第四章 对数运算与对数函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了对数运算与对数函数的核心知识，涵盖对数概念、运算性质、函数图像与性质及实际应用，通过知识框架将各知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于注重数学核心素养培养，如第6题沙漏问题引导学生用数学眼光观察现实，第4题复合函数单调性分析训练数学思维推理，解答题分层设计满足不同学生需求。这既巩固知识又提升能力，助力教师精准复习教学。

第四章 对数运算与对数函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|log2(x-1)≤2},则A∩B中的元素个数为( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     C     解析　因为log2(x-1)≤2,所以0<x-1≤22,得1<x≤5,故B={x|1<x≤5},则A∩B={2,3,4},共3个元素. 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知2m=9n=6,则 + = ( ) A.log618　　    B.log65　　    C.1　　    D.2     D     解析　由2m=9n=6,可得m=log26,n=log96, 所以 + = + =2log62+log69=log64+log69=log636=2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知函数f(x)= 则f(1-x)的图象是 ( )  　　       　　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由f(x)= 得f(1-x)=  当x=0时, f(1-0)=2,则f(1-x)的图象过点(0,2),故排除A,B; 当x≥0时, f(1-x)=21-x>0,故排除C. 第1讲　描述运动的基本概念 4.函数f(x)=log0.3(-x2-2x+3)的单调递增区间为 (　　 ) A.(-1,1)　　     B.(-3,-1)　　     C.(-1,+∞)　　    D.(-∞,-1) A 解析　由题意知-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,故f(x)的定义域为(-3,1). 因为函数y=-x2-2x+3的图象开口向下,对称轴为直线x=-1, 所以y=-x2-2x+3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 因为0<0.3<1,所以y=log0.3x在定义域上单调递减, 由复合函数“同增异减”的原则知,函数f(x)的单调递增区间为(-1,1). 第1讲　描述运动的基本概念 5.设a=log25,b=log316,c=log524,则 ( ) A.c<a<b　　    B.c<b<a　　    C.a<b<c　　    D.a<c<b     A     解析    a=log25>log24=2,b=log316>log39=2,c=log524<log525=2,则c<a,c<b.  = = < = <1,则log25<log316,即a<b,故c<a<b. 第1讲　描述运动的基本概念 6.沙漏也叫作沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙,细沙从中间小孔 由上方慢慢漏下,经过t min后剩余的细沙量为y cm3,且y=a·e-bt(b为常数),经过7 min后,上方还剩下一半细 沙,若上方细沙是开始时的 ,则经过的时间为 ( )   A.16 min　　    B.21 min　　    C.26 min　　    D.29 min     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意得ae-7b= a,即e-7b= , 两边取自然对数得-7b=ln  =-ln 2,所以b= , 则y=a , 当上方细沙只有开始时的 时,a = a, 所以 = , 两边取自然对数得- t=ln  =-3ln 2,解得t=21. 所以经过21 min后,上方细沙是开始时的 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)与g(x)=log2x互为反函数,且满足f(-m)-f(-n)>m-n,则( ) A.log2|m-n|<0　　     B.log2|m-n|>0 C.log2(n-m+1)>0　　    D.log2(n-m+1)<0     C     解析　因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=2x, 由f(-m)-f(-n)>m-n,得2-m-2-n>m-n,即2-m-m>2-n-n,即 -m> -n, 令h(x)= -x,则h(m)>h(n), 易知h(x)在R上单调递减,所以m<n,则n-m>0,则|m-n|>0,n-m+1>1, 因为g(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,log21=0, 所以log2(n-m+1)>log21=0,log2|m-n|可正,可负,也可能等于0,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.记max{a,b}表示a,b二者中最大的一个,函数f(x)=-x2-7x-5,g(x)=max{31-x,log3(x+2)},若∀x1∈[a-1,a+1],∃ x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是 ( ) A.[-5,-2]　　     B.[-4,-3]　　     C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立, 所以f(x)在[a-1,a+1]上的值域为g(x)在[0,+∞)上的值域的子集. 易知y=31-x在R上单调递减,y=log3(x+2)在(-2,+∞)上单调递增, 当x=1时,31-x=log3(x+2)=1,故g(x)=  则g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故g(x)在[0,+∞)上的最小值为g(1)=1,即g(x)在[0,+∞)上的值域为[1,+∞). f(x)=-x2-7x-5= + ≤ , 令f(x)=-x2-7x-5=1,则x2+7x+6=(x+1)(x+6)=0,则x=-1或x=-6,因为f(x)在[a-1,a+1]上的值域为[1,+∞)的子集, 所以 解得-5≤a≤-2,即a的取值范围是[-5,-2]. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则 ( ) A. f(x)的定义域为(-1,1)　　    B. f(x)为偶函数 C. f(x)在(0,1)上单调递增　　    D. f(x)的最大值是0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 解得-1<x<1, 故函数f(x)的定义域为(-1,1),因此A正确; 由A知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又f(-x)=log2(1+x)+log2(1-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此B正 确; 易知f(x)=log2(1-x2),y=1-x2在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所 以由复合函数的单调性,结合f(x)的定义域可知, f(x)在(0,1)上单调递减,因此C错误; f(x)=log2(1-x2)≤log21=0,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知某化工厂每天的污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24], 其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天f(x)的最大值为当天的污水污染指数,则使该厂每天的 污水污染指数不超过3的a的取值可以为( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1. 函数f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1等价为g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],则g(t)=  显然g(t)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增, 则f(x)max=g(t)max=max{g(0),g(1)},且g(0)=3a+1,g(1)=a+2, 则有 解得a≤ , 又a∈(0,1),故a∈ ,结合选项可知A,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.已知函数f(x)的定义域D={x∈R|x≠0},且满足∀x,y∈D,都有f(xy)=f(x)+f(y)-1,且f(2)=3,当x>1时,都有f (x)>1成立,则下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)是奇函数 B.f(log26)>f  C.不等式f(log2x+1)<5的解集是  D.f +f +…+f +f +f(1)+f(2)+…+f(2 023)+f(2 024)=4 047     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A,令x=y=1,得f(1)=2f(1)-1,即f(1)=1, 令x=y=-1,得f(1)=2f(-1)-1,即f(-1)=1, 令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)-1=f(x), 故f(x)是偶函数,故A错误; 对于B,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 >1,∴f >1,∵f(x2)=f =f(x1)+f -1,∴f(x2)-f(x1)=f -1> 0,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∵ = log22=log2 ,6> ,∴log26> >0, 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(log26)>f ,故B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,f(2)=3,则f(4)=2f(2)-1=5, 故不等式f(log2x+1)<5等价于f(log2x+1)<f(4), 又f(x)是偶函数,∴|log2x+1|<4, ∴-4<log2x+1<4且log2x+1≠0,x>0, 解得 <x<8且x≠ ,故C错误; 对于D,令y= ,得f(1)=f(x)+f -1=1, 则f(x)+f =2, 故f +f +…+f +f +f(1)+f(2)+…+f(2 023)+f(2 024)= f +f(2 024) + f +f (2 023) +…+ f +f(2) +f(1) =2 023×2+1=4 047,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.计算:lg 5× 20+ +eln π=_______.     2+π 解析　原式=lg 5× +2(lg 2)2+π =2lg 5×(1+lg 2)+2(lg 2)2+π =2lg 5+2lg 5×lg 2+2(lg 2)2+π =2lg 5+2lg 2×(lg 5+lg 2)+π =2lg 5+2lg 2+π=2+π. 第1讲　描述运动的基本概念 13.如图,直线y=t与函数y=log2x,y=log5x,y=logax(a>0且a≠1)的图象分别交于A,B,C三点,A,B,C三点的横坐 标分别为x1,x2,x3,且 =x1x2,则a=_____.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意可知log2x1=t,log5x2=t,logax3=t, 则x1=2t,x2=5t,x3=at, 又 =x1x2,所以 =2t×5t=10t= , 又因为幂函数y=xt在(0,+∞)上单调, 所以a2=10,得a= (负值舍去). 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x1<x2时, >x1+x2恒成立,且f(2)=4,则不等式f(ln a)≤ (ln a)2的解集为___________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当0≤x1<x2时,由 >x1+x2, 得f(x1)-f(x2)<(x1+x2)(x1-x2)= - , 则f(x1)- <f(x2)- ,令g(x)=f(x)-x2, 则g(x1)<g(x2),故g(x)在[0,+∞)上单调递增, 由f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x), 当x<0时,-x>0,g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),则g(x)为R上的偶函数,且g(2)=f(2)-22=4-4=0, 由f(ln a)≤(ln a)2,得f(ln a)-(ln a)2≤0, 则g(ln a)≤g(2),即|ln a|≤2, 因此-2≤ln a≤2,解得 ≤a≤e2, 所以原不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3;③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中选择一 个,补充在下面的问题中,并作答. 已知一元二次函数f(x)的图象经过点(1,2),_______. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=log2(6-x)+log2(6+x),求y=g(f(x))在x∈[0,2]上的值域. 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)选①:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),(1分) f(x)+2x-1=ax2+(b+2)x+c-1, 可得 解得  (3分) 则f(x)=x2-2x+c,由f(1)=c-1=2可得c=3, 所以f(x)=x2-2x+3. (5分) 选②:因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,(1分) 因为f(1)=2,所以可设f(x)=a(x-1)2+2(a≠0), (3分) 则f(0)=a+2=3,解得a=1, 所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3. (5分) 第1讲　描述运动的基本概念 选③:因为f(x)≥2恒成立且f(1)=2,所以可设f(x)=a(x-1)2+2,其中a>0, (1分) 则f(0)=a+2=3,解得a=1, (3分) 所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3. (5分) (2)当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+2∈[2,3], 令u=f(x),则u∈[2,3], (7分) g(x)=log2(6-x)+log2(6+x)=log2(36-x2), g(f(x))=g(u)=log2(36-u2). (9分) 令t=36-u2,u∈[2,3],则t∈[27,32], 又函数y=log2t在t∈[27,32]上单调递增, 所以函数y=log2t在t∈[27,32]上的值域为[3log23,5].(12分) 所以y=g(f(x))在x∈[0,2]上的值域为[3log23,5]. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知函数f(x)=ln x. (1)若函数g(x)= 且g(x)是增函数,求实数k的取值范围; (2)若对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数g(x)是R上的增函数, 所以 解得2≤k≤3, (2分) 故k的取值范围为[2,3]. (3分) (2)因为f(x)的定义域为(0,+∞), 所以  (5分) 由(2-a)ex-1>0得a<2- 在x∈(0,+∞)上恒成立, 因为0< <1,所以2- >1,所以0<a≤1. (7分) 不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立, 所以f((2-a)ex-1)≤f(ae2x)恒成立, (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 因为f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以(2-a)ex-1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立, 所以a≥ 在(0,+∞)上恒成立, 令t=2ex-1,t∈(1,+∞),则ex= , 所以a≥ 在t∈(1,+∞)上恒成立, (12分) 因为 = ≤ =4-2 ,当且仅当t= 时,等号成立, 所以a≥4-2 . (14分) 综上,a的取值范围为[4-2 ,1]. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)已知函数f(x)=log4(4x+1)-kx为偶函数,g(x)= (x+a). (1)求实数k的值; (2)若当x∈[-2,0]时,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数a的取值范围; (3)若函数h(x)=-4f(x)+kx+g(2x+2)在x∈[-1,2]上的最大值与最小值之和为2 020,求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵函数f(x)=log4(4x+1)-kx为偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴log4(4-x+1)+kx=log4(4x+1)-kx, (1分) 得2kx=log4(4x+1)-log4 =log44x=x, 则2k=1,即k= . (3分) (2)若当x∈[-2,0]时,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,则f(x)>g(x)在x∈[-2,0]上恒成立, (5分) 即log4(4x+1)- x> (x+a),即log4(4x+1)-x> a在x∈[-2,0]上恒成立, 所以 a<log4(4x+1)-log44x=log4 =log4 在x∈[-2,0]上恒成立. (7分) 因为x∈[-2,0],所以4x∈ ,即1+ ∈[2,17],所以log4 ≥log42= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 a< ,得a<1. (9分) 故a的取值范围是(-∞,1). (10分) (3)h(x)=- + (2x+2+a)=-(4x+1)+2x+1+ a= + a, (12分) 当x∈[-1,2]时,2x∈ , 所以当2x=1时,h(x)取得最大值,为 a; 当2x=4时,h(x)取得最小值,为-9+ a, (14分) 所以 a-9+ a=2 020,解得a=2 029. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意的x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f (x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数f(x)=1+a + ,g(x)=  . (1)若函数g(x)为奇函数,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求函数g(x)在区间 上的所有上界构成的集合; (3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x), 即  =-  , 所以 = ,解得a=±1, (3分) 当a=1时,不合题意,故a=-1. (4分) (2)由(1)知g(x)=  =  , 令t=1+ ,因为t=1+ 在(1,+∞)上单调递减,y= t在定义域上单调递减,所以由复合函数的单调性 可知g(x)在(1,+∞)上单调递增, (6分) 所以g(x)在区间 上单调递增, 则g(x)max=g(3)=  = 2=-1, 第1讲　描述运动的基本概念 g(x)min=g =lo  =lo 4=-2, 所以g(x)在区间 上的值域为[-2,-1],所以|g(x)|≤2, (9分) 故函数g(x)在区间 上的所有上界构成的集合为[2,+∞). (10分) (3)由题意可知|f(x)|≤2在[0,+∞)上恒成立, 所以-2≤f(x)≤2,即-2≤1+a + ≤2, 所以-3·2x- ≤a≤2x- 在[0,+∞)上恒成立, (12分) 所以 ≤a≤ ,x∈[0,+∞). (14分) 第1讲　描述运动的基本概念 令m=2x,h(m)=-3m- ,p(m)=m- ,m≥1, 易知h(m)=-3m- 在[1,+∞)上单调递减,所以h(m)max=h(1)=-3-1=-4, (16分) p(m)=m- 在[1,+∞)上单调递增,所以p(m)min=p(1)=1-1=0, 所以-4≤a≤0,即实数a的取值范围为[-4,0]. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知函数f(x)=ln(a·4x+2x-2). (1)当a=3时,求函数f(x)的定义域; (2)当a≤0时,函数f(x)的值域为R,求a的值; (3)在(2)的条件下,设函数g(x)=ef(x)+2,解关于x的不等式g(x2+mx-2m)≥g(2x). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若a=3,则f(x)=ln[3· +2x-2]=ln[(3·2x-2)(2x+1)], (1分) ∵(3·2x-2)(2x+1)>0,2x+1>0, ∴3·2x-2>0,即2x> ,解得x>log2 , (3分) 故函数f(x)的定义域为 log2 ,+∞ . (4分) (2)设m(x)=a·4x+2x-2, 令2x=t,t>0,则h(t)=at2+t-2, 若a<0,则h(t)的图象开口向下,对称轴为直线t=- >0,最大值为h =- -2, (6分) 当- -2≤0,即a≤- 时,h(t)≤0恒成立, 则m(x)≤0恒成立,不满足f(x)的定义域,不符合题意; (7分) 第1讲　描述运动的基本概念 当- -2>0,即- <a<0时,m(x)存在最大值且最大值大于0, 则f(x)存在最大值,与值域为R矛盾,故舍去. (8分) 若a=0,则f(x)=ln(2x-2),当x∈(1,+∞)时,2x-2∈(0,+∞),f(x)=ln(2x-2)∈R,符合题意. 综上所述,a=0. (9分) (3)若a=0,则f(x)=ln(2x-2),由2x-2>0,解得x>1,故g(x)的定义域为(1,+∞). (10分) g(x)=ef(x)+2= +2=2x, 易知g(x)=2x单调递增, 故由g(x2+mx-2m)≥g(2x),得  (12分) 若2x>1与x2+mx-2m≥2x成立,则x2+mx-2m>1显然成立, 第1讲　描述运动的基本概念 因此解 即可,即  (13分) ①当-m≤ ,即m≥- 时,解得x≥2,则x∈[2,+∞); (14分) ②当 <-m≤2,即-2≤m<- 时,解得 <x≤-m或x≥2,则x∈ ∪[2,+∞); (15分) ③当-m>2,即m<-2时,解得 <x≤2或x≥-m,则x∈ ∪[-m,+∞). (16分) 综上所述,当m<-2时,x∈ ∪[-m,+∞); 当-2≤m<- 时,x∈ ∪[2,+∞); 当m≥- 时,x∈[2,+∞). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $