1.5 角平分线(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级下册（北师大版） ∠A=∠PDA。EF是BD的垂直平分线，.EB=ED。∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥BC于点D, .∠B=∠EDB。.∠C=90°，..∠A+∠B=90°。.∠PDA+ EQ⊥AN于点Q,∴EP=ED,EQ=ED。EP=EQ。又 ∠EDB=90°。∴.∠PDE=180°-∠PDA-∠EDB=180°-90°= EP⊥AM,EQ⊥AN,.点E在∠NAM的平分线上。 90°。DE⊥DP。(2)如图，连接PE,设DE=x, 7.(1)证明：在△ADF和△AEF中，AD=AE(或 则EB=ED=x,CE=8-x。PA=2,AC=6,∴PC=4。在 OD=OE),FD=FE,AF=AF,∴.△ADF≌△MEF(SSS)。 Rt△PCE和Rt△PDE中，PE=PC+CE,PE=PD+ ∠DAFLEAF。AP平分∠BAC。(2)解：如图，过 DE2,∴42+(8-x)2=22+x2。解得x=4.75,则DE=4.75。 点P作PG⊥AC于点G,:AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 11.解：（1)AB=AC,∠A=50°，.∠B= ∠ACB=65°。DM是AB的垂直平分线，∴.∠BDM= .PG-PQ-3.S0w-ScwtSor..AB+P0+]AC+PG= 90°。∴∠DMB=25°。(2)图形略。此时点M在BC 18。(AB+AC)PQ=36。AB=7,PQ=3,AC=5。 边上。同(1)方法可得∠DMB=40°。(3)∠DMB A (0) 的度数等于顶角度数的一半，即∠DWB=a。证明： 4B=AC,L1=0,∠B3180r-LA)-90-2a。又 ∠DMB+∠B=90r,∠DMB=e (4)成立。等 P 腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹 第7题答图 的角（锐角）等于顶角度数的一半。 8.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 12.313.C ∠C=90°，即CD⊥AC,DC=DE。在Rt△FCD和 4线段的垂直平分线（第2课时）】 Rt△BED中，DC=DE,DF=DB,Rt△FCD≌Rt△BED 1.A2.D3.B4.C (HL)。.CF=EB。(2)解：AB=AF+2BE。理由：由 5.提示：分别过点A,B,C作BC,AC,AB的垂(I)得，DC=DE,又AD=AD,Rt△ACD≌Rt△AED 线，垂足分别为D,E,F,则AD,BE,CF即为所求，；(HL)。AC=AE。AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF42BE。 作图略。 *9.（1)证明：AC平分∠MAN,∠MAN=120°， 6.解：(1)如图，△ABC即为所求。(2)这 ∴.∠CAB=∠CAD=60°。：∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠ACB= 样的直线不唯一。①作线段OB的垂直平分线AC。②作 ∠ACD=30。AB=4DAC。AB+AD=4C。 (2) 长方形OA'BC、直线A'C,则直线AC和直线A'C即 为所求的直线。设A(m,0),C(0,n),由勾股定理， 成立。证明：如图，过点C分别 M 得AB=AA'2+A'B,BC=BC2+CC2,即m2=(6-m)P+42, 作AM,AN的垂线，垂足分别 a46,解得m号是4号0，c0,是》 为E,F。AC平分∠MAN, n .CE=CF。.·∠ABC+∠ADC=180°， A FB N 易得直线AC的函数表达式为y=-号+号，则点 ∠ADC+∠CDE=180°，.∠CDE= 第9题答图 ∠ABC。.'∠CED=∠CFB=90°. A'(6,0),C'(0,4),易得直线A'C的函数表达式为 .∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED=FB。.AB+AD=AF+ BF+AE-ED=AF+AE。由(1)AF+AE=AC,AB+AD= AC。(3)V3 10.C11.B12.A 5角平分线（第2课时）】 1.25°2.83.C4.C5.B 6.证明：CD⊥AB,.∠DAE+∠DFA=90°。 ∠CEF-∠CFE,∠DFA=∠CFE,∴∠DAE+∠CEF=90°。 又.·∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEF=90°。∴.∠CAE= 第6题答图 第8题答图 ∠DAE。AE是∠CAD的平分线。又GE⊥AB, 7.B8.如图，△ABC即为所求。 ∠ACB=90°，·.CE=EG。 5角平分线（第1课时） 7.解：O为△ABC的三条角平分线的交点， 1.32.123.B4.D OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.OD=OE=OF。 5.证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥ ∠ACB=90°，BG-=8cm,AC-6cm,Sa=2BCAC= AC,DE=DF。又AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF。 AE=AF。AD垂直平分EF。 ×8x6=24(cm)。由勾股定理，得AB=VBC+HC 6.证明：BE,CE分别为△ABC的外角∠CBM, 10cm设0D=OE-OF=xCm,":S△i-S△Bx+S△0A+S△A=数学 八年级下册（北师大版） 角平分线（第1课时） 自主导学Q典例精析 卡多多s 例题 如图，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD于点M,PN⊥ CD于点N。求证：PM=PN。 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“SAS”证明△ABD和 △CBD全等，进而得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明。 【证明】BD为∠ABC的平分线 ∴.∠ABD=∠CBD。AB=CB,BD=BD, .△ABD≌△CBD(SAS)。 ∴.∠ADB=∠CDB。 .:点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 例题图 ∴.PM=PN。 【点拨】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、全等三角形的判定与性质。通过 三角形全等得到∠ADB=∠CDB是解题的关键。此外，还要注意应用角平分线的判定定理时， 一定满足两个条件，即点在角的内部和该点到角的两边的距离相等。 基础巩固达标闯关 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E。若BC=5,DE= 2,则BD的长为 0 2.如图，AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,OD⊥BC,△ABC的面积为 18,OD=3,则△ABC的周长为 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE LAC,垂足为E。已知AB=6,AC=8,DE= 3,则△ABC的面积是() A.18 B.21 C.30 D.42 4.如图，已知直线AB,AC,BC表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，使 它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 32 三角形的证明及其应用 第一章 5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF。 D 第5题图 6.如图，BE,CE分别为△ABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于 点Q,ED⊥BC于点D。求证：点E在∠NAM的平分线上。 B 第6题图 能力提升坤综合拓展 -。多 7.如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE。 (1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC 上，沿AF画一条射线AP,交BC于点P。试证明仪器画出的AP是∠BAC的平分线。 (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ1AB于点Q,若PQ=3,AB=7,△ABC的 面积是18，求AC的长。 D D D 图1 图2 图3 第7题图 8.如图，在△ABC中，∠C=9O°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC 上，且BD=DF。 (1)求证：CF=EB。 (2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系，并说明理由。 D 第8题图 33 数学 八年级下册（北师大版） *9.已知∠MAN,AC平分∠MAN。 (1)在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC。 (2)在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 (3)在图3中，若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC。 图 图2 图3 第9题图 中考链接©真题演练 -下多B 10.(2024.青海)如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA 的距离是() A.4 B.3 C.2 D.1 1.cm d cm l cm d2 cm D 第10题图 第11题图 第12题图 11.(2024·绵阳)如图，在△ABC中，AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC, 垂足为E,△ABD的面积为5，则DE的长为() A.1 B.2 C.3 D.5 12.(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 P在∠AOB的平分线上，则() A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与2一定相等 D.L1与12一定不相等 34