第3章 01-3.1 不等式的基本性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦不等式的基本性质，通过“汤菜加盐”“物资运送”等生活实例导入，引导学生从不等关系表示逐步过渡到性质应用、取值范围求解，构建递进式学习支架。 其亮点在于结合生活情境题、易错警示与创新题型，以数学眼光观察现实问题（如用不等式表示咸度变化），通过作差法、待定系数法培养数学思维（如比较代数式大小），用不等式建模发展数学语言（如物资运送时间不等式）。学生能提升应用与推理能力，教师可获得多样化教学资源与易错点指导。

第3章 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.1　不等式的基本性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用不等式(组)表示不等关系 1.[教材习题改编]生活中“汤菜加盐,越加越咸”.若将这一事实表示为一个不等式,则该不等式可以是 _________.      >   解析　设原有的汤为a g,其中含盐b g,a>b>0,则汤的咸度为 . 加入盐c g(c>0)后,可得汤的咸度为 ,此时 > . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025四川绵阳南山中学月考]持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从 物资集散地到灭火前线一共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽 车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为_________.      + <1 解析    由题意得,汽车所用时间加上摩托车所用时间应小于1小时,即 + <1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.某杂志以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.设提价后该杂志的单价为x元,则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 _____________________.  x≥20 解析　提价后该杂志的单价为x元,则销售量为 万本,则提价后销售的总收入为  x万元,所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为  x≥20. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　实数(代数式)的大小比较 4.[2026重庆杨家坪中学月考]若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x,则y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1>y2　　    B.y1≥y2 C.y1<y2　　    D.y1≤y2     B     解析　    y1-y2=3x2-x+1-2x2-x=x2-2x+1=(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,所以y1≥y2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知c>1,且x= - ,y= - ,则x,y的大小关系是 ( ) A.x>y　　    B.x=y C.x<y　　    D.x,y的大小与c有关     C     解析　　由题意得x>0,y>0,则 = = <1,所以x<y. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　不等式的性质及其应用 6.[多选题][2026江苏无锡期中]若 < <0,则下列不等式正确的是 ( ) A.|a|>|b|　　     B. <  C.a+b>ab　　    D.a2-a<b2-b     BD     解析　　由 < <0得b<a<0,所以-b>-a>0,所以|b|>|a|, > ,故A错误,B正确. 因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,故C错误. a2-a-b2+b=(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1). 因为b<a<0,所以a-b>0,a+b-1<0,所以a2-a-b2+b<0,即a2-a<b2-b,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025江苏常州高级中学月考]已知实数a,b,c,d满足a<b<0<c<d,则下列不等式正确的是  ( ) A.a+c<b+d　　    B.a+d<b+c C.a2d2>b2c2　　    D. >  ACD     解析　　因为a<b,c<d,所以a+c<b+d,故A正确. 取a=-2,b=-1,c=3,d=4,满足a<b<0<c<d,但a+d=2=b+c,故B错误. 因为a<b<0<c<d,所以a2>b2>0,d2>c2>0,所以a2d2>b2c2,故C正确. 因为a<b<0<c<d,所以-a>-b>0,d>c>0,所以-ad>-bc,所以 > (不等式的两边同时除以-bd),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025东北三省六校月考]已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|. (1)求证: < ; (2)能否找到一个代数式(记为A),满足 <A< ?若能,写出该代数式;若不能,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为c<d<0,所以-c>-d>0.又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以(a-c)2>(b-d)2>0, 所以0< < . 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 因为|b|>|c|,b>0,c<0,所以b+c>0, 所以0<b+c<a+d,所以 < . (2)由(1)知b+c>0,0< < ,所以 < . 由(1)得0<b+c<a+d, >0, 所以 < . 所以 < < . 所以能找到一个代数式 满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　求代数式的取值范围 9.[易错题][多选题][2026江苏淮安涟水第一中学月考]已知实数x,y满足1<x<4,2<y<3,则下列说法正确的 有 ( ) A.3<x+y<7　　    B.-1<x-y<1 C.2<xy<12　　    D.- < <1     ACD     解析　　对于A,由不等式的性质5得3<x+y<7,故A正确. 对于B,易得-3<-y<-2,所以-2<x-y<2,故B错误. 对于C,由不等式的性质6得2<xy<12,故C正确. 对于D, = -1.易得 < < ,所以 < <2,所以- < -1<1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　运用不等式的性质求代数式的取值范围时,一要注意不等号的方向,同向不等式才能传递; 二要注意不等式的性质成立的条件,同向且为正数的不等式才可以相乘 如D选项,不能利用 =(x-y)·  求取值范围,因为由B中分析知-2<x-y<2,x-y不一定为正数 ,不等式两边同乘正数、负数不等号方向不 同;三是不等式没有相减、相除等性质,不要滥用. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题][2025河南漯河第五高级中学期中]已知-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3,则5x+2y的取值范围是 __________.     [-3, 9] 解析　设5x+2y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y, 则 解得  所以5x+2y=3(x+y)+(2x-y). 因为-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3, 所以-3≤5x+2y≤9. 易错警示　此类问题通常使用整体代换的思想或待定系数法求解,若多次利用不等式的性质进行相加, 则可能扩大取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.1　不等式的基本性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　实数(代数式)的大小比较 1.[2026江苏无锡洛社高级中学期中]公园绿地率是指公园内绿化用地面积在公园陆地面积中的占比. 已知某公园陆地面积为a m2,绿化用地面积为b m2(0<b<a),现对该公园再扩建陆地面积3x m2,其中绿化 用地面积为x m2,则扩建后公园绿地率与原来公园绿地率相比　     ( ) A.变大　　     B.变小 C.当a<3b时,变大　　    D.当a>3b时,变大     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得,原来公园绿地率为 ,扩建后公园绿地率为 .  - = =  = , 所以当a<3b时, - <0,即绿地率变小;当a=3b时, - =0,即绿地率不变;当a>3b时, - >0,即 绿地率变大. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏盐城阜宁中学月考]已知m= -1,n= - ,p= - ,则m,n,p的大小关系为( ) A.m>p>n　　    B.p>n>m C.n>m>p　　    D.m>n>p     D     解析　　易知m= -1= = ,n= - = = ,p= - =  = . 因为 +1< + < + ,所以 > > ,所以m>n>p. 解题模板　比较两式大小时,若两式不好直接比较,则可对两式进行相同的变形,如求它们的倒数、平 方数,再比较不同部分的大小. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏盐城中学月考]已知实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是( ) A.c>a>b　　      B.c>b>a C.b≥c>a　　    D.c≥b>a     B     解析　　由a+b2+1=0得a=-b2-1,所以a≠1. 由a2=2a+c-b-1得a2-2a+1=c-b,即c-b=(a-1)2>0,所以c>b. 因为a=-b2-1,所以b-a=b+b2+1= + >0,所以b>a. 综上,c>b>a. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　不等式的性质及其应用 4.[2026江苏南通期中]若a,b∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是 ( ) A. < 　　     B.a2>b2 C.a|a|>b|b|　　    D. >      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,若a>0>b,则 >0> ,故A错误. 对于B,取a=0,b=-1,则a2=0,b2=1,此时a2<b2,故B错误. 对于C,若a>b≥0,则a|a|=a2,b|b|=b2,a2>b2,所以a|a|>b|b|; 若a≥0>b,则a|a|≥0,b|b|=-b2<0,所以a|a|>b|b|; 若0>a>b,则a|a|=-a2,b|b|=-b2,a2<b2,所以-a2>-b2,即a|a|>b|b|. 综上,a|a|>b|b|恒成立,故C正确. 对于D,取a=2,b=1,则 = , = ,此时 < ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏无锡天一中学月考]已知实数a,b满足-3<a+2b<2,-1<2a-b<4,则 ( ) A.a的取值范围是(-1,2) B.b的取值范围是(-2,1) C.a+b的取值范围是(-2,0) D.∃a,b,使得a2+b2=6     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,设a=m(a+2b)+n(2a-b)=(m+2n)a+(2m-n)b, 则 解得  所以a= + . 易得- < < ,- < < ,所以-1< + <2,即-1<a<2,故A正确. 对于B,同A中分析得b= - .易得- < < ,- <- < ,所以-2< - <1,即- 2<b<1,故B正确. 对于C,同A中分析得a+b= (a+2b)+ (2a-b).易得- < (a+2b)< ,- < (2a-b)< ,所以-2< (a+2b)+ (2a-b) <2,即-2<a+b<2,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,因为-3<a+2b<2,-1<2a-b<4, 所以0≤(a+2b)2<9,0≤(2a-b)2<16, 所以a2+b2= [(a+2b)2+(2a-b)2]∈[0,5),故不存在a,b,使得a2+b2=6,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[创新题　新考法][2026江苏南京励志高级中学检测]《算经十书》是中国古代数学典籍的合集,书中 记载(用现代文表达):今有牛、羊、猪各数头(各至少有1头),已知猪的数量多于羊的数量,羊的数量多于 牛的数量,牛的数量的3倍多于猪、羊的数量之和,则牛、羊、猪的总头数至少为 ( ) A.12　　    B.15　　    C.18　　    D.21     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设牛、羊、猪分别有x,y,z头, 则由题意得  ②+③,得y+z≥2x+3⑤. 由①⑤得3x>2x+3,所以x>3,再结合④得xmin=4,所以  所以(x+y+z)min=4+5+6=15. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏奔牛高级中学期中]已知实数x,y>0,满足1≤xy≤2且2≤xy2≤3,则x2y的最大值为_____.     4 解析　设x2y=(xy)m(xy2)n=xm+nym+2n,则 解得  所以x2y=(xy)3(xy2)-1. 因为1≤xy≤2,2≤xy2≤3, 所以1≤(xy)3≤8, ≤ ≤ , 所以 ≤(xy)3(xy2)-1≤4,即 ≤x2y≤4,故x2y的最大值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏扬州中学质量评估]已知max{a,b,c}表示a,b,c中的最大者,若a>0,b>0,则max 的 最小值为_____.     3 解析　设max =m,则m≥ ,m≥ ,m≥2a2+b2. 因为a>0,b>0,所以m>0,所以a≥ ,b≥ ,所以2a2+b2≥ + = ,所以m≥ ,解得m≥3,所以m的最小 值为3,即max 的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　创设新情境考查不等式的性质 9.[2026江苏邗江中学检测]对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若 > ,那么称 点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”. (1)写出点(2,3)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标; (2)设点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断点P(a+c,b+d)是否既是点(a,b)的“下位点”,又是点(c,d)的 “上位点”,并证明你的结论; (3)设正整数n满足以下条件:对集合{t|0<t<2 024,t∈Z}内的任意元素m,总存在正整数k,使得点(n,k)既是 点(2 024,m)的“下位点”,又是点(2 025,m+1)的“上位点”,求出正整数n的最小值,并说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为 < < , 所以(2,3)的“下位点”可以是(1,2),“上位点”可以是(5,6). (2)点P(a+c,b+d)既是点(a,b)的“下位点”,又是点(c,d)的“上位点”. 证明如下: 因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”, 所以 > ,且a,b,c,d均大于0, 所以ad-bc>0, 所以 - = = <0,即 < ,所以点P(a+c,b+d)是点(a,b)的“下位点”. 同理, - = = >0,即 > ,所以点P(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意得, < < 对任意的m∈(0,2 024),m∈Z都成立, 所以  所以  所以  即总存在正整数k,使不等式 ≤k≤ 成立, 所以 ≤ 对任意的m∈(0,2 024),m∈Z都成立, 所以2 025(nm+1)≤2 024(nm+n-1),即n≥ 对任意的m≤2 023,m为正整数恒成立,所以n≥  ,所以n≥4 049,所以正整数n的最小值为4 049. 第1讲　描述运动的基本概念 $