m>0) B.10x=6与lg 6=x C.2 = 与lo 27=-  D. =3与log93=      BD     解析　     =m化成对数式应为logem= ,即ln m= ,故A错误;10x=6可化为lg 6=x,故B正确;2 = 化成 对数式应为log27 =- ,故C错误; =3可化为log93= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　指数式与对数式互化,关键是弄清各部位的去向,如下(其中a>0且a≠1,N>0):   第1讲　描述运动的基本概念 2.[易错题][2026江苏盐城阜宁期中]在对数式b=log(a-3)(5-a)中,实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(3,5) C.(3,4) D.(3,4)∪(4,5)     D     解析　　要使log(a-3)(5-a)有意义,需满足 解得3<a<4或4<a<5,所以实数a的取值范围是(3,4)∪(4, 5). 易错警示　当对数logaN有意义时,需满足真数N大于0,底数a大于0且不等于1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知log7[log2(lg x)]=0,则x=_______.     100 解析　∵log7[log2(lg x)]=0, ∴log2(lg x)=1, ∴lg x=2,故x=100. 第1讲　描述运动的基本概念 4.计算:log5 =_____.     1 解析    log5 =log5(2+3)=log55=1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数的运算性质 5.[2026云南部分学校联考]已知实数x,y满足xlog32=1,y=log23,则2x+2y的值为 ( ) A.3　　    B.log23+3　　     C.6　　    D.2     C     解析　　由xlog32=1得log32x=1,所以2x=3,所以2x+2y=3+ =3+3=6. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京鼓楼期中]已知lg 2=a,lg 3=b,则实数lg ,lg 1.8,lg 14中可以用a,b表示的有 ( ) A.0个　　    B.1个　　    C.2个　　    D.3个     C     解析　    lg =lg 3-lg 5=lg 3-lg =lg 3-lg 10+lg 2=a+b-1; lg 1.8=lg =lg 18-lg 10=lg(2×9)-lg 10=lg 2+2lg 3-1=a+2b-1; lg 14=lg 2+lg 7=a+lg 7,表达式不含b,因此无法用a,b表示. 故能用a,b表示的有2个. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题]若10a=4,10b=25,5c=4,则下列计算正确的是 ( ) A.a+b=2　　    B.b-a=1　　     C.ab=10　　    D. - =      AD     解析　　因为10a=4,10b=25,5c=4,所以a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,故A正确;b-a =lg 25-lg 4=lg  ≠1,故B错误;由基本不等式得ab≤ =1,当且仅当a=b时取等号,又a=lg 4,b=lg 25, 所以等号不成立,即ab<1,故C错误; - = - =log410-log45=log42= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南京二十九中期中]在一次趣味表演中,主持人出题:一个35位整数的31次方根仍是一个整 数,下面我报出这个35位数,请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字,速算专家已经写出了 答案:这个数的31次方根是13,他的秘诀就是:他记住了常用对数的大致值.现给出下表(表中常用对数为 近似值),请你也试一试,若一个20位整数的25次方根仍是一个整数,则这个整数的25次方根是 ( )     D     真数 2 3 4 5 6 7 8 常用对数 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设这个整数为N,它的25次方根为x,则x25=N,N为20位整数, (方法技巧:大数字的乘法与乘方取常用对数进行近似计算,可以降低运算级别(乘除化为加减、乘方化 为乘除),简化运算过程) 则lg x25=lg N,所以lg x= lg N. 因为1019≤N<1020,所以19≤lg N<20,(思路点拨:N是20位整数,则1019≤N<1020) 所以0.76≤ lg N<0.8,由题表中数据可知lg x=0.78,即x=6,因此这个整数的25次方根是6. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏南京外国语学校期中]计算:lg 25+ lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2+ =_____.     5 解析　原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(lg 2+1)+(lg 2)2+2=2(lg 5+lg 2)+(lg 5+lg 2)lg 2+lg 5+2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 10.(1)[2026上海吴淞中学调研]解方程:log3(x-1)=lo (2x+1)+2; (2)[2026安徽阜阳太和第八中学月考]解方程:log3(1-2·3x)=2x+1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为log3(x-1)=lo (2x+1)+2=log3 , 所以 即  解得x= . 故方程log3(x-1)=lo (2x+1)+2的解集为 . (2)由题知1-2·3x>0,则0<3x< . 因为log3(1-2·3x)=2x+1=log332x+1=log3[3·(3x)2],所以1-2·3x=3·(3x)2,即3·(3x)2+2·3x-1=0. 令t=3x,则t∈ ,3t2+2t-1=0,解得t=-1(舍去)或t= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以3x= ,解得x=-1, 所以方程log3(1-2·3x)=2x+1的解集为{-1}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　换底公式的运用 11.[2026江苏盐城七校联盟检测]若实数a,b满足 3a=4b=36,则 + = ( ) A.-1　　    B.1　　    C.- 　　    D.      D     解析　　由3a=36得a=log336, 由4b=36得b=log436, 所以 = =log363, = =log364, 所以 = · = log364=log362, 所以 + =log363+log362=log36(3×2)=log366= . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏宿迁期中]已知a=log23,b=log27,则log4256可用a,b表示为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      B     解析　    log4256= =  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏南通海门中学期中]已知a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,则logab+logba=_____. 解析　由2(ln x)2-3ln x+1=0, 得(2ln x-1)(ln x-1)=0, 解得ln x=1或ln x= . 不妨令ln a=1,ln b= ,则logab+logba= + = +2= . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026湖南湘一名校联盟质量检测]已知正数a满足log8(log9a)=5,则log2(log3a)=______.     16 解析　因为log8(log9a)=lo (lo a) = log2  =   = [log2(log3a)-1]=5, 所以log2(log3a)=16. 第1讲　描述运动的基本概念 15.计算: (1) +ln +log35×log259+lg 4+2lg 5; (2)2log32-log3 +log38-(log43+log83)(log32+log92). 解析    (1)原式= +ln e-1+ × +lg 4+lg 25= -1+ × +2= -1+1+2= . (2)原式=log3 22× ×8 -  +    =log332- × log32=2- = . 方法总结　在应用换底公式时,底数的选择要由具体的已知条件来决定,一般情况下换成以10为底的常 用对数. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　对数的实际应用 16.[2026江苏南通检测]声强级LI(单位:dB)的计算公式为LI=10lg ,其中I为声强(单位:W/m2).若某音 源的声强由I1变为I2,其声强级由10.1提高到30.1,则 ( ) A.I2=I1+20　　    B.I2=20I1　　     C.I2=100I1　　    D.I2=(I1)10     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　根据声强由I1变为I2,声强级由10.1提高到30.1,可得10.1=10lg , 30.1=10lg , 故10lg -10lg =30.1-10.1=20,　     即10lg =20,故lg =2,则 =102,即I2=100I1. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026湖南湘西检测]设某地海拔(单位:m)h1处的大气压(单位:kPa)为p1,海拔h2处的大气压为p2,且ln  = ,其中M,g,R都是大于零的常数,T表示海拔h1~h2的平均气温(单位:K),记该地海拔0 m处的 大气压为p0 kPa,下表列出了不同季节时ln p0的数据: 季节 春季 夏季 秋季 冬季 ln p0 (4.55,4.65] (4.45,4.55] (4.65,4.7] (4.7,4.75] 若某天该地海拔0 m~1 000 m的平均气温为300 K,海拔1 000 m~2 000 m的平均气温为285 K,海拔1 000 m处的大气压为90 kPa,海拔2 000 m处的大气压为80 kPa,则这一天的季节为(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈ 1.1,ln 5≈1.6) ( ) A.春季　　    B.夏季　　    C.秋季　　    D.冬季     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得ln  = ,ln  = ,所以ln  = ln  , 所以ln p0= ×(ln 90-ln 80)+ln 90. 由参考数据得ln 90=ln(2×32×5)=ln 2+2ln 3+ln 5≈4.5,ln 80=ln(24×5)=4ln 2+ln 5≈4.4, 所以ln p0= ×(4.5-4.4)+4.5=4.595. 因为4.595∈(4.55,4.65], 所以该天的季节为春季. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2025北京第五十五中学期中]已知某种垃圾的分解率为v,与时间t(月)满足函数关系式v=abt(其中a,b 为非零常数),若经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,经过24个月,这种垃圾的分解率为20%,那么这种 垃圾完全分解,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)　     ( ) A.48个月　　    B.52个月 C.64个月　　    D.120个月     B     解析　　由题意可得  解得 所以v= · , 这种垃圾完全分解,即v=1,此时1= · ,即2t=2012, 则t=log22012=12log2(4×5)=24+12log25=24+12× ≈52. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2026江苏南京七校联合体调研]牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的:物体在空气中冷却,如 果物体的初始温度为θ1 ℃,环境温度为θ0 ℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.已知环 境温度为20 ℃,一块面包从温度为120 ℃的烤箱里拿出,经过10分钟温度降为70 ℃,那么温度降为30 ℃ 大约需再经过的时间是(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) ( ) A.33分钟　　    B.28分钟 C.23分钟　　    D.18分钟     C     解析　　由题意得70-20=(120-20)e-10k,化简,得e-10k= ,所以k= ln 2. 设这块面包总共经过t分钟,温度降为30 ℃,则30-20=(120-20)e-kt,化简得e-kt= ,解得t= ln 10= =  ≈ ≈33,故大约再经过33-10=23分钟,这块面包的温度降为30 ℃. 第1讲　描述运动的基本概念 $