第4章 01-4.1.1 根式 4.1.2 指数幂的拓展(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数章节，涵盖根式概念与性质、指数幂拓展及运算，通过复习整数指数幂导入，结合实例引出根式定义，逐步过渡到分数指数幂，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点是分层设计基础与能力提升练习，突出易错点警示（如根式化简中n的奇偶性）和条件求值整体思想，通过多选题、易错题训练数学思维中的推理与运算能力，如条件求值题培养模型意识。学生能深化概念理解，教师可利用分层练习优化教学。

第4章 指数与对数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.1　指数 4.1.1　根式　4.1.2　指数幂的拓展 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根式的概念与性质 1.[多选题][2026重庆九校联盟联考]若a>0,b<0,则下列各式一定有意义的是 ( ) A. + 　　    B.ab　　    C.ba　　    D.      BD     解析　　对于A,因为b<0,所以 无意义,故A中式子无意义. 显然B中式子一定有意义. 对于C,当a= 时,满足a>0,但b<0,此时 无意义,故C中式子不一定有意义. 对于D,因为任意实数都有唯一的立方根,所以 有意义,故D中式子一定有意义. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[易错题][2026江苏连云港灌南期中]化简: + = ( ) A.1　　     B.-1　　     C.7-2π　　    D.2π-7     C     解析　     + =|π-4|+3-π=4-π+3-π=7-2π. 易错警示　化简根式 (n>1,且n∈N*)时一定要注意n是奇数还是偶数,当n为奇数时, =a;当n为偶 数时, =|a|=  第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西赣州二十四校期中联考]若a<-1,则 · = ( ) A.-(a+1)5　　    B.(a+1)5　　     C.-(a+1)6　　    D.(a+1)6     C     解析　　因为a<-1,所以a+1<0, 所以 ·  = ·  =-(a+1)3·(a+1)3=-(a+1)6. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[易错题][2026江苏常州金坛第一中学调研]在实数范围内, 的四次方根是______.     ±  解析　由指数运算可知 = , = ,所以 的四次方根是 或- . 易错警示　正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　根式与分数指数幂的互化 5.[2025江苏无锡江阴第二中学检测]下列各式中一定成立的是　     ( ) A. =n7 　　     B. =  C. = 　　    D. =      D     解析　　对于A, =n7m-7,故A错误; 对于B, = = ,故B错误; 对于C,当x=1,y=2时, = = = , = ,此时 ≠ ,故C错误; 对于D, = = = = = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏南京第九中学检测]下列等式中正确的是 ( ) A.- =(-x  B. = (x<0) C. = (x>0) D.[  = (x>0)     ACD     解析　　对于A,- =- =(-x ,故A正确. 对于B,当x<0时, >0, <0,故B错误. 对于C,当x>0时, = = ,故C正确. 对于D,当x>0时,[  =(  = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025黑龙江鹤岗期末]经过化简,可得恒等式 =xmyn(其中x>0,y>0),则m+n=_____. 解析　由 =  =xmyn可得m= ,n= ,又n∈N*,n>1,所以n=2,m= ,所以m+n= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用指数幂的运算性质化简或求值 8.[2026浙南名校联盟联考]已知a>0,将 表示成分数指数幂的形式,其结果是 ( ) A.a-1　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　　因为a>0,所以  = = = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025安徽江淮名校期中]已知 · · =4,则a= ( ) A.2　　    B.-2　　     C.4　　    D.2或-2     A     解析　　易得 · · = · · =a2,所以a2=4,解得a=±2. 由题中等式可知a>0,所以a=2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.下列式子中错误的是　     ( ) A.(27a3 ÷(0.3a-1)=10a2(a≠0) B.( - )÷( + )= - (a,b>0) C.[(2 +3)2×(2 -3)2 =-1 D. = (a>0)     C     解析　    对于A,原式=[(3a)3 ÷(0.3a-1)=3a× a=10a2(a≠0),故A中式子正确; 对于B,原式= = = - (a,b>0),故B中式子正确; 对于C,原式=[(2 +3)2×(3-2 )2 =[(2 +3)2 ·[(3-2 )2 =(2 +3)×(3-2 )=1,故C中式子错误; 对于D,原式= = = = = (a>0),故D中式子正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖北襄阳第一中学期中]计算:0.008  - × 81-0.25+   -10×0.02 =_____.     0 解析　原式= -(3×1)-1× -10×(0.33 = - × -10×0.3= - -3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　条件求值问题 12.[2025江苏南京第一中学调研]已知10m=3,10n=4,则1 = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　　观察所求式的指数与已知式的指数的关系,整体代入求解. 1 = = = . 思想方法　整体思想在本节中常用于解决分数指数幂的条件求值问题,分析观察条件式与待求式的结 构特点,灵活运用恒等式是解题的关键. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2026江苏南京临江高级中学月考]已知实数a满足a+a-1=3,则下列运算正确的是 ( ) A.a2+a-2=9　　    B. + =  C.a-a-1= 　　    D. =2     BD     解析　　对于A,因为a+a-1=3,所以(a+a-1)2=9,即a2+a-2+2=9,所以a2+a-2=7,故A错误. 对于B,因为a+a-1=3,所以a>0,( + )2=a+a-1+2=5,所以 + = ,故B正确. 对于C,由A中分析得a2+a-2=7,所以(a-a-1)2=a2+a-2-2=7-2=5,所以a-a-1=± ,故C错误. 对于D, + =( )3+( )3=( + )(a-1+a-1), 由B中分析得 + = ,所以 =a-1+a-1=3-1=2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.1　指数 4.1.1　根式　4.1.2　指数幂的拓展 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根式的概念与性质 1.当 有意义时,化简 - 的结果是 ( ) A.2x-7　　    B.-2x+1　　    C.-1　　    D.7-2x     C     解析　　由 有意义得x≤1, 则 - = - =4-x-(5-x)=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通海安实验中学月考]若 + 为定值,则实数x的取值范围为 ( ) A.(-∞,0]　　     B.(-∞,1] C.[0,+∞)　　    D.[1,+∞)     B     解析　　当x>1时, + =x-1+x=2x-1,不为定值. 当x≤1时, + =1-x+x=1,为定值. 综上,实数x的取值范围为(-∞,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知实数a满足等式 = ,则实数a的值为_____.     8 解析　由题意得, ≥0, ∴ ≥1,故 ≥1. 设 =t,则a=t3(t≥1), ∵ = ,∴ =t, ∴1+ =t2,∴ =t2-1, ∴1+t3= ,∴1+t3=t4-2t2+1, ∴t4-t3-2t2=0,∴t2(t2-t-2)=0, 即t2(t-2)(t+1)=0, ∴t=2或t=0(舍)或t=-1(舍). ∴ =t=2,∴a=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数幂的运算性质及其应用 4.[教材习题改编]设a>0,a≠1,已知m=ax,n=ay,mynx= (z≠0),则xyz的值为 ( ) A.0　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.4     C     解析　　∵m=ax,n=ay,∴my= =axy,nx= =axy,故mynx=axy·axy=a2xy= ,∴2xy= ,∴xyz=2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆九龙坡杨家坪中学期中]某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律,根据试验 数据发现,在相同条件下,这种植物每周以a%的增长率生长.若经过8周后,该植物的长度是原来的 倍, 则再经过4周,该植物的长度大约是原来的 ( ) A. 倍　　    B. 倍　　    C. 倍　　    D. 倍     D     解析　　设植物原来的长度为m,则m(1+a%)8= m,所以(1+a%)8= ,所以1+a%= ,所以再经过4周,该 植物的长度为m(1+a%)12=m =m· = m,此时该植物的长度大约是原来的 倍. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏苏州期末]满足ax=by=cz, - + =0(x,y,z∈R,且x,y,z≠0)的有序实数组(a,b,c)可以是 ( ) A.(4,3,2)　　    B.(4,2,3)　　     C.(3,9,2)　　    D.(18,12,2)     D 解析　　设ax=by=cz=t,则a= ,b= ,c= . 因为 - + =0,所以 = + , 则 = ,即b2=ac3. 将各选项依次代入,可知只有(18,12,2)满足b2=ac3. 第1讲　描述运动的基本概念 7.化简:(1) - - + ; (2) (a,b>0); (3) · (a,b>0). 解析    (1)原式= -1- + = +2-1-( -2)+16=19. (2)原式= = · =   . (3)原式= · = · = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数幂的条件求值问题 8.[2025江苏南京六校期中]已知 - = ,则a2-a-2= ( ) A.3 　　    B.±3 　　    C.21 　　    D.±21      C     解析　　由 - = 得( - )2=a-2+a-1=5,即a+a-1=7,所以 + = = = =3,所以 a-a-1=( + )( - )=3 ,所以a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1)=21 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏泰州靖江高级中学检测]已知关于x的不等式x2-2ax+b>0的解集为(-∞,3)∪(3,+∞),若am+bn= 9,则32-m+3m-2n的最小值为 ( ) A. 　　    B.3　　    C.3 　　    D.9     B     解析　　由题意得,方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根3, 所以  所以a=3,b=9, 所以am+bn=9,即3m+9n=9, 所以32-m+3m-2n= + = + = + +1≥2 +1=3,当且仅当 = ,即m=2n时取等号,所以32-m +3m-2n的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知 , 是方程x2-5x+3=0的两个不相等的实数根,则 的值为______.     22 解析　由根与系数的关系得 + =5, =3, 所以 =  =  =  =m+ +n=( + )2-  =52-3=22. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖北百强高中名校联考]已知 = (a>0,且a≠1),则a2x=_______.      或2 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 =  = , 所以a2x-1+a-2x= . 设t=a2x,则t-1+ = ,t>0, 整理得 =0, 所以2t2-5t+2=0,解得t= 或t=2, 即a2x= 或a2x=2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026湖北荆州沙市中学月考](1)已知yx= +1,求 的值; (2)已知5m+5n=7,5m+n=6,求 的值. 解析    (1)易知y2x-y-2x=(yx-y-x)(yx+y-x),所以 =yx-y-x, 又yx= +1, 所以 =( +1)- = . (2)易得52m+52n= -2·5m·5n= -2·5m+n=49-12=37, 5-m+5-n= + = = = , 所以 = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $