1.1集合的表示第2课时课件- 2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，涵盖列举法、描述法、Venn图及集合分类，通过中华文明别称情境导入与问题引导，承接集合基本概念，搭建从概念理解到表示应用的学习支架。 其特色在于以“数学眼光”观察现实情境，“数学思维”辨析表示方法要点（如列举法元素规律、描述法代表元素规范），“数学语言”强化表达（如点集{(0,1)}的正确书写）。通性通法总结与母题探究助力学生形成解题策略，教师可借助系统例题与检测提升教学效率，学生能深化对集合的理解与应用能力。

第2课时　集合的表示 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 中国是四大文明古国之一，有着五千年的历史.“中国”一词， 最早见于西周的青铜器“何尊”的铭文.新疆和田地区民丰县尼雅遗 址出土的汉代织锦护臂也有“五星出东方利中国”这样的话.中华文 明源远流长，历史上，在不同的时期有许多别称，像中华、华夏、九 州等等. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　列举法 　将集合的元素 ，并置于花括号“{　}”内，这种 表示集合的方法称为列举法. 提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合 的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数 集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 一一列举出来　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 小于100的正整数集合可以用列举法表示为{1，2，3，…，98， 99}吗？ 提示：可以.当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可 以用列举法表示. 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　描述法 　将集合的 都具有的性质（满足的条件）表示出来，写 成{ x ｜ p （ x ）}的形式，这种表示集合的方法称为描述法.其中 x 为 集合的代表元素， p （ x ）指元素 x 具有的性质. 提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符 号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②不能出现未被说明的字母，如 { x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号 内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N*”不符合要求. 所有元素　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 集合 A ＝{ x ｜ x －1＝0}与集合 B ＝{1}相等吗？ 提示： A ＝{ x ｜ x －1＝0}＝{1}与集合 B 相等. 知识点三　Venn图 　为了直观地表示集合，常画一条 的曲线，用它的内部来表 示一个集合，称为Venn图. 封闭　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 用Venn图表示集合的优点和缺点是什么？ 提示：用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，能直观 地表示集合之间的关系；缺点是集合中元素的特征性质不明显. 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点四　集合的分类 　按照集合中元素的个数分类 （1）有限集：含有 个元素的集合称为有限集； （2）无限集：含有 个元素的集合称为无限集； 有限　 无限　 （3）空集：把 元素的集合称为空集，记作⌀. 不含任何　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　⌀与0，{0}，{⌀}之间的关系 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合； 0是实数 ⌀不含任何元素；{0}含 一个元素0 ⌀不含任何元素； {⌀}含一个元素，该 元素是⌀ 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A. {1，3} B. {1} C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3} 解析：　由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实 数根组成的集合为{1，3}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列集合中，是空集的是（　　） A. { x ｜ x ＞6，且 x ＜5} B. { x ｜ x2＋1＝0， x ∈N} C. { x ｜ x2＋ x ＋1＝0， x ∈R} D. {（ x ， y ）｜ x2＝－ y2， y ∈R} 解析：　D中，{（ x ， y ）｜ x2＝－ y2， y ∈R}＝{（0， 0）}，A、B、C表示的是空集.故选A、B、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 分别用列举法和描述法表示由大于－1小于5的自然数组成的集合. 解：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集 合为{0，1，2，3，4}；用描述法表示可用 x 表示代表元素，其满 足的条件是 x ∈N且－1＜ x ＜5，故用描述法表示集合为{ x ｜－1＜ x ＜5， x ∈N}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用列举法表示集合 【例1】　（链接教科书第7页例1）用列举法表示下列集合： （1）小于12的非负偶数组成的集合； 解：因为非负表示大于或等于0，所以小于12的非负偶数组成的 集合是{0，2，4，6，8，10}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）不大于20的所有质数组成的集合； 解：因为不大于20表示小于或等于20，所以不大于20的所有质 数组成的集合是{2，3，5，7，11，13，17，19}. （3）一次函数 y ＝2 x ＋1的图象与 y 轴的交点所组成的集合. 解：将 x ＝0代入 y ＝2 x ＋1，得 y ＝1，即交点是（0，1），故交 点组成的集合是{（0，1）}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 用列举法表示集合的步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点 的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，” 隔开. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 方程组的解集是（　　） A. （－5，4） B. （5，－4） C. {（－5，4）} D. {（5，－4）} 解析：　解方程组得故解集为{（5， －4）}.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 用列举法表示下列给定的集合： （1）“Welcome”中的所有字母构成的集合； 解：由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. （2）方程 x3＝ x 的所有实数根组成的集合； 解：方程 x3＝ x 的解是 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，所以用列举法表示为{0，1，－1}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）直线 y ＝－3 x ＋12上所有满足 x ∈N*， y ∈N*的点所组成 的集合. 解：当 x ＝1时， y ＝9；当 x ＝2时， y ＝6；当 x ＝3时， y ＝3，所以在直线 y ＝－3 x ＋12上满足 x ∈N*， y ∈N*的所有 点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 用描述法表示集合 【例2】　（链接教科书第7页例2）用描述法表示下列集合： （1）大于－1的所有偶数组成的集合； 解：偶数可表示为 x ＝2 k ， k ∈Z，又因为大于－1，所以 x ＞－ 1，故此集合表示为{ x ｜ x ＞－1， x ＝2 k ， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）不等式－3＜2 x －1≤3的解集； 解：由－3＜2 x －1≤3得－1＜ x ≤2，故此集合表示为{ x ｜－1 ＜ x ≤2， x ∈R}. （3）坐标平面内第一象限的点组成的集合. 解：第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合表示为 {（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 描述法表示集合的步骤 提醒　描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有 明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较 多时，则不宜采用描述法. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　） A. 方程 y ＝2 x －1 B. 点（ x ， y ） C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合 解析：　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象 上的所有点组成的集合.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 用描述法表示下列集合： （1）所有奇数组成的集合； 解：奇数可表示为 x ＝2 k －1， k ∈Z，因此，这个集合 表示为{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}. （2）大于1且小于8的有理数组成的集合； 解：大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为 { x ｜1＜ x ＜8， x ∈Q}. （3）被3除余2的正整数组成的集合. 解：根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为 { x ｜ x ＝3 n ＋2， n ∈N}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 集合表示法的应用 【例3】　若集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法表示集合 A . 解：当 k ＝0时，原方程变为－8 x ＋16＝0， x ＝2， 此时集合 A ＝{2}. 当 k ≠0时，则关于 x 的一元二次方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等实 根，只需Δ＝64－64 k ＝0，即 k ＝1. 此时方程的解为 x1＝ x2＝4，集合 A ＝{4}，满足题意. 综上所述，实数 k 的值为0或1.当 k ＝0时， A ＝{2}；当 k ＝1时， A ＝ {4}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件）若集合 A 中有2个元素，求实数 k 的取值范围. 解：由题意得 解得 k ＜1，且 k ≠0. 故实数 k 的取值范围为{ k ｜ k ＜1，且 k ≠0}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求实数 k 的取值范围. 解：（1）当集合 A 中含有1个元素时，由例题知， k ＝0或 k ＝1； （2）当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解，即 解得 k ＞1. 综上，实数 k 的取值范围为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数求 参数问题，常把集合问题转化为方程的解的问题.如对于方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，当 a ＝0， b ≠0时，方程有一个解；当 a ≠0 时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无 解；若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数解； （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的 取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果； （3）求出参数的值（范围）后务必要检验是否满足集合中元素的互 异性. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，则 a ＋ b ＝ ⁠. 解析：由 A ＝{2，3}知，方程 x2－ ax ＋ b ＝0的两根为2，3，由根 与系数的关系得因此 a ＝5， b ＝6， a ＋ b ＝11. 11　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若集合{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}有且只有一个元素，则实数 a 的取值集合是 ⁠. 解析：当 a ＝0时， A ＝{－1}，符合题意；当 a ≠0时，若集合 A 只 有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4 a ＝0得 a ＝ .综上， 当 a ＝0或 a ＝ 时，集合{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}只有一个元素，故实 数 a 的取值集合为 . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　） A. { x ｜2＜ x ＜5， x ∈N} B. {2，3，4，5} C. {2＜ x ＜5} D. {3，4} 解析：　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组 成的集合为{3，4}.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ kx2－3 x ＋1＝0， k ∈R}.若集合 A 中仅有一个元素，则实数 k 的值为（　　） A. 0 B. 2 C. D. － 解析：　当 k ＝0时， x ＝ ，符合题意；当 k ≠0时，Δ＝（－ 3）2－4 k ＝0，所以 k ＝ .综上，集合 A 中仅含有一个元素时， k ＝ 0或 k ＝ .故选A、C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 用描述法表示不等式3 x ＋2＞5的解集为 ⁠. 解析：由不等式3 x ＋2＞5得 x ＞1，用描述法可表示为{ x ｜ x ＞1}. 4. 已知集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2}， B ＝{ y ｜ y ＝ x2}， C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2}，它们三个集合相等吗？试说明理由. 解：三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意 义不一样.集合 A 表示 y ＝ x2中 x 的取值范围， x ∈R，∴ A ＝R；集 合 B 表示 y ＝ x2中 y 的范围， B ＝{ y ｜ y ≥0}；集合 C 表示 y ＝ x2上 的点组成的集合. { x ｜ x ＞1}　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $