专题05线段垂直平分线的性质与判定的综合（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题05 线段垂直平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 题型04 线段垂直平分线的判定 题型05 尺规作线段垂直平分线 题型06 线段的垂直平分线的实际应用 题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 ▌题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】6    【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． ▌题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 【典例2】【答案】C 【变式1-1】【答案】76 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】90 ▌题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 【典例3】 【答案】(1)∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）利用证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式1-1】 【答案】见详解; 【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论． 【详解】证明：连接AE， ∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°， ∴AD⊥EC， ∵点D为CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AD是线段CE的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式1-2】    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由所在直线垂直平分线段得到，从而得到，再利用平行线的性质可知，再用等量代换即可证明； （2）由所在直线垂直平分线段得到，，从而得到，再根据即可得证． 【详解】（1）证明：∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴． 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型04 线段垂直平分线的判定 【典例4】【答案】A 【变式1-1】 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边” ，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴ ， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 【变式1-2】 【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可． 【详解】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴点P必在AC的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 【变式1-3】 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 证明：连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得出，，再由等量代换即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，利用垂直平分线的判定得出垂直平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明 【详解】（1）略． （2）略． ▌题型05 尺规作线段垂直平分线 【典例5】【答案】C 【变式1-1】【答案】D． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，则直线即为所求的直线； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下： 则直线即为所求的直线； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， ∵，． ∴的周长为． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可； （2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N． ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型06 线段的垂直平分线的实际应用 【典例6】【答案】D． 【变式1-1】【答案】D． 【变式1-3】【答案】D． 【变式1-3】 【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质，只需画线段垂直平分线，与公路的交点即为中转站P的位置． 【详解】解：如图，点P即为所求．    【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的性质，能将实际问题转化为作线段的垂直平分线是解答的关键． ▌题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 【典例7】【答案】A 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】． 【变式1-3】【答案】28°/28度 ▌题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 【典例8】 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2） 略 （3）略 【变式1-1】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1-3】 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析． 【分析】（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC； （3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果． 【详解】解：（1）∵E是边CD的中点， ∴DE=CE， ∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）得AE=EF，AD=CF， ∴点E为AF中点， ∵ME⊥AF， ∴AM=MF， ∵MF=CF+MC， ∵AD=BC=CF， ∴MF=BC+MC， 即AM=BC+MC； （3）S3=2S1-4S2，理由是： 由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF， ∴S1=S△MEF=S2+S△ECF， ∴S△ECF=S1-S2， ∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°， ∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2， ∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2． 【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． ▌题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可； ②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【详解】解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm； ②∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝20cm， ∴OA＝OB＝OC＝6cm； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴垂直平分； (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论； （2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可． 【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC＝CD，AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠ACB=∠ACD； （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠CAD， ∵CA=CE， ∴∠CAE=∠CED， ∵∠EBA=90°， ∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°， ∵PD⊥AE，MP⊥PD， ∴AE∥MP， ∴∠PMC=∠MAE=30°， ∵ME∥AB， ∴∠MEB=90°， ∴∠MEA=120°， ∵∠MAE=30°， ∴∠EMA=30°， ∵CР⊥MP，CE⊥ME， ∴∠MCP=∠MCE=60°， ∴△NEC≌△NPC (SAS)， ∴EN=PN， ∴ N是EP的中点，NC⊥PE， ∴AM垂直平分PE； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O， ∵AM垂直平分PE， ∴ME=MP， ∵∠EMP=60°， ∴∠MPE=60°， ∴∠EPD=30°， ∴∠=30°， ∴∠ MP=30°， ∵∠MЕP=60°， ∴O点与E点重合． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段垂直平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 题型04 线段垂直平分线的判定 题型05 尺规作线段垂直平分线 题型06 线段的垂直平分线的实际应用 题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 ▌题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 1. 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在上，则。 2. 解题技巧 · 出现垂直平分线，直接转化线段相等，进行线段等量代换； · 求三角形周长：把分散线段替换成已知边长，消去未知线段； · 常结合等腰三角形、整体代换计算线段长。 常用结论：由可得为等腰三角形。 【典例1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    【答案】6 【分析】先求出，再根据线段的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又是的垂直平分线， ∴． 【变式1-2】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质，结合三角形的周长公式，推出，，即可得出结果. 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵的周长为7，的周长为15， ∴， ∴. 【变式1-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． ▌题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 1. 基础性质：垂直平分线上点到两端点距离相等→等腰三角形； 2. 等腰三角形底角相等：； 3. 三角形内角和、外角定理； 4. 直角：垂直平分线与线段夹角为； 5. 解题思路：由线段相等推等角，再用内角和 / 外角计算目标角。 【典例2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么 ． 【答案】76 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形的外角性质求出，再根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：76． 【变式1-2】如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出，然后根据三角形内角和定理求出，，最后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图： 和分别垂直平分和， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：90． ▌题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 1. 证明线段相等：直接用垂直平分线性质； 2. 证明三角形全等：通过提供一组等边条件； 3. 证明等腰三角形：证点在线段垂直平分线上，得两边相等； 4. 证明角相等：等边对等角推导； 5. 书写规范：先点明 “点在垂直平分线上”，再写线段相等。 【典例3】如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）利用证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 【答案】见详解; 【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论． 【详解】证明：连接AE， ∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°， ∴AD⊥EC， ∵点D为CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AD是线段CE的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式1-2】如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：    (1)CB平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由所在直线垂直平分线段得到，从而得到，再利用平行线的性质可知，再用等量代换即可证明； （2）由所在直线垂直平分线段得到，，从而得到，再根据即可得证． 【详解】（1）证明：∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴． 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型04 线段垂直平分线的判定 1. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 2. 两点确定一条直线：若两点都满足，则直线是的垂直平分线； 3. 区分：性质（线上点→距离相等）；判定（距离相等→点在线上），二者互逆。 【典例4】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边” ，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴ ， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 【变式1-2】 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可． 【详解】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴点P必在AC的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 【变式1-3】在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， 证明：连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意得出，，再由等量代换即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，利用垂直平分线的判定得出垂直平分，，再由全等三角形的判定和性质即可证明 【详解】（1）略． （2）略． ▌题型05 尺规作线段垂直平分线 1. 作图步骤（必考） ① 分别以线段两端点为圆心，大于的相同长度为半径画弧； ② 两弧在线段上下各交于一点； ③ 作直线，即为的垂直平分线。 2. 作图原理：，由判定定理得垂直平分； 易错点：半径必须大于线段一半，否则两弧无交点。 【典例5】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 【变式1-1】如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上，由此可得结论． 【详解】解：由PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，推出PA＝PB，可得点P在线段AB的垂直平分线上， 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是推出点P在线段AB的垂直平分线上． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点B、C关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，则的周长是____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，则直线即为所求的直线； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】（1）解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下： 则直线即为所求的直线； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， ∵，． ∴的周长为． 【变式1-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可； （2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N． ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型06 线段的垂直平分线的实际应用 1. 选址问题核心模型：到两个定点距离相等的点，在两点连线的垂直平分线上； 2. 常见场景：仓库、车站、供水站、基站选址，要求到两地距离相等； 解题步骤： ① 连接两个定点； ② 作连线的垂直平分线； ③ 直线与指定区域交点即为所求位置。 【典例6】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D． 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等， ∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式1-1】某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【答案】D． 【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：∵售票中心到出口A、B的距离相等， ∴售票中心到在线段AB的垂直平分线上， 同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法． 【变式1-3】直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A．B．C．D． 【答案】D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”． 【变式1-3】如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．    【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质，只需画线段垂直平分线，与公路的交点即为中转站P的位置． 【详解】解：如图，点P即为所求．    【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的性质，能将实际问题转化为作线段的垂直平分线是解答的关键． ▌题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 1. 原理：垂直平分线实现线段等量转化，折线段转直线段，两点之间线段最短； 2. 模型：直线同侧两点，在直线上找一点使到两点距离和最小； 3. 操作：作其中一点关于直线的对称点（对称轴即垂直平分线），对称点与另一点连线交直线即为动点； 公式依据：，最小值为对称两点间线段长。 【典例7】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为． 【变式1-2】如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°/28度 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． ▌题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 1. 两类核心解题方法： ①角度探究：设最小角为x，用x表示所有内角，结合内角和、外角列方程推导角度倍数 / 相等关系； ②线段探究：利用中垂线等量转移线段，结合全等推导线段和、倍数恒等式； 2. 拓展面积探究：中垂线提供等底等高条件，可拆分、合并三角形面积，推导面积等量关系； 3. 通用转化工具：三角形全等、角平分线性质、直角、平角、特殊四边形边长性质； 4. 规律总结：图形中线段、角度、面积均存在不随边长改变的固定和差 / 倍数关系式，需猜想并完整证明。 【典例8】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-1】如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1-3】如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM． （1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）试说明AM = BC + MC； （3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析． 【分析】（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC； （3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果． 【详解】解：（1）∵E是边CD的中点， ∴DE=CE， ∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）得AE=EF，AD=CF， ∴点E为AF中点， ∵ME⊥AF， ∴AM=MF， ∵MF=CF+MC， ∵AD=BC=CF， ∴MF=BC+MC， 即AM=BC+MC； （3）S3=2S1-4S2，理由是： 由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF， ∴S1=S△MEF=S2+S△ECF， ∴S△ECF=S1-S2， ∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°， ∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2， ∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2． 【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． ▌题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 1. 性质、判定双向切换： · 已知垂直平分线→用性质得线段相等； · 已知线段相等→用判定证点在垂直平分线上； 2. 综合搭配考点：全等三角形、等腰三角形、角平分线、三角形内外角； 3. 解题逻辑链： 垂直平分线线段相等等角三角形内角 / 边长计算； 常考证明：证明直线是线段垂直平分线，需证两点到端点距离均相等。 【典例9】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm． ①求线段BC的长； ②求线段OA的长． （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可； ②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【详解】解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm； ②∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝20cm， ∴OA＝OB＝OC＝6cm； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴垂直平分； (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 【变式1-3】如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论； （2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可． 【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， BC＝CD，AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠ACB=∠ACD； （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠BAC=∠CAD， ∵CA=CE， ∴∠CAE=∠CED， ∵∠EBA=90°， ∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°， ∵PD⊥AE，MP⊥PD， ∴AE∥MP， ∴∠PMC=∠MAE=30°， ∵ME∥AB， ∴∠MEB=90°， ∴∠MEA=120°， ∵∠MAE=30°， ∴∠EMA=30°， ∵CР⊥MP，CE⊥ME， ∴∠MCP=∠MCE=60°， ∴△NEC≌△NPC (SAS)， ∴EN=PN， ∴ N是EP的中点，NC⊥PE， ∴AM垂直平分PE； ②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O， ∵AM垂直平分PE， ∴ME=MP， ∵∠EMP=60°， ∴∠MPE=60°， ∴∠EPD=30°， ∴∠=30°， ∴∠ MP=30°， ∵∠MЕP=60°， ∴O点与E点重合． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段垂直平分线的性质与判定的综合 （题型突破·举一反三） 题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 题型04 线段垂直平分线的判定 题型05 尺规作线段垂直平分线 题型06 线段的垂直平分线的实际应用 题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 ▌题型01 利用线段垂直平分线的性质求长度 1. 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线垂直平分，点在上，则。 2. 解题技巧 · 出现垂直平分线，直接转化线段相等，进行线段等量代换； · 求三角形周长：把分散线段替换成已知边长，消去未知线段； · 常结合等腰三角形、整体代换计算线段长。 常用结论：由可得为等腰三角形。 【典例1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．    【变式1-2】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点M，这两条垂直平分线分别交于点D，E，连接，，，，，已知的周长为7，的周长为15，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【变式1-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． ▌题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度 1. 基础性质：垂直平分线上点到两端点距离相等→等腰三角形； 2. 等腰三角形底角相等：； 3. 三角形内角和、外角定理； 4. 直角：垂直平分线与线段夹角为； 5. 解题思路：由线段相等推等角，再用内角和 / 外角计算目标角。 【典例2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，，那么 ． 【变式1-2】如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 【变式1-3】如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． ▌题型03 利用线段垂直平分线的性质证明 1. 证明线段相等：直接用垂直平分线性质； 2. 证明三角形全等：通过提供一组等边条件； 3. 证明等腰三角形：证点在线段垂直平分线上，得两边相等； 4. 证明角相等：等边对等角推导； 5. 书写规范：先点明 “点在垂直平分线上”，再写线段相等。 【典例3】如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 【变式1-2】如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：    (1)CB平分； (2)． 【变式1-3】如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． ▌题型04 线段垂直平分线的判定 1. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 2. 两点确定一条直线：若两点都满足，则直线是的垂直平分线； 3. 区分：性质（线上点→距离相等）；判定（距离相等→点在线上），二者互逆。 【典例4】（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【变式1-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【变式1-2】 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段AC的垂直平分线上． 【变式1-3】在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：． ▌题型05 尺规作线段垂直平分线 1. 作图步骤（必考） ① 分别以线段两端点为圆心，大于的相同长度为半径画弧； ② 两弧在线段上下各交于一点； ③ 作直线，即为的垂直平分线。 2. 作图原理：，由判定定理得垂直平分； 易错点：半径必须大于线段一半，否则两弧无交点。 【典例5】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知△ABC（AB＜BC），用尺规作图在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点B、C关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，则的周长是____． 【变式1-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． ▌题型06 线段的垂直平分线的实际应用 1. 选址问题核心模型：到两个定点距离相等的点，在两点连线的垂直平分线上； 2. 常见场景：仓库、车站、供水站、基站选址，要求到两地距离相等； 解题步骤： ① 连接两个定点； ② 作连线的垂直平分线； ③ 直线与指定区域交点即为所求位置。 【典例6】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【变式1-1】某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（　　） A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【变式1-3】直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A．B．C．D． 【变式1-3】如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．    ▌题型07 利用线段垂直平分线的性质求最值 1. 原理：垂直平分线实现线段等量转化，折线段转直线段，两点之间线段最短； 2. 模型：直线同侧两点，在直线上找一点使到两点距离和最小； 3. 操作：作其中一点关于直线的对称点（对称轴即垂直平分线），对称点与另一点连线交直线即为动点； 公式依据：，最小值为对称两点间线段长。 【典例7】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【变式1-2】如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． ▌题型08 利用线段垂直平分线的性质探究线段、角度综合关系 1. 两类核心解题方法： ①角度探究：设最小角为x，用x表示所有内角，结合内角和、外角列方程推导角度倍数 / 相等关系； ②线段探究：利用中垂线等量转移线段，结合全等推导线段和、倍数恒等式； 2. 拓展面积探究：中垂线提供等底等高条件，可拆分、合并三角形面积，推导面积等量关系； 3. 通用转化工具：三角形全等、角平分线性质、直角、平角、特殊四边形边长性质； 4. 规律总结：图形中线段、角度、面积均存在不随边长改变的固定和差 / 倍数关系式，需猜想并完整证明。 【典例8】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式1-1】如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【变式1-3】如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM． （1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE； （2）试说明AM = BC + MC； （3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由． ▌题型09 线段垂直平分线的性质与判定的综合运用 1. 性质、判定双向切换： · 已知垂直平分线→用性质得线段相等； · 已知线段相等→用判定证点在垂直平分线上； 2. 综合搭配考点：全等三角形、等腰三角形、角平分线、三角形内外角； 3. 解题逻辑链： 垂直平分线线段相等等角三角形内角 / 边长计算； 常考证明：证明直线是线段垂直平分线，需证两点到端点距离均相等。 【典例9】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm． ①求线段BC的长； ②求线段OA的长． （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【变式1-2】如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【变式1-3】如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE． (1)求证：∠ACB＝∠ACD； (2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P． ①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； ②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $