专题4.2 对数（4大知识点+10大题型+强化训练）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（苏教版必修第一册）

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题4.2 对数 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． （4）对数恒等式： 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 对数运算中的常见公式及推广 (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 知识点三、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 结论：． 知识点一、对数的概念 题型01：对数的概念辨析 【例1】给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 【例2】若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练】 1．对数式中实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得解得. 故选：C. 2.使式子有意义的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使式子有意义，则，即，解得或， 所以x的取值范围是.故选：D 3.求下列各式中的取值范围. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据对数式有意义可得出关于的不等式（组），即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得，解得，即的取值范围是. （2）解：由题意可得，解得或， 即的取值范围是. 题型02：指数式与对数式的互化 【例3】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)； 【答案】(1)(2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； (3)由对数定义得； (4)由对数定义得； 【例4】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)．(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）. (3)由对数定义得； (4)由对数定义得． 【例5】求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以，所以，因为且，所以； （3）因为，所以，所以； （4）因为，所以，即，所以，所以 【跟踪训练】 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)． 【答案】(1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8) 【解析】(1)因为，所以； (2)因为，所以； (3)因为，所以； (4)因为，所以； (5)因为，所以； (6)因为，所以； (7)因为，所以； (8)因为，所以. 2.将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 3.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 题型03：利用对数性质化简求值 【例6】（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故选：C. 【例7】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【跟踪训练】 1. ． 【答案】9 【分析】由对数的概念直接计算即可. 【详解】由对数的概念可得， 故答案为：9 2. 若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3.求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)5 (2)1000 (3) 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解； （3）根据对数的定义结合指数运算求解. 【详解】（1）因为，可得，所以. （2）因为，可得，所以. （3）由题意可得. 4.已知，试求的值． 【答案】 【分析】根据对数的性质，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可. 【详解】， . 知识点二、对数的运算性质 题型04：对数的运算性质的理解 【例8】 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 【详解】(1)； (1)； (3). 【跟踪训练】 1. 设且，则下列说法正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D． 【答案】C 【分析】利用对数定义及其运算性质，依次判断四个选项即可. 【详解】对于A，当时，和均无意义，则选项A错误； 对于B，当时，和均无意义，则选项B错误； 对于C，若，则，则选项C正确； 对于D，若时，无意义，则选项D错误； 故选：. 2. 若且，，，、，，给出下列等式其中不成立的是_______ (1) ； (2) ； (2) ； (4) . 【分析】利用对数的运算性质判断①②③④即可. 【解析】因为且，，，、，， 对于①，，①错； 对于②，，②错； 对于③，，③对； 对于④，，④对. 故正确的个数为. 3. 若，则 ． 【答案】4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得 或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 题型05：对数运算 【例9】计算：（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 【答案】（1）－1；（2）13. 【解析】（1）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. （2）原式 . 【例10】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用对数的运算性质，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. （5） . 【跟踪训练】 1. 化简下列各式： （1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； （2）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； （3）计算(log32＋log92)·(log43＋log83)； （4）2log32－log3＋log38－3log55； 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）－1. 【解析】（1）原式＝ （2）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5 ＝2(lg2＋lg5) ＝2. （3）(log32＋log92)·(log43＋log83) ＝· ＝· ＝· ＝. （4）2log32－log3＋log38－3log55 ＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3 ＝－1. 2.求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－5； (2) [(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. (3)4lg 2＋3lg 5－lg ； (4)log220－log25＋log23·log34； (5) （6）(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2； （7）log535－2log5＋log57－log51.8； （8）lg－lg＋lg； （9）lg52＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. 【答案】（1）-1（2）1（3）4（4）4（5）（6）1；（7）2；（8）；（9）3. 【解析】(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝÷2log62 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2·log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1. (3) 4lg2+3lg5﹣lg=4lg2+4lg5=4lg10=4. (4)原式＝log2＋log23·＝log24＋log24＝2log24＝4. (5)原式＝===． （6）原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1. （7）原式＝log55＋log57－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝1＋2log53－2log53＋1＝2. （8）原式＝(lg32－lg49)－＋lg(5×49)＝(5lg2－2lg7)－2lg2＋lg5＋lg7＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7＝(lg2＋lg5)＝. （9）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋lg5×lg2＋lg5＋(lg2)2＝2＋lg2(lg5＋lg2)＋lg5＝3. 3.计算下列各式的值： (1)lg； (2)log345－log35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)1；(4). 【解析】(1)解：原式＝. (2)解：原式＝log3＝log39＝log332＝2. (3)解：原式=(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (4)解：原式＝＝＝. 题型06：解对数方程 【例11】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【解答过程】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 2．求下列各式中的的值： (1)；(2). 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由得，，解得x＝－2； (2)由可得，故，∴x＝＝64. 3. 解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或或或或或， (2) 【详解】（1）因为，所以 ①，解得或； ②，解得或； ③，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，方程的解为或或或或或； （2）由得， 所以， 由于，所以，故， 故方程的解为 知识点三、换底公式 题型07：应用换底公式化简求值 【例12】若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 【例13】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），， ，， ； （2），， ． 【跟踪训练】 1.已知，，用，表示，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，故选:D． 2.已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 3.已知，若，则___________. 【答案】8 【解析】由，且 所以是方程的两根， 解得或， 又，所以，即，又 从而，且，则，． 所以. 故答案为：8. 4.已知，则，则A等于__________． 【答案】 【解析】∵,∴，. ∴，. 又∵, , 即，∴，. 故答案为： 5.已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 6.已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】 【分析】指数对数互化，后结合对数的换底公式与运算性质可解. 【详解】令， 所以，，， 因为x，y，z为正数，所以， 所以． 题型08：应用换底公式证明恒等式 【例14】设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】运用换底公式证明即可. 【详解】由题意，根据换底公式，，命题得证. 【例15】已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】令， 则，，， 所以. 【跟踪训练】 1.已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 2.已知：，求证：． 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 3.设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 知识点四、对数的应用及综合提升 题型09：对数运算实际应用 【例16】某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案． 【详解】依题意可得， 即， 所以． 故选：A． 【跟踪训练】 1.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 2.近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 【答案】C 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 故选：C 3.一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 【答案】A 【分析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．根据题意列出指数等式，再利用指对关系和对数的运算性质以及条件进行求解. 【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则，故， 两边取对数得，， 所以. 故选：A. 题型10：综合提升 【例17】已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 【例18】已知，且． 求的值； 若，解关于的不等式：其中． 【答案】解：，且， ，， ． ，， ， 不等式可化为：， 当时，不等式为，解得， 当时，解方程得，， 不等式的解集为或， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为  【跟踪训练】 1.已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解. 【详解】因为，所以，即，所以．因为，则，所以，， ， 则，， 当且仅当时，等号均成立． 故选：D． 2.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 3.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【解析】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 一、选择题 1．已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 【答案】C 【分析】根据对数的性质即可求解集合，由交集的定义即可求解. 【详解】由可得,又， 故 故选：C 2. 已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 3.将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 4.下列各式： ①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数的概念和性质，逐项判断，即可得到结果. 【详解】对于①，因为，故①正确； 对于②，因为，故②正确；   对于③，因为，所以，故③错误； 对于④，因为，∴，故④错误. 所以只有①②正确． 故选：B. 5.若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 6.化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式 . 故选：B 7. 计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 8. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（    ）（参考数据：） A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】C 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数， 得到，即，又， 所以，得到， 故选：C. 二、多项选择题 9.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 10.下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 11.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 12.已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为正实数满足，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，取到最小值4，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，，由A选项可知， 由函数在上单调递减可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 13.若，则的值是 . 【答案】16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 14. ． 【分析】利用对数运算将目标式转化为关于的表达式，然后展开整理即可. 【详解】 . 15. ，则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 16. 已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 四、解答题 17．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 18.求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 19.计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）. （2） （3） 20.（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）（2）根据对数运算的概念以及运算律，可得答案. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）因为，所以，解得， 由，解得， 所以. 21.已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题4.2 对数 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． （4）对数恒等式： 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 对数运算中的常见公式及推广 (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 知识点三、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 结论：． 知识点一、对数的概念 题型01：对数的概念辨析 【例1】给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．对数式中实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.使式子有意义的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.求下列各式中的取值范围. (1)； (2) 题型02：指数式与对数式的互化 【例3】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4)； 【例4】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)．(3)；(4)． 【例5】求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练】 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)． 2.将下列指数式与对数式进行转换： (1)；(2)；(3)；(4). 3.将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型03：利用对数性质化简求值 【例6】（    ） A． B． C． D．2 【例7】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练】 1. ． 2. 若，则 . 3.求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 4.已知，试求的值． 知识点二、对数的运算性质 题型04：对数的运算性质的理解 【例8】 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 【跟踪训练】 1. 设且，则下列说法正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D． 2. 若且，，，、，，给出下列等式其中不成立的是_______ (1) ； (2) ； (2) ； (4) . 3. 若，则 ． 题型05：对数运算 【例9】计算：（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 【例10】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【跟踪训练】 1. 化简下列各式： （1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； （2）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； （3）计算(log32＋log92)·(log43＋log83)； （4）2log32－log3＋log38－3log55； 2.求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－5； (2) [(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. (3)4lg 2＋3lg 5－lg ； (4)log220－log25＋log23·log34； (5) （6）(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2； （7）log535－2log5＋log57－log51.8； （8）lg－lg＋lg； （9）lg52＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. 3.计算下列各式的值： (1)lg； (2)log345－log35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4). 题型06：解对数方程 【例11】方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练】 1. 若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 2．求下列各式中的的值： (1)；(2). 3. 解关于的方程： (1) (2) 知识点三、换底公式 题型07：应用换底公式化简求值 【例12】若，，则（    ） A． B． C． D． 【例13】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【跟踪训练】 1.已知，，用，表示，则（       ） A． B． C． D． 2.已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 3.已知，若，则___________. 4.已知，则，则A等于__________． 5.已知，且，则的值为 ． 6.已知x，y，z为正数，若，求的值． 题型08：应用换底公式证明恒等式 【例14】设均为正数，且均不为1.求证：. 【例15】已知，求证：. 【跟踪训练】 1.已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 2.已知：，求证：． 3.设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 知识点四、对数的应用及综合提升 题型09：对数运算实际应用 【例16】某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） A．300年 B．255年 C．175年 D．125年 【跟踪训练】 1.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 2.近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 3.一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 题型10：综合提升 【例17】已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例18】已知，且． 求的值； 若，解关于的不等式：其中． 【跟踪训练】 1.已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知为实数， (1)求证:； (2)若不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 一、选择题 1．已知集合,集合，则=（   ） A．{} B．{,,0} C．{2} D．{0,1} 2. 已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 3.将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 4.下列各式： ①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 6.化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7. 计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 8. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（    ）（参考数据：） A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 二、多项选择题 9.下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 11.已知，，则（    ） A． B． C． D． 12.已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13.若，则的值是 . 14. ． 15. ，则用和表示的结果为 16. 已知，且，则的值为 ． 四、解答题 17．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 18.求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 19.计算下列各题： (1)； (2)； (3). 20.（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 21.已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $