第3章 05-思想方法练3(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦不等式章节，围绕分类讨论、数形结合、转化与化归思想展开专题训练，通过含参数不等式求解、二次函数根分布等例题，衔接二次函数与方程知识，搭建从具体问题到思想方法的学习支架。 其亮点在于以典型例题为载体，通过分类讨论培养逻辑推理（数学思维），数形结合强化几何直观（数学眼光），转化与化归提升模型意识（数学语言）。例如含参数二次不等式的分类步骤解析，帮助学生形成解决复杂问题的思维框架，教师可直接用于专题教学，提升课堂效率。

第3章 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练3 第1讲　描述运动的基本概念 一、分类讨论思想在解不等式中的应用 1.[2026江苏淮安涟水第一中学月考]已知关于x的不等式x2-(1+3a)x+3a<0的解集中不含有整数,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(0,1)　　     B. ∪  C. 　　    D.[0,1]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由x2-(1+3a)x+3a<0得(x-1)(x-3a)<0. (不等式对应方程的根的大小情况不确定,所以要对两根的情况进行讨论) 若1<3a,即a> ,则解不等式得1<x<3a,所以3a≤2,解得a≤ ,所以 <a≤ . 若1=3a,即a= ,则不等式的解集为⌀,此时解集中不含整数,满足题意. 若1>3a,即a< ,则解不等式得3a<x<1,所以3a≥0,解得a≥0,所以0≤a< . 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.设函数y=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围; (2)解不等式:y<(m+1)x-3. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(二次项系数含有参数,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论) 当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意; 当m≠0时,由题意得  解得-4<m<0. 综上所述,m的取值范围是{m|-4<m≤0}. (2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,即(mx-1)(x-2)<0. (解二次项系数含有参数的不等式时,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论) 当m=0时,原不等式为x-2>0,解得x>2. 当m<0时, <2,原不等式可化为 (x-2)>0,解得x< 或x>2. 第1讲　描述运动的基本概念 当m>0时,原不等式可化为 (x-2)<0,   与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论  若m= ,则 =2,原不等式为(x-2)2<0,无解; 若0<m< ,则 >2,解原不等式得2<x< ; 若m> ,则0< <2,解原不等式得 <x<2. 综上所述,当m<0时,原不等式的解集为 ;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0<m<  时,原不等式的解集为 x 2<x<  ;当m= 时,原不等式的解集为⌀;当m> 时,原不等式的解集为  . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况: (1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论; (2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论; (3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 二、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1<x2,方程ax2+bx+c+a=0的两根 为m,n(m<n),则 ( ) A.m<n<x1<x2　　    B.x1<x2<m<n　　     C.x1<m<n<x2　　    D.m<x1<x2<n     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n,即ax2+bx+c=-a的两根为m,n,且m<n. (可转化为y=ax2+bx+c的图象与直线y=-a的交点的横坐标为m,n,且m<n) 当a>0时,如图1,则x1<m<n<x2;   当a<0时,如图2,则x1<m<n<x2. 综上,x1<m<n<x2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025安徽黄山屯溪第一中学期中]若对任意的实数b,关于x的方程ax2+b(x+1)-2=x均有两个实数根,则 实数a的取值范围是( ) A.0<a≤2　　     B.0<a≤1 C.-1≤a<0　　    D.-1≤a≤1且a≠0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    由ax2+b(x+1)-2=x,得ax2+(b-1)x+b-2=0. 因为对任意的实数b,方程ax2+(b-1)x+b-2=0均有两个实数根, 所以  即 对任意的实数b恒成立, 所以  即 解得0<a≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.若关于x的不等式mx2-mx-1<0对x∈{x|1≤x≤3}恒成立,则实数m的取值范围为___________.       第1讲　描述运动的基本概念 解析    (结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件) ①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立; ②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,且对称轴为直线x= ,如图1,   若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足 解得m< ,此时0<m< ; ③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x= ,如图2, 第1讲　描述运动的基本概念   若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意. 综上,实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知关于x的方程x2-2x+a=0,当a为何值时: (1)方程的一个根大于1,另一个根小于1? (2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3? (3)方程的两个根都大于0? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(一元二次方程在某区间内仅有一根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定区间端点函 数值的符号) 由方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图1)知,当x=1时,函数值小于0, 即1-2+a<0,解得a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}.   (2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图2)知,x 取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负, 第1讲　描述运动的基本概念 即 解得-3<a<0. 因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.   (3)(一元二次方程在某区间内有两根,根据根的分布画出函数图象,结合图象确定:①区间端点函数值的 符号;②判别式的符号;③对称轴的位置与所给区间的关系) 由方程的两个根都大于0,结合二次函数y=x2-2x+a的图象(如图3)知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴 第1讲　描述运动的基本概念 右侧,且当x=0时,函数值为正,即 解得0<a≤1. 因此a的取值范围是{a|0<a≤1}.   思想方法　数形结合思想在本章中主要体现在三个“二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数 的图象研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根. 第1讲　描述运动的基本概念 三、转化与化归思想在解不等式中的应用 7.[2026江苏苏州吴县中学月考]若命题“∃x∈[1,3],使不等式x2-ax+4<0成立”是假命题,则实数a的取 值范围是__________.     (-∞,4] 解析　由题意得“对任意的x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0恒成立”是真命题. 因为x∈[1,3], 所以由x2-ax+4≥0得a≤x+ .(分离参数,转化不等式) 所以a≤ ,1≤x≤3. (进一步将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题) 又x+ ≥2 =4,当且仅当x= ,即x=2时取等号,所以a≤4, 故实数a的取值范围是(-∞,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏无锡南菁高级中学调研]已知正数x,y满足2x+y-xy=0,若x(y+2)-4 >m2+5m恒成立,则实数m 的取值范围为__________.     (-6,1) 解析    (将不等式恒成立问题转化为与最值有关的问题) x(y+2)-4 >m2+5m恒成立,即[x(y+2)-4 ] min>m2+5m. 由2x+y-xy=0得x= . ∵x>0,y>0,∴y-2>0, ∴x(y+2)= (y+2)= =y-2+ +6≥4 +6,当且仅当y-2= ,即y=2 +2时取 “=”, ∴x(y+2)-4 ≥6,∴6>m2+5m,即m2+5m-6=(m+6)(m-1)<0,解得-6<m<1, ∴实数m的取值范围为(-6,1). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏宿迁一高月考]已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1,2),则关于x的不等式(c-a)x2+(b -a)x+a<0的解集为_________________; 的最小值为________.     4  -7     (-∞,-1)∪  第1讲　描述运动的基本概念 解析    (将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根) 由题意得a>0,且-1和2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根, 所以- =-1+2=1, =-1×2=-2, 所以b=-a,c=-2a, 所以不等式(c-a)x2+(b-a)x+a<0可化为3x2+2x-1>0,解得x> 或x<-1, 所以不等式(c-a)x2+(b-a)x+a<0的解集为(-∞,-1)∪ .  利用b,c与a的关系,将 转化为关于a的式子,进而求出其取值范围   = = = =4(a+1)+ -7. 因为a>0,所以a+1>1,所以4(a+1)+ -7≥2 -7=4 -7, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当4(a+1)= ,即a= -1时,等号成立, 所以 的最小值为4 -7. 思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一 元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化,多元变量与一元变量之间的转化等. 第1讲　描述运动的基本概念 $