第1章 01-1.1 集合的概念与表示(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合的概念与表示，涵盖元素特性、集合关系、表示方法及集合相等，通过“美丽乡村”确定性辨析等实例导入，以题组形式逐步深化元素互异性、无序性等核心要点，搭建从具体到抽象的学习支架，为后续数学知识学习奠定基础。 其亮点在于结合解题模板与分层练习，通过易错题（如集合相等参数互异性检验）和创新题型（“封闭集”新定义问题），培养数学抽象与逻辑推理能力。学生能深化概念理解，教师可利用分层设计提升教学效率，助力核心素养落地。

第5章 集合 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1　集合的概念与表示 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的概念与集合中元素的特性 1.[多选题][2026江苏镇江中学月考]下列对象能构成集合的是 （ ） A.中国各地的美丽乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.方程 + =5的根     BCD     解析　　美丽乡村不具有确定性,所以不能构成集合;B,C中的对象均具有确定性,故能构成集合;对  + =5的两边同时平方,得2x+2 =25,移项后再平方,整理得100x=629,解得x=6.29,具有确 定性,故能构成集合. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　判断某些对象能否构成集合,即看是否给出一个明确的标准,使得任何一个对象都能按此标 准确定它是不是给定集合中的元素,若具有此“标准”,就可以构成集合;否则,不能构成集合. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州前黄高级中学调研]若x1,x2,x3,x4为集合A中的4个元素,则以x1,x2,x3,x4为边长的四边形可 能是 （ ） A.等腰梯形　　    B.直角梯形 C.菱形　 　    D.矩形     B     解析　　由集合中元素的互异性可知x1≠x2≠x3≠x4,所以四边形的四条边长互不相等,所以结合选项可 知四边形可能是直角梯形. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏南京中华中学月考]下列说法中不正确的是 （ ） A.0与{0}表示同一个集合 B.{1,2,3}与{3,2,1}表示同一个集合 C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2} D.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}     AC     解析　    0不是集合,故A中说法错误; 由集合中元素的无序性知B中说法正确; 解方程(x-1)2(x-2)=0,得x=1(二重根)或x=2,所以结合集合中元素的互异性知,该方程的所有解组成的集合 为{1,2},故C中说法错误; 10以内的质数有2,3,5,7,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 4.[教材习题改编]给出下列关系:① ∈R;②2∈Z;③-1∉N*;④|- |∈Q,其中正确的个数为     （ ） A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     C     解析　　①②③均正确,对于④,|- |= ,为无理数,而Q表示有理数集,故④错误,故正确的个数为3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3},且(2,1)∈A,(1,-4)∉A,则实数a的值不可能为 （ ） A.-1　　    B.0　　    C.1　　    D.2     A     解析　　因为(2,1)∈A,(1,-4)∉A,所以2a-1≤3且a+4>3,所以-1<a≤2,又a∈Z,所以a=0或a=1或a=2,结合 选项知,实数a的值不可能为-1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[易错题][2026江苏无锡锡山高级中学月考]已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则实数a=（ ） A.-1　　    B.-3或-1　　    C.3　　    D.-3     D     解析　　因为-3∈A,所以由集合中元素的确定性得a2+4a=-3或a-2=-3,解得a=-1或a=-3.(易错点:求出参 数的值后,一定要检验是否满足集合中元素的互异性) 当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去. 当a=-3时,A={12,-3,-5},满足题意. 故a=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　集合的表示方法 7.下面用Venn图表示的集合用描述法表示应为　     （ ）   A.{x|1<x<5}　　     B.{x|1≤x≤5} C.{x|1≤x≤5,x∈N*} D.{x|x∈N*}     C     解析　　由题图知,该集合是由正整数1,2,3,4,5组成的,用描述法表示应为{x|1≤x≤5,x∈N*}. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026江苏南京田家炳高级中学月考]方程组 的解构成的集合是 （ ） A.{1,2}　　    B.{x=1,y=2} C.(1,2)　　     D.{(1,2)}     D     解析　　解方程组 得 所以方程组的解构成的集合是{(1,2)}. 易错警示　方程组的解是有序实数对,其解集是由有序实数对构成的集合,故其中的元素应写成(a,b)的 形式. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏靖江高级中学月考]已知集合A={x|0<x<8,x∈Z},则B= 用列举法表示为 ___________. {2,3,4,5,7} 解析　易知A={x|0<x<8,x∈Z}={1,2,3,4,5,6,7}. 因为 ∈N*且y∈A,所以y∈{2,3,4,5,7},故B={2,3,4,5,7}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　集合相等 10.[多选题][2026江苏靖江高级中学阶段检测]下列各选项中,集合P与Q相等的是 （ ） A.P={(-3,1)},Q={(1,-3)} B.P={x|x=t2+1,t∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R} C.P={(x,y)|x2-2y=1},Q={y|x2-2y=1} D.P={-3,1},Q={1,-3}     BD     解析　　对于A,(-3,1),(1,-3)在平面直角坐标系中表示两个不同的点,故P≠Q. 对于B,虽然集合P,Q中的代表元素不同,但它们均表示所有大于或等于1的实数,所以P=Q. 对于C,集合P是点集,集合Q是数集,故P≠Q. 显然D满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026河南部分学校联考]已知集合A= x x= - ,k∈Z ,B= ,则集合A,B之间的 关系为_______.     A=B 解析    解法一:A= x x= - ,k∈Z = x x= ,k∈Z = …,- ,- , , ,… ,B= y y= ± ,k∈Z  = y y= ,k∈Z = …,- ,- , , ,… ,故A=B. 解法二:对于集合A,令k=2t,t∈Z,则x= (2k-1)= (4t-1);令k=2t+1,t∈Z,则x= (2k-1)= (4t+1), 所以集合A= , 又B= = y y= (4k±1),k∈Z ,所以A=B. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026北京清华大学附属中学月考]已知集合P={1,1+a,b},S={1,1+2a,b2}(a,b∈R),若P=S,则b=___. 　-  解析　由集合中元素的互异性得 解得  因为P=S,所以由集合中元素的无序性得 或  由 得 或 均与a≠0矛盾,故舍去. 由 得2b2-b=1,解得b=1(舍去)或b=- . 综上,b=- . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1　集合的概念与表示 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合中元素特性的应用 1.[2026江苏盐城一中月考]已知a∈R,b∈R,集合A= ,B={a2,a+b,0},若A=B,则a2 026+b2 025= （ ） A.-2　　    B.1　　    C.-1　　    D.2     B     解析　　由题意得0∈A,a≠0,所以 =0,所以b=0,此时集合A={a,0,1},B={a2,a,0},所以a2=1,所以a=1(舍 去,不满足集合中元素的互异性)或a=-1, 所以a2 026+b2 025=(-1)2 026+02 025=1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通调研]已知集合A={x|(x-m)·(x2-3x+2)=0}中所有元素的和为3,则实数m=_________.     0或1或2 解析　由(x-m)(x2-3x+2)=0,得(x-m)(x-2)(x-1)=0,所以x=m或x=2或x=1. 当m≠1且m≠2时,集合A={1,2,m},所以1+2+m=3,解得m=0,满足题意. 当m=1或m=2时,集合A={1,2},此时A中所有元素的和为3,满足题意. 综上,m=0或m=1或m=2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确 的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是_____.     6 解析    若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故此种情况不成立. 若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况. 若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况. 若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况. 综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 4.[2026湖北十堰郧阳中学月考]若集合M={x|(m-1)x2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的所有可能值的 乘积为 （ ） A.5　　    B.4　　    C.3　　    D.1     C     解析　因为集合M中只有一个元素, 所以关于x的方程(m-1)x2-4x+2=0有一个解或两个相等的解. 当m-1=0,即m=1时,方程为-4x+2=0,解得x= ,满足题意. 当m-1≠0,即m≠1时,需满足Δ=16-8(m-1)=0,解得m=3. 所以m=1或m=3,所以实数m的所有可能值的乘积为1×3=3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏无锡锡东高级中学月考]若集合 x  <x<  中恰有6个整数元素,则实数a的取值范围为  （ ） A. 　　    B.  C. 　　    D.{a|4<a≤8}     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为集合 中恰有6个整数元素, 所以 解得 <a≤ , 所以 < ≤ , < ≤ , 所以集合 中的最小整数元素为2,最大整数元素可以为6,7,8. 又因为集合中恰有6个整数元素,所以这6个整数元素只能为2,3,4,5,6,7, 所以 解得 <a≤6, 故实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026山东日照第一中学质量检测]已知集合M={x|x=m2-n2,m,n∈Z},则 （ ） A.26∈M B.32∈M C.当a=4k-1,k∈Z时,a∈M D.若p,q∈M,则pq∈M     BCD     解析　    x=m2-n2=(m+n)(m-n).易知m+n,m-n同为奇数或同为偶数,所以x为奇数或4的整数倍,故A错误,B 正确. 对于C,4k-1=(2k)2-(2k-1)2,所以当a=4k-1,k∈Z时,a∈M,故C正确. 对于D,因为p,q∈M,所以p,q为奇数或4的整数倍.当p,q中至少有一个为4的整数倍时,pq为4的整数倍,所 以pq∈M;当p,q都为奇数时,令p=2k1+1,q=2k2+1,k1,k2∈Z,则pq=(2k1+1)(2k2+1)=2(2k1k2+k1+k2)+1,k1,k2∈Z,所 以pq∈M,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足 P(x),则a∈A. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026北京第二中学段考]设集合A= 2,3,a2-3a,a+ +7 ,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值构成 的集合为_______.     {4} 解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a+ +7=4. 当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,a+ +7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=4时,A= 2,3,4,  ,B={2,3},满足题意. 当a+ +7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2, 当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值构成的集合为{4}. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河南南阳检测]设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则 ∈A. (1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素; (2)判断集合A是不是双元素集合,并说明理由; (3)若A中元素的个数不超过8,所有元素的和为 ,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A. 思路点拨     题中给出了集合中元素间的关系,即给定一个元素可以求出下一个元素,所以找到集合中元素间的规律 是解决此题的关键,进而可分析出集合中元素的特点,解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由2∈A得 =-1∈A; 由-1∈A得 = ∈A;由 ∈A得 =2∈A,所以集合A中还有另外两个元素-1和 . (2)集合A不是双元素集合.理由如下: 由题意得,若x∈A(x≠1且x≠0),则 ∈A,则 =1- ∈A,若1- ∈A,则x∈A,所以集合A中的元素应 包含x, ,1- ,且它们互不相等 方程x= ,x=1- , =1- 均无解 , 故集合A不是双元素集合. (3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6(一个元素x可生成3个不同的元素,因此A中元素的个数为3,6,9, …,又A中元素的个数不超过8,故A中元素的个数为3或6), 因为x· · =-1,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积, 第1讲　描述运动的基本概念 所以A中应有6个元素(若只有3个元素,则所有元素之积为-1,不是平方数),且其中一个元素为-1(6个元素 的积为1,则其中一个元素的平方为1,而由题干中的范围知该元素不是1). 由-1∈A结合条件可得 ∈A,2∈A,又因为-1+ +2= ,所以剩余三个元素的和为 - = ,即x+ +  = ,解得x=- 或x=3或x= , 故A= . 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　从新定义的角度考查集合 创新题型 9.[2026江苏盐城第一中学校际考试]若集合M={a1,a2,a3,…,an}(0≤a1<a2<a3<…<an,n∈N*)具有性质:对任 意的1≤i≤j≤n(i,j∈N*),aj+ai与aj-ai至少有一个属于M,则称M为“封闭集”. (1)若集合P={3,4,5},Q={0,3,6},判断P,Q是不是“封闭集”,并说明理由; (2)若集合N={a1,a2,a3}(0≤a1<a2<a3)是“封闭集”,且a3=2 024,求集合N; (3)若集合A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2<…<an,n≥4,n∈N*)是“封闭集”,证明:a1+a2+…+an= ·an. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)P不是“封闭集”,Q是“封闭集”.理由如下: 对于集合P,因为5+5=10∉P,5-5=0∉P,所以集合P不是“封闭集”. 对于集合Q,因为0+3=3∈Q,0+6=6∈Q,6-3=3∈Q,0±0=0∈Q,3+3=6∈Q,6-6=0∈Q,所以集合Q是“封闭 集”. (2)由题意知a3+a3>a3,所以(a3+a3)∉N. 又因为集合N是“封闭集”,所以a3-a3=0∈N,所以a1=0. 易知a2+a3>a3,所以(a2+a3)∉N,所以(a3-a2)∈N.同理,得(a3-a1)∈N. 所以a3-a3<a3-a2<a3-a1. 由集合中元素的互异性可知,a3-a2=a2,又a3=2 024,所以a2= a3=1 012. 所以集合N={0,1 012,2 024}. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)证明:因为集合A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2<…<an,n≥4,n∈N*)是“封闭集”, 所以an+an∉A,an-an=0∈A,所以a1=0. 因为0≤a1<a2<…<an, 所以0≤an-an<an-an-1<…<an-a1. 因为an+an-i>an(i=1,2,…,n-1), 所以an+an-i∉A,所以an-an-i∈A. 由集合中元素的互异性可知,a1=an-an,a2=an-an-1,……,an=an-a1,所以a1+a2+…+an=(an-an)+(an-an-1)+…+(an-a1), 即a1+a2+…+an= ·an. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　对于新定义问题,要耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按照新定义的要求,逐 条分析、验证、运算,使问题得以解决. 第1讲　描述运动的基本概念 $